Aufgabe 2A

Von im Werk A hergestellten Geräten werden zufällig ausgewählt. Die Anzahl der fehlerhaften Geräte wird als binomialverteilt angenommen.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter den ausgewählten Geräten genau fehlerhafte befinden.
Ermittle die Anzahl an fehlerhaften Geräten, die mit der größten Wahrscheinlichkeit auftritt.

Gib einen Wert von an, für den mit dem Term im Sachzusammenhang die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet werden kann.
Beschreibe das zugehörige Ereignis.
Ermittle, wie viele im Werk C hergestellte Geräte mindestens zufällig ausgewählt werden müssen, damit sich darunter mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens mindestens Geräte befinden, die nicht fehlerhaft sind.

Weise nach, dass der Anteil der fehlerhaften Geräte unter allen hergestellten Geräten beträgt.
Ein unter allen hergestellten Geräten zufällig ausgewähltes Gerät ist fehlerhaft.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es im Werk A hergestellt wurde.

  Wahrscheinlichkeit berechnen Betrachtet wird die Zufallsgröße die die Anzahl der fehlerhaften Geräte unter im Werk A hergestellten Geräten beschreibt. Diese wird laut Aufgabenstellung als binomialverteilt angenommen, wobei die Parameter und sind.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich dann mithilfe der Formel für die Binomialverteilung: Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. befinden sich unter den ausgewählten Geräten genau fehlerhafte.   Anzahl mit der größten Wahrscheinlichkeit ermitteln Die Anzahl mit der größten Wahrscheinlichkeit wird durch den Erwartungswert bestimmt. Der Erwartungswert der binomialverteilten Zufallsgröße kann mit der zugehörigen Formel berechnet werden: Da aber eine Smartphone nur entweder fehlerhaft oder nicht fehlerhaft, aber nicht halb fehlerhaft sein kann, muss noch überprüft werden ob für eine Anzahl von oder die höchste Wahrscheinlichkeit gilt: Mit der größten Wahrscheinlichkeit tritt eine Anzahl von fehlerhaften Geräten auf.

  Wert angeben und Ereignis beschreiben Teilt man den Term in zwei Teilterme auf und vergleicht diese mit der Formel für die Binomialverteilung erhält man für den ersten Term: Betrachtet man als dann muss gelten und damit ergibt sich: Dies ist der Fall für Für muss dementsprechend gelten entspricht dem Anteil der fehlerhaften Geräte in Werk D. Analog zu Teilaufgabe a, beschreibt der erste Teilterm also für die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von zufällig ausgewählten Geräten aus Werk D genau eins fehlerhaft ist.
Der zweite Teilterm gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass sich unter zufällig ausgewählten Geräten aus Werk D kein fehlerhaftes befindet. Insgesamt gibt der Term also für die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass sich unter zufällig ausgewählten Geräten aus Werk D höchstens ein fehlerhaftes befindet.   Anzahl der Geräte ermitteln Betrachtet wird die Zufallsgröße die die zufällige Anzahl der nicht fehlerhaften Geräte in einer Stichprobe von zufällig ausgewählten Geräten aus Werk C beschreibt.
Diese kann aus den gleichen Gründen wie als binomialverteilt mit unbekanntem und angenommen werden. Gesucht ist das kleinste sodass gerade noch folgende Ungleichung erfüllt ist: Diese muss noch umgeformt werden, sodass der BinomCDf-Befehl des GTRs verwendet werden kann: Es müssen mindestens Geräte untersucht werden.

  Anteil der fehlerhaften Geräte nachweisen Wird das Ereignis eines fehlerhaften Geräts mit bezeichnet, ergibt sich mit den Pfadregeln folgendes: Unter allen hergestellten Geräten befinden sich fehlerhafte Geräte.   Wahrscheinlichkeit berechnen Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit Mit dem Satz von Bayes ergibt sich: Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. stammt ein von allen hergestellten Geräten zufällig ausgewähltes Gerät aus Werk A.

  Wahrscheinlichkeit berechnen Betrachtet wird die Zufallsgröße die die Anzahl der fehlerhaften Geräte unter im Werk A hergestellten Geräten beschreibt. Diese wird laut Aufgabenstellung als binomialverteilt angenommen, wobei die Parameter und sind.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich dann mithilfe der Formel für die Binomialverteilung: Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. befinden sich unter den ausgewählten Geräten genau fehlerhafte.   Anzahl mit der größten Wahrscheinlichkeit ermitteln Die Anzahl mit der größten Wahrscheinlichkeit wird durch den Erwartungswert bestimmt. Der Erwartungswert der binomialverteilten Zufallsgröße kann mit der zugehörigen Formel berechnet werden: Da aber eine Smartphone nur entweder fehlerhaft oder nicht fehlerhaft, aber nicht halb fehlerhaft sein kann, muss noch überprüft werden ob für eine Anzahl von oder die höchste Wahrscheinlichkeit gilt: Mit der größten Wahrscheinlichkeit tritt eine Anzahl von fehlerhaften Geräten auf.

  Wert angeben und Ereignis beschreiben Teilt man den Term in zwei Teilterme auf und vergleicht diese mit der Formel für die Binomialverteilung erhält man für den ersten Term: Betrachtet man als dann muss gelten und damit ergibt sich: Dies ist der Fall für Für muss dementsprechend gelten entspricht dem Anteil der fehlerhaften Geräte in Werk D. Analog zu Teilaufgabe a, beschreibt der erste Teilterm also für die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von zufällig ausgewählten Geräten aus Werk D genau eins fehlerhaft ist.
Der zweite Teilterm gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass sich unter zufällig ausgewählten Geräten aus Werk D kein fehlerhaftes befindet. Insgesamt gibt der Term also für die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass sich unter zufällig ausgewählten Geräten aus Werk D höchstens ein fehlerhaftes befindet.   Anzahl der Geräte ermitteln Betrachtet wird die Zufallsgröße die die zufällige Anzahl der nicht fehlerhaften Geräte in einer Stichprobe von zufällig ausgewählten Geräten aus Werk C beschreibt.
Diese kann aus den gleichen Gründen wie als binomialverteilt mit unbekanntem und angenommen werden. Gesucht ist das kleinste sodass gerade noch folgende Ungleichung erfüllt ist: Diese muss noch umgeformt werden, sodass der BinomCDf-Befehl des GTRs verwendet werden kann: Es müssen mindestens Geräte untersucht werden.

  Anteil der fehlerhaften Geräte nachweisen Wird das Ereignis eines fehlerhaften Geräts mit bezeichnet, ergibt sich mit den Pfadregeln folgendes: Unter allen hergestellten Geräten befinden sich fehlerhafte Geräte.   Wahrscheinlichkeit berechnen Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit Mit dem Satz von Bayes ergibt sich: Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. stammt ein von allen hergestellten Geräten zufällig ausgewähltes Gerät aus Werk A.