Aufgabe 3A

Beschrifte alle Eckpunkte der Pyramide in der obigen Abbildung.
Die Punkte und liegen in einer Ebene
Zeige, dass der Vektor mit ein Normalenvektor der Ebene ist.
Gib eine Gleichung für die Ebene in Koordinatenform an. Berechne den Winkel, den die Ebene mit der -Ebene einschließt.

Vier Seitenkanten der Pyramide werden von der Ebene mit der Gleichung geschnitten. Die Punkte und sind zwei der sich ergebenden Schnittpunkte.
Zeichne die weiteren Schnittpunkte in die obige Abbildung ein. Untersuche, ob die Schnittpunkte Eckpunkte eines Quadrates sind.

  Eckpunkte beschriften   Normalenvektor nachweisen Der angegebene Vektor ist ein Normalenvektor von wenn er orthogonal zu ihr steht. Dazu muss er orthogonal zu den Verbindungsvektoren der Punkte in der Ebene sein. Der Vektor steht senkrecht zur Ebene und ist damit ein Normalenvektor von   Ebenengleichung angeben Ein Normalenvektor von ist mit bereits bekannt. Einsetzen des Vektors und der Koordinaten eines Punktes in die allgemeine Ebenengleichung in Koordinatenform liefert: Eine Gleichung der Ebene in Koordinatenform lautet   Winkel berechnen Der Winkel , den zwei Ebenen einschließen, kann mithilfe von jeweiligen Normalenvektoren berechnet werden. Ein Normalenvektor der -Ebene ist beispielsweise
Einsetzen in die entsprechende Formel liefert: Die Ebene schließt mit der -Ebene einen Winkel der Größe ein.

  Eckpunkte einzeichnen   Quadratische Form untersuchen 1. Schritt: Koordinaten der Eckpunkte bestimmen Die Koordinaten von zwei Eckpunkten sind bereits vorgegeben. Der dritte Eckpunkt liegt auf der Geraden und hat die -Koordinate Gleichsetzen liefert: Aus der dritten Zeile ergibt sich Das liefert wiederum: Der Punkt liegt auf der Geraden und hat ebenfalls die -Koordinate Mit folgt auch hier 2. Schritt: Seitenlängen berechnen Alle Seiten sind also gleich lang. 3. Schritt: Rechte Winkel überprüfen Bei besitzt das Viereck also einen rechten Winkel. Damit müssen auch die übrigen Innenwinkel des Vierecks rechte Winkel sein. Da zudem wie gezeigt alle Seiten gleich lang sind, handelt es sich um ein Quadrat.

  Eckpunkte beschriften   Normalenvektor nachweisen Der angegebene Vektor ist ein Normalenvektor von wenn er orthogonal zu ihr steht. Dazu muss er orthogonal zu den Verbindungsvektoren der Punkte in der Ebene sein. Der Vektor steht senkrecht zur Ebene und ist damit ein Normalenvektor von   Ebenengleichung angeben Ein Normalenvektor von ist mit bereits bekannt. Einsetzen des Vektors und der Koordinaten eines Punktes in die allgemeine Ebenengleichung in Koordinatenform liefert: Eine Gleichung der Ebene in Koordinatenform lautet   Winkel berechnen Der Winkel , den zwei Ebenen einschließen, kann mithilfe von jeweiligen Normalenvektoren berechnet werden. Ein Normalenvektor der -Ebene ist beispielsweise
Einsetzen in die entsprechende Formel liefert: Die Ebene schließt mit der -Ebene einen Winkel der Größe ein.

  Eckpunkte einzeichnen   Quadratische Form untersuchen 1. Schritt: Koordinaten der Eckpunkte bestimmen Die Koordinaten von zwei Eckpunkten sind bereits vorgegeben. Der dritte Eckpunkt liegt auf der Geraden und hat die -Koordinate Gleichsetzen liefert: Aus der dritten Zeile ergibt sich Das liefert wiederum: Der Punkt liegt auf der Geraden und hat ebenfalls die -Koordinate Mit folgt auch hier 2. Schritt: Seitenlängen berechnen Alle Seiten sind also gleich lang. 3. Schritt: Rechte Winkel überprüfen Bei besitzt das Viereck also einen rechten Winkel. Damit müssen auch die übrigen Innenwinkel des Vierecks rechte Winkel sein. Da zudem wie gezeigt alle Seiten gleich lang sind, handelt es sich um ein Quadrat.