Lerninhalte in Mathe

Abi-Aufgaben gA (GTR)

Abi-Aufgaben gA (CAS)

Digitales Schulbuch

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 1A

Unter der Körpertemperatur eines Menschen versteht man die Temperatur des Körperinneren.
Die Körpertemperatur eines gesunden Menschen (Normaltemperatur) wird mit $37,0^{\circ}\text C$ angenommen.
Bei Temperaturen ab $37,9 ^{\circ} \text {C}$ spricht man von Fieber.

Koerpertemperatur

Abb. 1

Der zeitliche Verlauf der Körpertemperatur einer erkrankten Person lässt sich bei bestimmten Erkrankungen modellhaft mithilfe der Funktion $f$ mit $f(t)=37+t\cdot e^{-0,1\cdot t}$ , $t\geq 0$ , beschreiben.
Dabei ist $t$ die Zeit in Stunden nach dem Ausbruch der Krankheit und $f(t)$ die Körpertemperatur in $^{\circ} \text C$ .

Die zu ermitttelnden Zeiten sollen in Stunden, auf eine Nachkommastelle gerundet, angegeben werden.

a)

Berechne

die Körpertemperatur bei Ausbruch der Krankheit,
die durchschnittliche Temperaturänderung in den ersten $5$ Stunden,
die maximale Körpertemperatur der erkrankten Person.

Berechne $f‘(2)$ und deute diesen Wert im Sachzusammenhang.
Ermittle den Zeitpunkt, zu dem die Körpertemperatur der erkrankten Person am stärksten abnimmt.

(14 BE)

b)

Hat eine Person Fieber, wird der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der Geraden zu $y=37,9$ als ein Maß für die Belastung der erkrankten Person angenommen.
Bestimme den Wert der Belastung für den gesamten Zeitraum, in dem die erkrankte Person Fieber hat.
Ermittle den Zeitpunkt, an dem die Belastung der erkrankten Person den Wert von $25$ überschreitet.
Die erkrankte Person nimmt $20$ Stunden nach Ausbruch der Krankheit ein fiebersenkendes Medikament ein. Man geht davon aus, dass ab diesem Zeitpunkt die Temperatur linear abnimmt. Dabei nimmt die Temperatur im linearen Modell doppelt so schnell ab wie die Temperatur nach $20$ Stunden im durch $f$ beschriebenen Modell.
Beerechne, wie viel früher die erkrankte Person mit Medikamenteneinnahme fieberfrei ist.

(15 BE)

c)

Die Funktion $f$ wird jetzt unabhängig vom Sachzusammenhang betrachtet.
Durch jeden Punkt $P(p \mid f(p))$ , $p \geq 0$ , verläuft eine Tangente an den Graphen von $f$ . Für jeden Wert von $p$ wird die Tangente durch die Gleichung

$y=...$

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Funktion anzeigen

beschrieben.
Zeige, dass es genau eine Tangente mit kleinstem $y$ -Achsenabschnitt und genau eine Tangente mit größstem $y$ -Achsenabschnitt gibt.

(5 BE)

a)

$\blacktriangleright$ Körpertemperatur beim Ausbruch berechnen

$\begin{array}[t]{rll} f(0) &=& 37+ 0\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot 0} \\[5pt] &=& 37 \end{array}$

Beim Ausbruch der Krankheit beträgt die Körpertemperatur $37^{\circ}C.$

$\blacktriangleright$ Durchschnittliche Änderung berechnen

$\overline{m}\approx 0,61$

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In den ersten $5$ Stunden steigt die Körpertemperatur durchschnittlich um ca. $0,61^{\circ}C$ pro Stunde.

$\blacktriangleright$ Maximale Körpertemperatur berechnen

1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen

Mit der Produktregel folgt:

$\begin{array}[t]{rll} f(t) &=& 37 + t\cdot \mathrm e^{-0,1t} \\[10pt] f‘(t) &=& ... \\[10pt] f‘‘(t) &=& ... \end{array}$

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2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden

$t=10$

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3. Schritt: Hinreichendes Kriterium für Extremstellen überprüfen

$f‘‘(10) \lt 0$

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An der Stelle $t=10$ besitzt $f$ also ein lokales Maximum. Da dies die einzige Extremstelle von $f$ ist, ist dies auch gleichzeitig die Stelle des globalen Maximums.

4. Schritt: Funktionswert berechnen

$f(10)\approx 40,68[^{\circ}C]$

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Die maximale Körpertemperatur der erkrankten Person beträgt ca. $40,68^{\circ}C.$

$\blacktriangleright$ Wert berechnen und im Sachzusammenhang deuten

$f‘(2)\approx 0,65$

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Nach zwei Stunden nimmt die Körpertemperatur der Person mit einer momentanen Änderungsrate von ca. $0,65^{\circ}\,C$ pro Stunde zu.

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt mit der stärksten Abnahme ermitteln

Die Zunahme und Abnahme der Körpertemperatur wird durch die erste Ableitungsfunktion $f‘$ beschrieben.
Lass dir den Graphen von $f‘$ in deinem GTR anzeigen und bestimme die Tiefpunkte:

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 3: minimum

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F3: MIN

Du erhältst:

$T(20\mid -0,14)$

Die Körpertemperatur der Person nimmt $20$ Stunden nach dem Ausbruch der Krankheit am stärksten ab.

b)

$\blacktriangleright$ Belastungswert bestimmen

1. Schritt: Grenzen des Fieberzeitraums bestimmen

Die Gleichung $f(t)= 37,9$ kannst du mit deinem GTR lösen:

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

Bestimme die Schnittpunkte des Graphen von $f$ mit der Gerade zu $y = 37,9.$

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 5: intersect

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

Bestimme die $x$ -Werte zum $y$ -Wert $37,9$ mit dem X-CAL-Befehl.

F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F2: X-CAL

Du erhältst:

$t_1\approx 1,0$ und $t_2\approx 37,2$

Zwischen diesen beiden Stellen liegt die Stelle mit der höchsten Körpertemperatur. Also handelt es sich bei $[t_1;t_2]$ um den Zeitraum, in dem die Person Fieber hat.

2. Schritt: Belastungswert bestimmen

Der gesuchte Wert lässt sich über ein Integral mithilfe des GTRs bestimmen:

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 7: $\int f(x)\;\mathrm dx$

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F3: $\int \;\mathrm dx$

$...\approx 55,51$

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In dem Zeitraum, in dem die Person Fieber hat, beträgt der Belastungswert ca. $55,51.$

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt der Überschreitung ermitteln

Gesucht ist der Zeitpunkt $b,$ für den gilt:

$\displaystyle\int_{1,0}^{b}(f(t)-37,9)\;\mathrm dt\approx 25$

Durch Ausprobieren mit dem GTR erhältst du folgende Werte:

$\displaystyle\int_{1,0}^{13}(t\cdot \mathrm e^{-0,1t} -0,9)\;\mathrm dt ...$

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Ca. $12,7$ Stunden nach Ausbruch der Krankheit überschreitet die Belastung der erkrankten Person den Wert von $25.$

$\blacktriangleright$ Früheren Zeitraum berechnen

1. Schritt: Abnahmegeschwindigkeit nach dem Modell berechnen

$f‘(20) = - \mathrm e^{-2}$

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Die lineare Abnahme erfolgt also mit der Geschwindigkeit von $-2\mathrm e^{-2}.$

2. Schritt: Funktion für die lineare Abnahme bestimmen

Die lineare Abnahme wird durch eine Gerade $g$ mit der Steigung $- 2\mathrm e^{-2}$ beschrieben. Diese muss an der Stelle $t=20$ an den Graphen von $f$ anschließen. Es muss also $g(20)= f(20)$ sein.

$f(20) = 37 +20\cdot \mathrm e^{-2}$

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Für die Gerade $g$ folgt dann:

$b=37 +60\cdot \mathrm e^{-2}$

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Die lineare Abnahme nach der Einnahme des fiebersenkenden Medikaments kann also durch folgende Funktionsgleichung beschrieben werden:

$g(t)= ...$

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3. Schritt: Fieberfreien Zeitpunkt bestimmen

$t \approx 26,7$

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Bei der Einnahme des Medikaments wird die Person also bereits $26,7$ Stunden nach Ausbruch der Krankheit fieberfrei. Ohne das Medikament wird sie erst ca. $37,2$ Stunden nach Ausbruch fieberfrei. Durch das Medikament wird die Person also $10,5$ Stunden früher fieberfrei.

c)

$\blacktriangleright$ Zeigen, dass es genau einen kleinsten und einen größten $y$ -Achsenabschnitt gibt

Der $y$ -Achsenabschnitt der Tangente wird durch den Term $37+0,1p^2\cdot \mathrm e^{-0,1p}$ beschrieben. Untersuche also die zugehörige Funktion $y(p)$ auf Extrema.

1. Schritt: Ableitungsfunktionen bilden

$\begin{array}[t]{rll} y(p) &=&... \\[10pt] y‘(p) &=& ... \\[10pt] y‘‘(p) &=& ... \\[5pt] \end{array}$

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2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden

$\begin{array}[t]{rll} y‘(p) &=& 0 \\[5pt] p_1 &=& 0 \\[5pt] p_2 &=& 20 \end{array}$

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3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen

$y‘‘(20) \lt 0$

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4. Schritt: Grenzwertbetrachtung

Für $p\to \infty$ gilt:

$y(p) \to 37$

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5. Schritt: Werte vergleichen

$y(20)=37 + 40\cdot \mathrm e^{-2}$

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Es ist also $y(0) = 37,$ $y(20)=37+40\cdot \mathrm e^{-2}$ und $y(p)\to 37$ für $p\to \infty.$
Der Graph von $y,$ der den Verlauf der $y$ -Achsenabschnitte beschreibt, nimmt für $p=0$ den kleinsten Funktionswert an. Anschließend steigt er bis er bei $p=20$ seinen höchsten Punkt erreicht. Danach fällt der Graph nur noch und nähert sich dabei der Asymptote $y=37$ an. Er erreicht also nur einmal seinen höchsten Wert mit $37+40\cdot \mathrm e^{-2}$ und seinen kleinsten Wert von $37.$
Es gibt daher genau eine Tangente mit größtem $y$ -Achsenabschnitt $(p =20)$ und eine Tangente mit kleinstem $y$ -Achsenabschnitt $(p=0).$