Stochastik

Aufgabe 2A

Bei einer Studie über das Kaufverhalten von Kunden eines Baumarktes werden ausschließlich Kunden betrachtet, die sich registrieren ließen. Aus der Gruppe dieser Kunden wird eine Person zufällig ausgewählt. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

$T:$

„Die Person ist sogenannter Treuekunde, d. h. sie ist bereits länger als fünf Jahre ein registrierter Kunde des Baumarktes."

$M:$

„Die Person ist sogenannter Morgenkunde, d. h. sie kauft überwiegend vor 10 Uhr ein.“

Bei dieser Studie wurde festgestellt, dass $60 \,\%$ aller Kunden Treuekunden und $20 \,\%$ aller Kunden Morgenkunden sind.

Es gilt $P(\overline{T} \cap M) = 0,05$ .

Interpretiere diese Gleichung im Sachzusammenhang.

(2 BE)

Stelle den Sachverhalt in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar.

(3 BE)

Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person entweder ein Treuekunde oder ein Morgenkunde ist.

(2 BE)

Untersuche, ob die Ereignisse $T$ und $M$ stochastisch unabhängig sind.

(3 BE)

Im Baumarkt wird ein Gewinnspiel mit einem Glücksrad angeboten. Das Glücksrad besteht aus gleich großen Sektoren, die jeweils entweder mit der Zahl 5 oder mit der Zahl 2 beschriftet sind.

Bei diesem Gewinnspiel dreht eine Person zweimal das Glücksrad und kann dabei einen Rabatt gewinnen. Das Produkt der beiden erzielten Zahlen entspricht dem Rabatt in Prozent.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, in beiden Drehungen die Zahl 5 zu erzielen, beträgt $\dfrac{1}{36}$ und die Wahrscheinlichkeit dafür, den kleinstmöglichen Rabatt zu erzielen, beträgt $\dfrac{25}{36}.$

Stelle das dem Gewinnspiel zugrundeliegende Zufallsexperiment in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.

(3 BE)

Betrachtet werden sieben Personen, die nacheinander jeweils einmal am Gewinnspiel teilnehmen.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei genau viermal der kleinstmögliche Rabatt erzielt wird und dies bei vier Personen unmittelbar hintereinander.

(3 BE)

Die Geschäftsführung des Baumarkts setzt ein anderes Glücksrad ein, das ebenfalls zweimal gedreht wird. Dieses hat ebenfalls mehrere Sektoren, von denen einige mit der Zahl 5 und die anderen mit der Zahl 2 beschriftet sind. Durch Änderung der Größen der Sektoren kann jedoch die Wahrscheinlichkeit $q$ dafür, beim einmaligen Drehen die Zahl 5 zu erzielen, variiert werden. Der Rabatt, der einer Person beim nächsten Einkauf gewährt wird, wird auf gleiche Weise wie bisher ermittelt.

Berechne die Wahrscheinlichkeit $q$ , wenn beim Glückspiel mit dem Glücksrad auf lange Sicht im Mittel ein Rabatt von $9 \,\%$ erzielt werden soll.

(4 BE)

Aufgabe 2B

Eine umfassende Studie zu den Arbeits- und Lebensbedingungen von Studierenden einer Universität ergab, dass $56 \,\%$ der Studierenden einen Laptop und $33 \,\%$ einen Desktop-PC besitzen. $72 \,\%$ der Studierenden haben mindestens eines dieser beiden Endgeräte.

Unter den Studierenden der Universität wird eine Person zufällig ausgewählt und zum Besitz von digitalen Endgeräten befragt. Folgende Ereignisse werden betrachtet:

$L:$ „Die Person besitzt einen Laptop."

$D:$ „Die Person besitzt einen Desktop-PC."

Zeige, dass $P(\overline{L} \cap \overline{D}) = 0,28$ gilt, und gib das zugrundeliegende Ereignis im Sachzusammenhang an.

(3 BE)

Stelle den Sachverhalt in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar.

Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die zufällig ausgewählte Person zwar einen Laptop, jedoch keinen Desktop-PC besitzt.

(4 BE)

Nun wird unter allen Befragten, die einen Desktop-PC haben, eine Person zufällig ausgewählt.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese einen Laptop besitzt.

(2 BE)

In derselben Studie wurde auch festgestellt, dass $68 \,\%$ der Besitzer von Laptops und Desktop-PCs bei einem Software-Problem versuchen, dieses selbstständig zu lösen. Unter den Besitzern dieser Endgeräte werden 900 Personen zufällig ausgewählt.

Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl derjenigen unter diesen 900 Personen, die versuchen, ein Software-Problem selbstständig zu lösen. Dabei wird $X$ als binomialverteilt angenommen.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens $70 \,\%$ dieser 900 Personen bei einem Software-Problem versuchen, dieses selbstständig zu lösen.

(2 BE)

Berechne den Erwartungswert $\mu$ von $X$ und ermittle die kleinste mögliche natürliche Zahl $k$ , sodass $P(\mu−k\leq X\leq \mu) \geq 30 \,\%$ gilt.

(4 BE)

Für binomialverteilte Zufallsgrößen mit den Parametern $n=15\,000$ und $p$ ist in der Abbildung die Standardabweichung $\sigma$ in Abhängigkeit von $p$ dargestellt.

Ergänze im dargestellten Koordinatensystem die Skalierungen der Achsen und erläutere dein Vorgehen.

(5 BE)

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Lösung 2A

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person ein Morgenkunde und kein Treuekunde ist, beträgt $5\,\%.$

	$\color{#ffff}{M}$	$\color{#ffff}{\overline{M}}$	Gesamt
$\color{#ffff}{T}$	$0,15$	$0,45$	$0,6$
$\color{#ffff}{\overline{T}}$	$0,05$	$0,35$	$0,4$
Gesamt	$0,2$	$0,8$	$1$

Rechenweg anzeigen

$P\left(T \cap \overline{M}\right)+P\left(\overline{T} \cap M\right) = 50\,\%$

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person sowohl ein Morgenkunde als auch ein Treuekunde ist, ergibt sich aus der Vierfeldertafel als $P(T\cap M)=0,15.$ Für das Produkt der Wahrscheinlichkeiten $P(T)$ und $P(M)$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} P(T)\cdot P(M)&=&0,6\cdot0,2 \\[5pt] &=&0,12 \end{array}$

Da somit $P(T\cap M)\neq P(T)\cdot P(M)$ gilt, sind die Ereignisse $T$ und $M$ nicht stochastisch unabhängig.

Es gibt bei sieben teilnehmenden Personen vier unterschiedliche Möglichkeiten, dass vier Personen unmittelbar hintereinander die gleiche Zahl drehen.

Somit folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

$4 \cdot\left(\dfrac{25}{36}\right)^4 \cdot\left(\dfrac{11}{36}\right)^3 \approx 2,7\,\%$

Mit der Formel für den Erwartungswert folgt für das neue Glücksrad:

$4 \cdot(1-q)^2+2 \cdot 10 \cdot q \cdot(1-q)$ $+25 \cdot q^2=9$

Mit dem Taschenrechner ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} q_1&=&-\dfrac{5}{3} \\[5pt] q_2&=&\dfrac{1}{3} \end{array}$

Da Wahrscheinlichkeiten stets positiv sind, folgt $q=\frac{1}{3}.$

Lösung 2B

Der Ausdruck $P(\overline{L} \cap \overline{D})$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person weder einen Laptop noch einen Desktop-PC besitzt.

Da $72 \,\%$ der Studierenden mindestens eines dieser Geräte besitzen, gilt:

$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{L} \cap \overline{D})&=& 1 - 0,72 &\\[5pt] &=& 0,28&\\[5pt] &=& 28\,\% \end{array}$

Vierfeldertafel ausfüllen

Bereits bekannt sind folgende Wahrscheinlichkeiten:

$P(L) = 0,56$

$P(D) = 0,33$

$P(\overline{L} \cap \overline{D})=0,28$

Einsetzen der Werte und Ergänzen zu den entsprechenden Gesamtwerten liefert:

	$\color{#fff}{D}$	$\color{#fff}{\overline{D}}$	Gesamt
$\color{#fff}{L}$	$0,17$	$0,39$	$\boldsymbol{0,56}$
$\color{#fff}{\overline{L}}$	$0,16$	$\boldsymbol{0,28}$	$0,44$
Gesamt	$\boldsymbol{0,33}$	$0,67$	$\boldsymbol{1,00}$

Wahrscheinlichkeit angeben

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person einen Laptop, aber keinen Desktop-PC besitzt, ergibt sich mit der Vierfeldertafel zu $P(L \cap \overline{D}) = 0{,}39.$

Mit der Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} P_D(L)&=& \dfrac{P(L \cap D)}{P(D)}&\\[5pt] &=& \dfrac{0{,}17}{0{,}33}&\\[5pt] &\approx& 0,515 \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person, die einen Desktop-PC besitzt, auch einen Laptop besitzt, beträgt somit ca. $51,5 \,\%.$

Die Zufallsvariable $X$ kann als binomialverteilt mit $p=0,68$ und $n = 900$ betrachtet werden.

Mit $0,7\cdot 900=630$ ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu:

$P(X \leq 630)$

Mit dem binomcdf-Befehl des Taschenrechners folgt:

$\begin{array}[t]{rll} P(X \leq 630)&\approx& 0,907& \\[5pt] &=& 90,7\,\% \end{array}$

Erwartungswert berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \mu&=& n\cdot p& \\[5pt] &=& 900\cdot 0,68& \\[5pt] &=& 612 \end{array}$

Zahl $\boldsymbol{k}$ ermitteln

Es soll gelten:

$\begin{array}[t]{rll} P(\mu-k\leq X \leq \mu)&\geq& 0,3&\\[5pt] P( X \leq \mu)- P( X \lt \mu-k )&\geq& 0,3& \\[5pt] P( X \leq 612)- P( X \lt 612-k )&\geq& 0,3& \\[5pt] \end{array}$

Systematisches Ausprobieren mit dem Taschenrechner liefert:

Für $k=10:$

$P( X \leq 612)- P( X \lt 612-10 ) \approx 0,287$

Für $k=11:$

$P( X \leq 612)- P( X \lt 612-11 ) \approx 0,307$

Die kleinste mögliche natürliche Zahl für $k$ ist also $k=11.$

Da der maximale Wert auf der $p$ -Achse $100\,\%$ und somit 1 ist, ergibt sich die $p$ -Achsenskalierung direkt.

Aus der Abbildung geht hervor, dass die Normalverteilung symmetrisch um das Maximum verteilt ist. Aufgrund der symmetrischen Verteilung befindet sich dieses somit an der Stelle $p=0,5.$

Es gilt:

$\sigma= \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$

Zu jedem Wert von $p$ lässt sich die Standardabweichung $\sigma$ berechnen.

Es gilt also beispielsweise für $p=0,4:$

$\begin{array}[t]{rll} \sigma_{0,4}&=& \sqrt{15\,000\cdot 0,4\cdot 0,6}&\\[5pt] &=& 60 \end{array}$

Somit ergeben sich die folgenden Achsenskalierungen:

Standardabweichung Achsen Beschriftung Abi 2024

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