Aufgabe 3B

Gegeben sind die Gerade $g:\vec{x}=\left(\begin{array}{l} 1\\ 1\\ -4\end{array}\right) +r\cdot \left(\begin{array}{l}-2\\1\\0\end{array}\right),$ $\ r\in\mathbb{R},$

und die Ebene

$\mathrm{E}:\vec{x}=\left(\begin{array}{l} 1\\ 0\\ -2 \end{array}\right) +s\cdot\left(\begin{array}{l} 1\\ 0\\ -3 \end{array}\right)+t\cdot\left(\begin{array}{l} 0\\ -1\\ 2 \end{array}\right),$ $\ s\in \mathbb{R}, \, t\in \mathbb{R}.$

Zeige, dass

der Vektor $\vec{n}=\left(\begin{array}{l} 3\\ 2\\ 1 \end{array}\right)$ ein Normalenvektor der Ebene $\mathrm{E}$ ist.
$\mathrm{S} (1\mid 1 \mid -4)$ der einzige gemeinsame Punkt von $g$ und $\mathrm{E}$ ist.

Die Ebene $H$ hat die Gleichung $3x+2y+z=3.$ $E$ und $H$ schneiden aus der Geraden $g$ eine Strecke heraus.
Bestimme die Länge dieser Strecke.

(10 BE)

Für $a\in \mathbb{R}$ ist die Ebene $F$ durch die Gleichung $3x+2y+(2+a)\cdot z=3a+4$ gegeben.
Berechne den Wert für $a$ , sodass der Punkt $P (0\mid 0\mid 2,5)$ der Schnittpunkt von $F$ mit der $z$ -Achse ist.
Untersuche, ob es zu jedem Punkt $Z$ der $z$ -Achse einen Wert für $a$ gibt, sodass $Z$ der Schnittpunkt von $F$ mit der $z$ -Achse ist.

(7 BE)

Normalenvektor der Ebene $E$ berechnen:

Das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren $\pmatrix{1\\0\\-3}$ und $\pmatrix{0\\-1\\2}$ der Ebene $E$ bildet einen Normalenvektor der Ebene.

$\overrightarrow{n}=\pmatrix{3\\2\\1}$

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Daraus folgt, dass $\overrightarrow{n}=\pmatrix{3\\2\\1}$ ein Normalenvektor der Ebene $E$ ist.

Schnittpunkt $S$ der Geraden $g$ und Ebene $E$ berechnen:

$r \cdot \pmatrix{-2\\1\\0}- s \cdot \pmatrix{1\\0\\-3}-t \cdot \pmatrix{0\\-1\\2}=\pmatrix{0\\-1\\2}$

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Lineares Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&-2r-1s+0t&=& 0 &\quad \\ \text{II}\quad&1r+0s+1t&=& -1 &\quad \\ \text{III}\quad&0r+3s-2t&=& 2 &\quad \\ \end{array}$

Löse das lineare Gleichungssystem mit Hilfe eines CAS-Taschenrechners.

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keyboard $\to$ Math1 $\to$ $\{^{\Box}_{\Box}$

Das LGS liefert eine eindeutige Lösung:

$r=0$
$s=0$
$t=-1$

$r=0$ in die Geradengleichung $g$ bzw. $s=0$ und $t=-1$ in die Ebenengleichung $E$ einsetzen, liefert den Ortsvektor $\overrightarrow{OS}$ des Schnittpunkts.

Für $r=0$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OS}&=&\pmatrix{1\\1\\-4}+ 0 \cdot \pmatrix{-2\\1\\0} &\quad \\[5pt] &=&\pmatrix{1\\1\\-4} \end{array}$

Damit ist gezeigt, dass $S(1|1|-4)$ der einzige gemeinsame Punkt von $g$ und $E$ ist.

Schnittpunkt $P$ der Ebene $H$ mit der Geraden $g$ und anschließend $|\overrightarrow{SP}|$ berechnen:

$H: 3x+2y+z=3$

Setze dafür die Geradengleichung in die Ebenengleichung ein und bestimme den Parameter $r$ .

$r=-\dfrac{1}{2}$

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Für $r=-\dfrac{1}{2}$ in der Geradengleichung $g$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OP}&=&\pmatrix{1\\1\\-4} -\dfrac{1}{2} \cdot \pmatrix{-2\\1\\0} &\quad \\[5pt] &=&\pmatrix{2\\\dfrac{1}{2}\\-4} \end{array}$

Die beiden Schnittpunkt mit der Geraden $g$ lauten:

$S(1|1|-4)$ und $P\left(2 \,\bigg \vert \, \dfrac{1}{2} \,\bigg \vert \, -4\right)$

Länge der herausgeschnittenen Strecke bestimmen:

$|\overrightarrow{SP}|\approx 1,12$

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Die Länge der herausgeschnittenen Strecke beträgt ca. $1,12\,[\text{LE}]$ .

Wert für $a$ berechnen, sodass $P(0|0|2,5)$ der Schnittpunkt von $F$ mit der z-Achse ist:

Geradengleichung $z$ für die z-Achse liefert:

$z:\overrightarrow{x}=\pmatrix{0\\0\\0}+r \cdot \pmatrix{0\\0\\1}$

Der Punkt $P(0|0|2,5)$ liegt für $r=2,5$ auf der Geraden $z$ und befindet sich somit auf der z-Achse.

Schneide die Ebene $F$ mit der Geraden $z$ , indem die Geradengleichung in die Ebenengleichung eingesetzt wird. Anschließend setze $r=2,5$ , sodass der Punkt $P$ der Schnittpunkt von $F$ mit der z-Achse ist, und bestimme den Wert für $a$ .

$3\cdot (0+0)+2 \cdot(0+0)+(2+a)\cdot r = 3a+4$

$r=2,5$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} (2+a)\cdot 2,5&=&3a+4 &\quad \ \\[5pt] 5+2,5a&=&3a+4&\quad \scriptsize \mid\;-5 \,\, \scriptsize \mid\; -3a \\[5pt] -0,5a&=&-1&\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-2) \\[5pt] a&=&2&\quad \\[5pt] \end{array}$

Für $a=2$ ist der Punkt $P(0|0|2,5)$ der Schnittpunkt von $F$ mit der z-Achse.

Für $a=2$ lautet dann die Ebenengleichung $F$ :

$\begin{array}[t]{rll} 3x+2y+(2+2)\cdot z&=&3\cdot 2+4 &\quad \\[5pt] 3x+2y+4z&=&10 &\quad \\[5pt] \end{array}$

allgemeiner Wert für $a$ bestimmen:

$Z(0|0|r) , r\in\mathbb{R}$ , beschreibt jeden Punkt der z-Achse.
Schneide die Ebene $F$ mit der Geraden $z$ und forme anschließend nach $a$ um.

$a=\dfrac{4-2r}{(r-3)}\,\, ( r\neq 3, \text{ für r=3 existiert keine Lösung})$

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Aus der Rechnung folgt, dass es nicht für jeden Punkt $Z$ der z-Achse einen Wert für $a$ gibt, sodass $Z$ der Schnittpunkt von $F$ mit der z-Achse ist.