Aufgabe 3C

Die Abbildung zeigt modellhaft das Dach eines Kirchturms. Die Eckpunkte der dreieckigen Giebelflächen (grau markiert) und der viereckigen Dachflächen werden durch die Punkte $B(8\mid 0\mid 0),$ $C(8\mid 8\mid 0),$ $E(4\mid 0\mid 6),$ $F(8\mid 4\mid 6),$ $G(4\mid 8\mid 6),$ und $S(4\mid 4\mid 12)$ sowie $A,$ $D$ und $H$ dargestellt. Die vier Dachflächen haben die gleiche Form und die gleiche Größe. Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit einem Meter in der Realität. Die Materialstärken der Bauteile des Dachs sollen im Folgenden vernachlässigt werden.

Die Ebene $L$ enthält die Punkte $C,$ $G$ und $F.$ Gib eine Gleichung von $L$ in Parameterform an und zeige, dass auch $S$ in $L$ liegt.

(4 BE)

Weise nach, dass das Viereck $CGSF$ eine Raute ist.

(3 BE)

Berechne die Größe des Innenwinkels des Vierecks $CGSF$ im Punkt $S$ sowie den gesamten Flächeninhalt der Dachflächen.

(5 BE)

Die Gerade $q_1$ verläuft durch $S$ und $F,$ die Gerade $q_2$ durch $S$ und $G.$ Die beiden Geraden schneiden die $x_1x_2$ -Ebene in den Punkten $Q_1$ bzw. $Q_2.$
Gib das Verhältnis des Abstands von $Q_1$ und $Q_2$ zum Abstand von $F$ und $G$ an.
Begründe deine Angabe, ohne die Koordinaten von $Q_1$ und $Q_2$ zu berechnen.

(3 BE)

Zur Stabilisierung wird zwischen den durch $E$ und $G$ dargestellten Giebelspitzen ein gerader Stahlträger montiert. Vom Mittelpunkt dieses Stahlträgers aus soll eine möglichst kurze Stütze zum durch $\overline{SF}$ dargestellten Balken verlaufen. Der Punkt, in dem die Stütze auf den Balken trifft, wird im Modell mit $R$ bezeichnet.
Berechne die Koordinaten von $R.$

(5 BE)

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Ebenengleichung aufstellen

Richtungsvektoren bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{CF}&=& \pmatrix{8\\4\\6}-\pmatrix{8\\8\\0} &=&\pmatrix{0\\-4\\6} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{CG}&=& \pmatrix{4\\8\\6}-\pmatrix{8\\8\\0} &=&\pmatrix{-4\\0\\6} \end{array}$

Ebenengleichung von $L$ in Parameterform:

$L: \overrightarrow{X}= \overrightarrow{C}+s\cdot \overrightarrow{CF} + t \cdot \overrightarrow{CG}$

Parameterform anzeigen

Punktprobe mit $S$

Rechenweg anzeigen

$\pmatrix{4\\4\\12}=\pmatrix{8-4t\\8-4s\\6s + 6t}$

Für $t=s=1$ ist dieses Gleichungssystem lösbar. Der Punkt $S$ liegt somit ebenso in der Ebene $L.$

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{GS}&=& \pmatrix{4\\4\\12}-\pmatrix{4\\8\\6} &=&\pmatrix{0\\-4\\6} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{FS}&=& \pmatrix{4\\4\\12}-\pmatrix{8\\4\\6} &=&\pmatrix{-4\\0\\6} \end{array}$

Aus $\overline {GS}=\overline{CF}$ und $\overline{FS}=\overline{CG}$ folgt die Parallelität der jeweils gegenüberliegenden Strecken.

Da zudem $|\overrightarrow{GS}|=|\overrightarrow{FS}|$ gilt, besitzen alle Seiten der Raute die gleiche Länge.

Das Viereck $CGSF$ erfüllt somit die Kriterien einer Raute.

Innenwinkel bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\overrightarrow{GS}\circ \overrightarrow{FS}}{|\overrightarrow{GS}|\cdot |\overrightarrow{FS}|} &\\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{\pmatrix{0\\-4\\6}\circ \pmatrix{-4\\0\\6}}{\left| \pmatrix{0\\-4\\6}\right|\cdot \left|\pmatrix{-4\\0\\6}\right|} &\\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{36}{52} &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] \alpha&\approx &46^{\circ} \end{array}$

Flächeninhalt berechnen

Flächeninhalt der Raute:

$\begin{array}[t]{rll} A_R&=&\dfrac{1}{2}\cdot |\overrightarrow{FG}|\cdot | \overrightarrow{CS}| & \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot \left|\pmatrix{-4\\4\\0}\right| \cdot \left| \pmatrix{-4\\-4\\12}\right| & \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{32}\cdot \sqrt{176} & \\[5pt] &\approx& 37,5 \; [\,\text {m}^2] \end{array}$

Inhalt der gesamten Dachfläche:

$A=4\cdot A_R=150\,\text{m}^2$

Die Dreiecke $S Q_{1} Q_{2}$ und $SFG$ haben bei $S$ einen gemeinsamen Innenwinkel, die Gerade $Q_{1} Q_{2}$ ist parallel zur Gerade $FG.$

Damit sind die beiden Dreiecke ähnlich. $\overline{SQ_{1}}$ ist doppelt so lang wie $\overline{\mathrm{SF}}$ . Folglich ist der Abstand von $Q_{1}$ und $Q_{2}$ doppelt so groß wie der Abstand von $F$ und $G$ .

Die Stütze ist genau dann möglichst kurz, wenn sie orthogonal zu dem durch $\overline{S F}$ dargestellten Balken steht. Zunächst wird also der Mittelpunkt $T$ des Stahlträgers $\overline{E G}$ bestimmt.

Die Koordinaten des Mittelpunkts von $\overline{EG}$ lauten $N (4 \mid 4 \mid 6).$

Da der Punkt $R$ auf dem Balken liegen soll, ergeben sich die Koordinaten zu $\overrightarrow{OR}= \overrightarrow{OS} +\sigma \cdot \overrightarrow{SF}.$

Die Stütze ist orthogonal, wenn $\overline{TR}$ orthogonal zu $\overline{SF}$ ist.

Es gilt also:

$\overrightarrow{NR} \circ \overrightarrow{SF}= 0$

Rechenweg anzeigen

$\sigma = \dfrac{9}{13}$

Jetzt können die Koordinaten von $R$ bestimmt werden:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OR}&=& \overrightarrow{OS} +\sigma \cdot \overrightarrow{SF} \\[5pt] \overrightarrow{OR}&=& \pmatrix{4\\4\\12} + \dfrac{9}{13} \cdot \pmatrix{4\\0\\-6}\\[5pt] \overrightarrow{OR}&=& \pmatrix{\dfrac{88}{13}\\4\\\dfrac{102}{13}} \\[5pt] \end{array}$

$R\left(\dfrac{88}{13} \,\bigg \vert \, 4 \,\bigg \vert \, \dfrac{102}{13} \right)$

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