Pflichtteil

Aufgabe P1

Die Abbildung zeigt den Graphen einer quadratischen Funktion $f.$

Abb. 1

Gib eine Gleichung der Funktion $f$ an.

(2 BE)

Gegeben sind die beiden Terme

$\text{I}$

$\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}$

$\text{II}$

$\lim\limits_{x\to4}\dfrac{f(4)-f(x)}{4-x},$ $x\neq 4$

Beschreibe ihre jeweilige Bedeutung in Bezug auf den Graphen von $f.$
Veranschauliche in der Abbildung jeden der beiden Terme durch eine Gerade.

(3 BE)

Aufgabe P2

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)= \mathrm e^{2\cdot x},$ $x\in \mathbb{R}.$

Die Abbildung zeigt die Graphen von $f$ und $\( f$
Entscheide, welcher der Graphen zu $f$ gehört.

(2 BE)

Es ist $g(x)=a\cdot f(x),$ $a\gt0.$
Bestimme einen Wert für $a$ so, dass der vertikale Abstand des beiden Graphen von $g$ und $\( g$ an der Stelle $x=0$ den Wert $3$ hat.

(3 BE)

Abb. 2

Aufgabe P3

Gegeben ist die symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten zufallsgröße $X$ mit der Standardabweichung $\sigma =2.$

Abb. 3

Stelle die Wahrscheinlichkeit $P(7\leq X \leq 10)$ in der Abbildung grafisch dar.
Gib den Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ an.

(2 BE)

Bestimme die Länge $n$ der Bernoullikette sowie die Erfolgswahrscheinlichkeit $p.$

(3 BE)

Aufgabe P4

Eine Rohrleitung verläuft modellmäßig vom Ursprung in Richtung $\overrightarrow{r} = \pmatrix{0\\2\\1}.$
Sie wird durch zwei gleichlange, symmetrisch zur Rohrleitung angeordnete Streben abgestützt.
Die linke Strebe verläuft vom Punkt $A(2\mid 5\mid 0)$ zum Punkt $C(0\mid 4\mid 2).$

Abb. 4

Weise nach, dass die linke Strebe senkrecht auf der Rohrleitung steht.

(3 BE)

Gib die Koordinaten des in der $xy$ -Ebene liegenden Punktes $B$ an.

(2 BE)

Bildnachweise [nach oben]

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Aufgabe P1

$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung angeben

Der Scheitelpunkt der nach unten geöffneten Parabel hat die Koordinaten $(3\mid4).$ Mithilfe der Scheitelpunktform ergibt sich also folgende Gleichung:

$f(x)= a\cdot (x-3)^2 +4$

Der Faktor $a$ kann nun noch durch eine Punktprobe berechnet werden. Verwende beispielsweise den Punkt $P(1\mid 0),$ der sich gut ablesen lässt.

$a=-1$

Vollständige Lösung anzeigen

Eine Gleichung der Funktion $f$ ist also $f(x)= -(x-3)^2 +4.$

$\blacktriangleright$ Bedeutung der Terme beschreiben

Der erste Term stellt einen Differenzenquotienten dar. Er beschreibt die Sekantensteigung der Sekante durch die Punkte $(1\mid f(1))$ und $(3\mid f(3))$ auf dem Graphen von $f.$
Der Term beschreibt also die durchschnittliche Steigung des Graphen von $f$ im Bereich $[1;3].$

Der zweite Term bildet über einen solchen Differenzenquotienten den Grenzwert für $x\to 4$ . Dadurch wird das Intervall so weit verkleinert, dass sich die Länge dem Wert Null annähert.
Damit wird die Steigung des Graphen von $f$ an der Stelle $x=4$ bestimmt.

$\blacktriangleright$ Geraden einzeichnen

Abb. 1

Aufgabe P2

$\blacktriangleright$ Graph zuordnen

$\begin{array}[t]{rll} f(0) &=& \mathrm e^{2\cdot 0} \\[5pt] &=& 1 \end{array}$

Der Graph von $f$ schneidet die $y$ -Achse im Punkt $(0\mid 1).$ Dies trifft nur auf Graph $\text{I}$ zu. Graph $\text{I}$ gehört also zu $f.$

$\blacktriangleright$ Parameterwert bestimmen

$\( \begin{array}[t]{rll} g(x)&=& a\cdot f(x) \\[5pt] &=& a\cdot \mathrm e^{2\cdot x} \\[10pt] g$

Der vertikale Abstand der beiden Graphen von $g$ und $\( g$ an der Stelle $x=0$ kann mithilfe der Differenz der Funktionswerte dargestellt werden:

$\( g$

Vollständige Lösung anzeigen

Damit der vertikale Abstand der beiden Graphen an der Stelle $x=0$ den Wert $3$ hat, muss also $a=3$ sein, da $a\gt0$ vorgegeben ist.

Aufgabe P3

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit grafisch darstellen

Abb. 2: Die Wahrscheinlichkeit wird durch die graue Einfärbung dargestellt

$\blacktriangleright$ Erwartungswert angeben

Der Erwartungswert ist der Wert mit der größten Wahrscheinlichkeit. Der Erwartungswert von $X$ ist also $\mu = 8.$

$\blacktriangleright$ Länge der Bernoullikette und Erfolgswahrscheinlichkeit bestimmen

Der Abbildung kannst du entnehmen, dass die Wahrscheinlichkeiten symmetrisch zum Erwartungswert $k=8$ verteilt sind. Der kleinste Wert, den eine binomialverteilte Zufallsgröße annehmen kann ist immer $0.$
Wegen der Symmetrie ist also der höchst mögliche Wert $k=16.$ Also ist $n=16.$

Mithilfe der Formel für den Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße kannst du nun $p$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \mu&=& n\cdot p &\quad \scriptsize \mid\; \mu =8, n=16 \\[5pt] 8&=& 16\cdot p &\quad \scriptsize \mid\; :16 \\[5pt] 0,5&=& p \end{array}$

Die Erfolgswahrscheinlichkeit beträgt also $p=0,5.$