Pflichtteil

Aufgabe P1

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=(1+x)\cdot\mathrm{e}^x$ , $x\in\mathbb{R}$ .

a) Geben Sie die Nullstelle der Funktion $f$ an.

(1P)

b) Zeigen Sie, dass die Funktion $F$ mit $F(x)=x\cdot\mathrm{e}^x$ , $x\in\mathbb{R}$ , eine Stammfunktion von $f$ ist.
Geben Sie die Gleichung einer weiteren Stammfunktion $G$ von $f$ an, für die $G(0)=\mathrm{e}$ ist.

(4P)

Aufgabe P2

Gegeben ist eine Funktion $f$ mit $f(x)=-x^{2}+1$ .

a) Begründen Sie mithilfe der Lage des Graphen von $f$ im Koordinatensystem, dass gilt:

$\mathop{\displaystyle\int}\limits_{-1}^{1}\left(-x^{2}+1\right)\mathrm{dx}>0$ .

(2P)

b) Bestimmen Sie denjenigen Wert von $a$ , für den $\mathop{\displaystyle\int}\limits_{-1}^{1}\left(-x^{2}+a\right)\mathrm{dx}=0$ gilt.

(3P)

Aufgabe P3

Eine binomialverteilte Zufallsgröße $X$ gibt für die Trefferwahrscheinlichkeit $p=0,8$ die Anzahl der Treffer bei fünf Versuchen an.

a) Geben Sie einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „genau ein Treffer“ berechnet werden kann.

(1P)

b) Geben Sie ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit durch den Term

$\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}\cdot0,8^{3}\cdot0,2^{2}+\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix} \cdot0,8^{4}\cdot0,2^{1}+\begin{pmatrix}5\\5\end{pmatrix}\cdot0,8^{5}$

angegeben wird.

(2P)

c) Entscheiden Sie, welche der folgenden Abbildungen die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ darstellt.

Balkendiagramme zur Darstellung von Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Werte von k.

(2P)

Aufgabe P4

Gegeben sind die Matrix $A$ mit $A=\begin{pmatrix}1&1&0 \\ 1&1&0 \\ 0&0&2\end{pmatrix}$ und der Vektor $\vec{u}$ mit $\vec{u}=\begin{pmatrix}2\\-2\\2\end{pmatrix}$ .

a) Berechnen Sie das Produkt $A\cdot\vec{u}$ .
Geben Sie zwei von $\vec{u}$ verschiedene Vektoren $\vec{v}$ und $\overrightarrow{w}$ an, sodass gilt:

$A\cdot\vec{u}=A\cdot\vec{v}=A\cdot\overrightarrow{w}$ .

(3P)

b) Zeigen Sie, dass für alle Vektoren $\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\4\\2\end{pmatrix}+k\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$ $\quad$ $(k\in\mathbb{R})$ $\quad$ gilt: $\quad$ $A\cdot\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\4\\4\end{pmatrix}$ .

(2P)

(20P)

Aufgabe P1

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=(1+x)\cdot\mathrm{e}^x$ , $x\in\mathbb{R}$ .

a) $\blacktriangleright$ Nullstelle bestimmen

Du sollst die Nullstelle der Funktion $f$ angeben. Dafür setzt du den Funktionsterm von $f$ mit $0$ gleich ( $f(x)=0$ ):

$\begin{array}{rll} 0&=& f(x)&\\ 0&=&(1+x)\cdot \mathrm{e}^x&\scriptsize \mid\; :\; \mathrm{e}^x\; (\mathrm{e}^x>0)\\ 0&=& 1+x&\scriptsize \mid\; -\; 1\\ x&=& -1 &\\ \end{array}$

Die Nullstelle von $f$ ist gegeben durch $x_0 = -1$ .

b) $\blacktriangleright$ Zeige, dass $\boldsymbol{F}$ Stammfunktion von $\boldsymbol{f}$ ist

Zeige, dass die Funktion $F$ mit $F(x)=x\cdot\mathrm{e}^x$ , $x\in\mathbb{R}$ , eine Stammfunktion von $f$ ist. Leite die Funktion dafür mit Hilfe der Produktregel ab:

$f(x) = g(x) \cdot h(x)$
$\(f$

Hier gilt $g(x) = x$ mit $\(g$ und $h(x) = \mathrm e^x$ mit $\(h$ .

$\(\begin{array}{rll} F(x)&=&x\cdot \mathrm e^x&\\ F$

Die Ableitung entspricht der Funktion $f$ , somit ist $F$ eine Stammfunktion von $f$ .

$\blacktriangleright$ Weitere Stammfunktion finden

Du sollst nun eine weitere Stammfunktion $G$ von $f$ angeben, für die $G(0)=\mathrm{e}$ ist. Für die Stammfunktion $F$ gilt $F(0) = 0$ und somit gilt $G(0) = F(0) + \mathrm e$ . Eine weitere Stammfunktion, für die $G(0)=\mathrm{e}$ ist, erhältst du also mithilfe der Stammfunktion

$\begin{array}{rll} G(x)&=&F(x) + \mathrm e&\\ G(x)&=& x\cdot \mathrm e^x + \mathrm e& \end{array}$

Eine weitere Stammfunktion $G$ ist gegeben durch $G(x)= x\cdot \mathrm e^x + \mathrm e$ , diese erfüllt die Bedingung $G(0)=\mathrm{e}$ .

Aufgabe P2

a) $\blacktriangleright$ Begründung für positives Integral

Begründe mithilfe der Lage des Graphen von $f$ im Koordinatensystem, dass gilt:

$\mathop{\displaystyle\int}\limits_{-1}^{1}\left(-x^{2}+1\right)\mathrm{dx}\gt 0$ .

Schaue dir dafür die Gleichung von $f$ an. Dabei stellst du fest, dass der Graph von $f$ eine nach unten geöffnete Normalparabel, die um 1 Einheit nach oben verschoben ist, darstellt. Die Nullstellen sind gegeben durch $x_1 = -1$ und $x_2 = 1$ , das bedeutet, dass der Graph von $f$ im Bereich $-1 \lt x \lt 1$ oberhalb der $x$ -Achse verläuft. Das Integral $\int_{-1}^{1}\left(-x^{2}+1\right)\mathrm{dx}$ ist somit positiv.

b) $\blacktriangleright$ Wert für $\boldsymbol{a}$ bestimmen

Bestimme den Wert von $a$ , für den $\int_{-1}^{1}\left(-x^{2}+a\right)\mathrm{dx}=0$ gilt. Finde dafür zuerst eine Stammfunktion $F$ von $f(x) = -x^2 + a$ . Diese erhältst du mithilfe folgender Formel:

$f(x) = b\cdot x^n \rightarrow F(x) = b\cdot \frac{1}{n+1}\cdot x^{n+1}$

Eine Stammfunktion von $f$ ist also gegeben durch $F(x) = -\frac{1}{3} \cdot x^3 + a\cdot x$ . Berechne nun das Integral:

$\begin{array}{rll} \int_{-1}^{1}\left(-x^{2}+a\right)\mathrm{dx}&=& \big[ - \frac{1}{3} x^3 + a\cdot x\big]_{-1}^{1}&\\ &=&-\frac{1}{3} + a - (\frac{1}{3} - a)&\\ &=&-\frac{2}{3} + 2\cdot a& \end{array}$

Setze diese Gleichung nun $=0$ und löse nach $a$ auf:

$\begin{array}{rll} 0&=&-\frac{2}{3} + 2\cdot a&\scriptsize \mid\;+ \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3}&2\cdot a&=&\scriptsize\mid\;: 2 \\ a &=& \frac{1}{3} \end{array}$ Der gesuchte Wert ist gegeben durch $a=\frac{1}{3}$

Aufgabe P3

Für eine binomialverteilte Zufallsvariable mit Trefferwahrscheinlichkeit $p$ und $n$ Versuchen gilt:

$\mathcal{P} (X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

a) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für einen Treffer berechnen

Um einen Term angeben zu können, mit dem die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „genau ein Treffer“ berechnet werden kann, setzt du in die oben gegebene Formel $p=0,8$ , $n=5$ und $k=1$ ein:

$\mathcal{P}(X=1) = \binom{5}{1} \cdot 0,8^1 \cdot (1-0,8)^{5-1} = \binom{5}{1} \cdot 0,8^1 \cdot 0,2^4$

Mit dem Term $\binom{5}{1} \cdot 0,8^1 \cdot 0,2^4$ kannst du die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „genau ein Treffer“ berechnen.

b) $\blacktriangleright$ Ereignis bestimmen

Du hast folgende Wahrscheinlichkeit gegeben

$\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}\cdot0,8^{3}\cdot0,2^{2}+\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix} \cdot0,8^{4}\cdot0,2^{1}+\begin{pmatrix}5\\5\end{pmatrix}\cdot0,8^{5}$

du sollst nun das passende Ereignis bestimmen. Betrachtest du die oben angegebene Formel für die Wahrscheinlichkeit einer binomialverteilten Zufallsvariablen, stellst du fest, dass die gegebene Wahrscheinlichkeit aus drei Termen, die je der oben angegebenen Formel entsprechen, bestehen. Der erste Teil entspricht der Formel für $k=3$ , der zweite Teil entspricht der Formel für $k=4$ und der dritte Teil entspricht der Formel für $k=5$ .
Somit wäre ein mögliches Ereignis „mindestens drei Treffer“.

c) $\blacktriangleright$ Abbildung der Wahrscheinlichkeitsverteilung auswählen

Du sollst entscheiden, welche der Abbildungen die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ darstellt. Dafür kannst du zum Beispiel den Erwartungswert $E(X) = n\cdot p$ bestimmen:

$E(X) = 5 \cdot 0,8 = 4$

Bei Abbildung 2 würde man den Erwartungswert bei ungefähr 1 vermuten, da der höchste Balken für $k=1$ gegeben ist. In Abbildung 1 ist der höchste Balken bei $k=4$ , das stimmt mit dem gerade berechneten Erwartungswert überein.
Somit stellt Abbildung 1 die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ dar.

Aufgabe P4

a) $\blacktriangleright$ Matrix-Vektor-Multiplikation

Berechnen Sie das Produkt $A\cdot\vec{u}$ . Du berechnest dieses Produkt durch komponentenweise Multiplikation der Einträge der 1., 2. bzw. 3. Zeile von $A$ mit den Elementen von $\vec{u}$ und durch Summation über diese Produkte:

$A\cdot \overrightarrow{u} = \begin{pmatrix}1&1&0\\ 1&1&0\\ 0&0&2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}2\\-2\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot2 + 1 \cdot (-2) + 0 \cdot 2\\ 1\cdot2 + 1 \cdot (-2) + 0 \cdot 2\\ 0\cdot2 + 0 \cdot (-2) + 2 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 -2 + 0\\ 2 -2 + 0\\ 0 + 0 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 4\end{pmatrix}$

$\blacktriangleright$ Vektoren bestimmen

Du sollst nun zwei von $\vec{u}$ verschiedene Vektoren $\vec{v}$ und $\overrightarrow{w}$ angeben, sodass gilt:
$A\cdot\vec{u}=A\cdot\vec{v}=A\cdot\overrightarrow{w}$ . Für die beiden Vektoren muss also gelten, dass bei Multiplikation mit $A$ die ersten beiden Einträge 0 ergeben und der dritte Eintrag $4$ . Somit muss der dritte Eintrag beider Vektoren $2$ sein. Für die ersten beiden Einträge der Vektoren muss gelten, dass diese den gleichen Betrag haben und unterschiedliches Vorzeichen. Das ist der Fall, da diese jeweils mit 1 multipliziert werden und addiert jedoch 0 ergeben müssen.
Somit sind zwei mögliche Vektoren gegeben durch $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{w} = \begin{pmatrix}-3\\3\\2\end{pmatrix}$ .

b) $\blacktriangleright$ Beweise die Aussage

Du sollst zeigen, dass für alle Vektoren

$\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\4\\2\end{pmatrix}+k\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$ $\quad$ $(k\in\mathbb{R})$ $\quad$ gilt: $\quad$ $A\cdot\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\4\\4\end{pmatrix}$ .
Multipliziere dafür die Matrix $A$ mit $\vec{x}$ :

$\begin{array}{rll} A\cdot \vec{x}&=&\begin{pmatrix}1&1&0\\ 1&1&0\\ 0&0&2\end{pmatrix} \cdot \left(\begin{pmatrix}0\\4\\2\end{pmatrix}+k\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\right) &\\ &=&\begin{pmatrix}1&1&0\\ 1&1&0\\ 0&0&2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0\\4\\2\end{pmatrix} + k\cdot \begin{pmatrix}1&1&0\\ 1&1&0\\ 0&0&2\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}&\\ &=&\begin{pmatrix}1\cdot 0+1 \cdot 4+0 \cdot 2\\ 1 \cdot 0+1 \cdot 4+0 \cdot 2\\ 0\cdot 0+0\cdot 4+2\cdot 2\end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix}1\cdot 1+1 \cdot (-1)+0 \cdot 0\\ 1 \cdot 1+1 \cdot (-1)+0 \cdot 0\\ 0\cdot 1+0\cdot (-1)+2\cdot 0\end{pmatrix}&\\ &=&\begin{pmatrix}0+ 4+0 \\ 0+ 4+0 \\ 0+0+4\end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix}1-1+0 \\ 1 -1+0 \\ 0+0+0\end{pmatrix}&\\ &=&\begin{pmatrix}4 \\ 4\\ 4\end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}&\\ &=&\begin{pmatrix}4 \\ 4\\ 4\end{pmatrix}& \end{array}$

Da das Ergebnis von $A\cdot \vec{x}$ $\begin{pmatrix}4\\4\\4\end{pmatrix}$ und somit unabhängig von $k$ ist, ist die Aussage damit bewiesen.