Aufgabe 1A
Die auf 
definierte Funktion 
mit 
modelliert für 
die Konzentration eines Medikamentenwirkstoffes im Blut. Dabei beschreibt 
die Zeit in Stunden 
nach der Einnahme des Medikamentes und 
die Konzentration im Blut in Milligramm pro Liter 
durch die Tangente an den Graphen von im Punkt 
beschrieben werden kann.
a)
Berechne die Konzentration eine Stunde nach der Einnahme des Medikamentes.
Gib den Zeitpunkt an, zu dem die Konzentration erstmals den Wert
annimmt.
Bestimme, wie lange die Konzentration mindestens
beträgt.
Gib den Zeitpunkt an, zu dem die Konzentration erstmals den Wert
Bestimme, wie lange die Konzentration mindestens
(6 BE)
b)
Bestimme 
und interpretiere den Wert im Sachzusammenhang.
(2 BE)
c)
Berechne den Zeitpunkt, zu dem die Konzentration am stärksten abnimmt.
(3 BE)
d)
Die Konzentration im Blut sollte möglichst eine Stunde vor dem Schlafengehen am größten sein.
Berechne, wie viele Stunden vor dem Schlafengehen das Medikament optimalerweise eingenommen werden sollte.
Berechne, wie viele Stunden vor dem Schlafengehen das Medikament optimalerweise eingenommen werden sollte.
(4 BE)
e)
Für 
hat die Gleichung 
keine Lösung.
Interpretiere diese Aussage im Sachkontext.
Interpretiere diese Aussage im Sachkontext.
(2 BE)
f)
Untersuche, ob es ein Zeitintervall ![\([x; 12]\)](https://mathjax.schullv.de/4626f7889e9211ab89878428fceb38383e897337f53a02f9bce7253e71df132a?color=5a5a5a)
gibt, in dem die durchschnittliche Änderungsrate der Konzentration so groß ist wie die momentane Änderungsrate der Konzentration 0,75 Stunden nach der Einnahme.
(4 BE)
g)
Vier Stunden nach der ersten Einnahme wird das Medikament in der gleichen Dosierung erneut eingenommen. Die Gesamtkonzentration ist zu jedem Zeitpunkt die Summe der Konzentrationen, die sich aus der ersten und zweiten Einnahme ergeben.
Ermittle die Gesamtkonzentration eine Stunde nach der zweiten Einnahme. Die Gesamtkonzentration soll
nicht übersteigen.
Untersuche, ob diese Vorgabe eingehalten wird.
Ermittle die Gesamtkonzentration eine Stunde nach der zweiten Einnahme. Die Gesamtkonzentration soll
Untersuche, ob diese Vorgabe eingehalten wird.
(6 BE)
Eine vereinfachte Modellierung geht davon aus, dass die Konzentration ab einem bestimmten Zeitpunkt
h)
Bestimme für 
den Zeitpunkt nach der Einnahme des Medikamentes, zu dem die Konzentration nach diesem vereinfachten Modell null ist.
(4 BE)
i)
Untersuche, ob es nach dieser vereinfachten Modellierung einen Zeitpunkt gibt, sodass die Konzentration genau 6 Stunden nach der Einnahme null ist.
(4 BE)
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a)
Die Konzentration eine Stunde nach der Einnahme in 
ist gegeben durch 
Dem Graphen von kann entnommen werden, dass die Konzentration nach ungefähr einer Viertelstunde erstmals den Wert 
annimmt.
Die Schnittstellen des Graphen von mit der Geraden 
sind gegeben durch 
und 
Da 
für 
gilt, ist die Konzentration ungefähr 
Stunden mindesten groß.
b)
c)
Der Zeitpunkt, an dem die Konzentration am stärksten abnimmt, ist durch das Minimum von 
gegeben.
TI nspire CAS
Casio Classpad II
An der Stelle 
ist der Wert von minimal. Folglich ist nach etwa 
Stunden nach der Einnahme der Zeitpunkt der stärksten Abnahme.
menu 
6: Graph analysieren 2: Minimum
Analyse Grafische Lösung Maximum
d)
Die Konzentration ist maximal, wenn bei ein Maximum vorliegt, also die notwendige Bedingung für Extremstellen 
gilt.
TI nspire CAS
Casio Classpad II
Die Extremstelle liegt bei
Damit die Konzentration also eine Stunde vor dem Schlafengehen am größten ist, muss das Medikament ca. 
Stunden davor eingenommen werden.
menu 6: Graph analysieren 3: Maximum
Analyse Grafische Lösung Maximum
Die Extremstelle liegt bei
e)
Die Aussage bedeutet, dass es im Zeitraum zwischen der ersten und der zwölften Stunde keinen Zeitpunkt gibt, an dem die Konzentration halb so groß ist wie eine Stunde zuvor.
f)
Die durchschnittliche Änderungsrate ist gegeben durch 
Gesucht ist eine Lösung der Gleichung
Es gilt
Daraus folgt
TI nspire CAS
Casio Classpad II
Die Lösung dieser Gleichung ist 
Ein solches Zeitintervall existiert also.
Gesucht ist eine Lösung der Gleichung
Es gilt
menu 3: Algebra 7
keyboard Math1 
g)
Die Gesamtkonzentration eine Stunde nach der zweiten Einnahme in 
ist gegeben durch 
Es muss gelten 
für 
Die höchste Gesamtkonzentration wird durch das Maximum der Funktion
beschrieben.
TI nspire CAS
Casio Classpad II
Die Funktion nimmt den maximalen Wert
an.
Somit wird die Vorgabe eingehalten.
Die höchste Gesamtkonzentration wird durch das Maximum der Funktion
menu 6: Graph analysieren 3: Maximum
Analyse Grafische Lösung Maximum
Die Funktion nimmt den maximalen Wert
Somit wird die Vorgabe eingehalten.
h)
Die Koordinaten des Punktes
Die Tangentengleichgung lautet
Gesucht ist der Schnittpunkt der Tangente mit der
menu 3: Algebra 7
keyboard Math1
Die Lösung der Gleichung ist gegeben durch
i)
Die Tangentengleichung im Punkt 
ist gegeben durch 
Gesucht ist eine Lösung der Gleichung
TI nspire CAS
Casio Classpad II
Die Lösung dieser Gleichung ist gegeben durch
Somit existiert ein solcher Zeitpunkt.
Gesucht ist eine Lösung der Gleichung
menu 3: Algebra 7
keyboard Math1
Die Lösung dieser Gleichung ist gegeben durch
Somit existiert ein solcher Zeitpunkt.