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Aufgabe 2A - 1
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Aufgabe 2B - 1
Aufgabe 2B - 2

Aufgabe 1B

Für die Gartenschau „Mathematischer Garten“ wird die Gestaltung einer quadratischen Gartenfläche geplant. Diese soll durch einen Weg in eine Blumenfläche und eine Sträucherfläche aufgeteilt werden. Die Blumenfläche liegt nördlich des Weges. In der Planungsphase werden verschiedene Modelle der Gartenfläche mit einer Seitenlänge von einem Meter \((\text m)\) hergestellt. Der Weg wird dabei modellhaft durch Funktionsgraphen beschrieben. Ein mögliches Modell der Gartenfläche mit Weg ist in Abbildung 1 dargestellt. Alle zu berechnenden Größen beziehen sich auf die jeweiligen Modelle.
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Abb. 1
a)
Im ersten Modell soll der Weg durch den Graphen der Funktion \(f\) mit \(f(x)=\dfrac{2}{3}x^2+\dfrac{2}{15}x+\dfrac{1}{5},\) \(0 \leq x \leq 1\), beschrieben werden. Dabei werden \(x\) und \(f(x)\) jeweils in Metern angegeben.
Untersuche, durch welche Ecken des quadratischen Modells der Weg verläuft. Skizziere den Weg im Koordinatensystem der Abbildung 2.
Mathematischer Garten
Abb. 2
Bestimme die Inhalte von Blumen- und Sträucherfläche.
Ermittle Anfangs- und Endpunkt des Wegabschnittes, in dem der Abstand zur nördlichen Grenze der Gartenfläche mindestens \(0,3 \, \text m\) beträgt.
Gib einen Term an, der die Summe der Abstände zwischen einem beliebigen Punkt auf dem Weg und den beiden östlichen Eckpunkten der Gartenfläche beschreibt.
(10 BE)
b)
Ein zweites Modell verwendet zur Beschreibung des Weges den Graphen der Funktion \(g\) mit \(g(x)=6x^3-9x^2+4x,\) \(0\leq x \leq 1.\) Dabei werden \(x\) und \(g(x)\) jeweils in Metern angegeben. Auf dem Weg von der westlichen zur östlichen Grenze der Gartenfläche gibt es zwei Punkte, an denen man genau in Richtung Osten läuft.
Berechne die Koordinaten dieser beiden Punkte.
Auf dem Weg von der westlichen zur östlichen Grenze der Gartenfläche schließt im Punkt \(P\left(\frac {1}{5} \mid g\left(\frac {1}{5}\right)\right)\), ein geradliniger Nebenweg ohne Knick an den Weg aus dem zweiten Modell an.
Bestimme die Koordinaten des Punktes, in dem man über den Nebenweg auf die nördliche oder östliche Außengrenze der Gartenfläche trifft.
Ein Streifen der Blumenfläche soll mit rotblühenden Blumen bepflanzt werden. Das hierzu ausgewählte Teilstück ist in der Abbildung 3 grafisch dargestellt.
Bestimme dessen Flächeninhalt.
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Abb. 3
(17 BE)
c)
In einem dritten Modell wird der Weg durch den Graphen der Funktion \(h\) mit \(h(x)=a\cdot x^4+b\cdot x^2+ \frac {1}{4},\) \(0 \leq x \leq 1\), beschrieben. Dabei werden \(x\) und \(h(x)\) jeweils in Metern angegeben. Der zugehörige Weg verläuft durch die nordöstliche Ecke der Gartenfläche und teilt diese so auf, dass eine Teilfläche \(60\,\%\) der gesamten Gartenfläche beinhaltet.
Ermittle alle Werte für \(a\) und \(b\), sodass diese Bedingungen erfüllt sind.
(7 BE)
a)
\(\blacktriangleright\)  Verlauf durch die Ecken untersuchen
Die Koordinaten der vier Ecken lauten im Modell \((0\mid 0),\) \((0\mid 1),\) \((1\mid 0)\) und \((1\mid 1).\)
\(\begin{array}[t]{rll} f(0) &=& \frac{2}{3}\cdot 0^2 +\frac{2}{15}\cdot 0 + \frac{1}{5} \\[5pt] &=& \frac{1}{5} \\[10pt] f(1) &=& \frac{2}{3}\cdot 1^2 +\frac{2}{15}\cdot 1 + \frac{1}{5} \\[5pt] &=& 1 \end{array}\)
Der Weg verläuft im Modell also durch die nordöstliche Ecke mit den Koordinaten \((1\mid 1),\) aber durch keine andere Ecke.
\(\blacktriangleright\)  Weg skizzieren
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Abb. 1: Skizzieren des Wegs
\(\blacktriangleright\)  Flächeninhalte berechnen
Die Größe der Sträucherfläche entspricht im Modell der Größe der Fläche unter dem Graphen der Funktion \(f\) für \(0\leq x \leq 1.\) Du kannst also ein Integral verwenden und dieses mit dem CAS berechnen:
\(\blacktriangleright\) TI nspire CAS
menu \(\to\) 4: Analysis \(\to\) 3: Integral
\(\blacktriangleright\) Casio Classpad II
keyboard \(\to\) Math2 \(\to\) \(\int_{\Box}^{\Box}\Box\)
\( \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\;\mathrm dx\approx 0,49\,\left[\text{m}^2\right] \)
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Grünes Icon mit Lupe, symbolisiert Suche oder Forschung.
\(\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\;\mathrm dx &=& \displaystyle\int_{0}^{1}\left( \frac{2}{3}\cdot x^2 +\frac{2}{15}\cdot x + \frac{1}{5} \right)\;\mathrm dx &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &\approx& 0,49\,\left[\text{m}^2\right] \end{array}\)
Die Sträucherfläche ist also ca. \(0,49\,\text{m}^2\) groß. Die gesamte quadratische Fläche ist \(1\,\text{m}^2\) groß. Die Blumenfläche ist also ca. \(0,51\,\text{m}^2\) groß.
\(\blacktriangleright\)  Anfangs- und Endpunkt mit Mindestabstand ermitteln
Die nördliche Grenze wird im Modell durch die Gerade zu \(y=1\) beschrieben. Der Graph von \(f\) soll von dieser mindestens den Abstand \(0,3\) haben. Also dürfen die Funktionswerte höchstens \(0,7\) sein.
Die Gleichung \(f(x) = 0,7\) kannst du mit dem solve-Befehl deines CAS lösen:
Du erhältst:
\(x_1 \approx 0,77\)
Zusammen mit deiner eigenen Skizze ergibt sich:
Der Anfangspunkt des Wegabschnittes, in dem der Abstand zur nördlichen Grenze der Gartenfläche mindestens \(0,3\,\text{m}\) beträgt, ist \(A(0\mid \frac{1}{5}).\) Der zugehörige Endpunkt ist \(E(0,77\mid 0,7).\)
\(\blacktriangleright\)  Term angeben
Bezeichne mit \(P(x\mid f(x))\) einen beliebigen Punkt auf dem Weg. Dann folgt:
\( d(x) = ... \)
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\(d(x) = \sqrt{(1-x)^2 +(1-f(x))^2} + \sqrt{(1-x)^2 +(0-f(x))^2} \)
b)
\(\blacktriangleright\) Koordinaten der Punkte Richtung Osten berechnen
Die Punkte, an denen man genau in Richtung Osten läuft sind im Modell die Punkte, in denen der Graph von \(g\) eine waagerechte Tangente besitzt. In diesen Punkten ist die Steigung des Graphen also Null.
\(\begin{array}[t]{rll} g‘(x) &=& 0 \\[5pt] x_1 &=& \frac{1}{3}\\[5pt] x_2 &=& \frac{2}{3}\\[5pt] \end{array}\)
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\(\begin{array}[t]{rll} g(x) &=& 6\cdot x^3 -9\cdot x^2 +4\cdot x \\[5pt] g‘(x) &=& 18x^2 -18x +4 \\[5pt] g‘(x) &=& 0 \\[5pt] 18x^2 -18x +4 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :18 \\[5pt] x^2 -x +\frac{2}{9}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;pq\text{-Formel} \\[5pt] x_{1/2} &=& -\frac{-1}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-1}{2} \right)^2 -\frac{2}{9}} \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\pm \frac{1}{6} \\[5pt] x_1 &=& \frac{1}{2}- \frac{1}{6} \\[5pt] &=& \frac{1}{3}\\[5pt] x_2 &=& \frac{1}{2}+ \frac{1}{6} \\[5pt] &=& \frac{2}{3}\\[5pt] \end{array}\)
\(\begin{array}[t]{rll} g\left(\frac{1}{3}\right) &=& \frac{5}{9} \\[10pt] g\left(\frac{2}{3}\right) &=& \frac{4}{9} \end{array}\)
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\(\begin{array}[t]{rll} g\left(\frac{1}{3}\right) &=& 6\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 -9\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 +4\cdot\frac{1}{3} \\[5pt] &=& \frac{2}{9} -1+\frac{4}{3} \\[5pt] &=& \frac{5}{9} \\[10pt] g\left(\frac{2}{3}\right) &=& 6\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3 -9\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 +4\cdot\frac{2}{3} \\[5pt] &=& \frac{16}{9} -4+\frac{8}{3} \\[5pt] &=& \frac{4}{9} \end{array}\)
Die beiden Punkte, an denen man genau Richtung Osten läuft, haben im Modell die Koordinaten \(\left(\frac{1}{3} \mid \frac{5}{9} \right)\) und \(\left(\frac{2}{3}\mid \frac{4}{9} \right).\)
\(\blacktriangleright\)  Koordinaten bestimmen
1. Schritt: Funktionsgleichung aufstellen
Der Nebenweg liegt im Modell auf der Tangente an den Graphen von \(g\) im Punkt \(P\left(\frac{1}{5}\mid g\left(\frac{1}{5}\right)\right).\) Für die Steigung \(m\) dieser Tangente gilt:
\( m=1,12 \)
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\(\begin{array}[t]{rll} g(x) &=& 6x^3 -9x^2 +4x \\[5pt] g‘(x) &=& 18x^2 -18x + 4 \\[5pt] m &=& g‘(0,2) \\[5pt] &=& 18\cdot 0,2^2 -18\cdot 0,2 + 4 \\[5pt] &=& 1,12 \end{array}\)
Außerdem verläuft die Tangente durch den Punkt \(P.\)
\( g(0,2)=0,488 \)
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\(\begin{array}[t]{rll} g(0,2)&=& 6\cdot 0,2^3 -9\cdot 0,2^2 +4\cdot 0,2 \\[5pt] &=& 0,488 \\[5pt] \end{array}\)
Für die Tangentengleichung folgt dann:
\( b=0,264 \)
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\(\begin{array}[t]{rll} t_g(x) &=& m\cdot x +b &\quad \scriptsize \mid\;m = 1,12 \\[5pt] t_g(x) &=& 1,12x +b&\quad \scriptsize \mid\; P(0,2\mid 0,488)\\[5pt] 0,488 &=& 1,12\cdot 0,2 +b \\[5pt] 0,488 &=& 0,224 +b &\quad \scriptsize \mid\; -0,224 \\[5pt] 0,264 &=& b \end{array}\)
Im Modell liegt der Nebenweg also auf der Geraden mit der Gleichung \(t_g(x) = 1,12x +0,264.\)
2. Schritt: Schnittstellen bestimmen
Die östliche Grenze wird durch die Gerade \(x=1\) beschrieben.
\(\begin{array}[t]{rll} t_g(1)&=& 1,12\cdot 1 +0,264 \\[5pt] &=& 1,384 \end{array}\)
Auf die östliche Grenze würde der Nebenweg also im Punkt \((1\mid 1,384)\) treffen. Dieser Punkt liegt allerdings außerhalb der Modellfläche.
Die nördliche Grenze der Gartenfläche wird durch die Gerade zu \(y=1\) beschrieben:
\( x = 0,66 \)
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\(\begin{array}[t]{rll} t_g(x) &=& 1 \\[5pt] 1,12x +0,264 &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\;-0,264 \\[5pt] 1,12x &=& 0,736 &\quad \scriptsize \mid\; :1,12\\[5pt] x &=& 0,66 \end{array}\)
Der Nebenweg trifft im Punkt \((0,66\mid 1)\) auf die nördliche Grenze der Gartenfläche.
\(\blacktriangleright\)  Flächeninhalt bestimmen
Die Fläche kann als Rechteck mit den Seitenlängen \(1\,\text{m}-0,6\,\text{m}\) und \(1\,\text{m}\) betrachtet werden, aus dem eine Fläche mit dem Inhalt \(A_1\) herausgetrennt wird.
Der Flächeninhalt \(A_1\) kann mit einem Integral über \(f-0,6\) berechnet werden. Die Integrationsgrenzen sind die Schnittstelle von \(f\) mit der Geraden zu \(y=0,6\) und \(1.\)
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Abb. 2: Skizze
1. Schritt: Fläche des gesamten Rechtecks berechnen
\( A_R =0,4\,\text{m}^2 \)
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\(\begin{array}[t]{rll} A_R &=& (1\,\text{m} - 0,6\,\text{m}) \cdot 1\,\text{m} \\[5pt] &=& 0,4\,\text{m}^2 \\[5pt] \end{array}\)
2. Schritt: Schnittstelle bestimmen
Löse die Gleichung \(f(x)=0,6\) mit dem solve-Befehl deines CAS:
Du erhältst: \(x\approx 0,86\)
3. Schritt: Integral bestimmen
\(\blacktriangleright\) TI nspire CAS
menu \(\to\) 4: Analysis \(\to\) 3: Integral
\(\blacktriangleright\) Casio Classpad II
keyboard \(\to\) Math2 \(\to\) \(\int_{\Box}^{\Box}\Box\)
\( A_1\approx 0,02\,[\text{m}^2] \)
Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.Vollständige Lösung anzeigen
Grünes Icon mit Lupe, symbolisiert Suche oder Forschung.
\(A_1= \displaystyle\int_{0,86}^{1}(f(x)-0,6)\;\mathrm dx \approx 0,02\,[\text{m}^2] \)
4. Schritt: Flächeninhalt bestimmen
\(A = 0,4\,\text{m}^2 - 0,02\,\text{m}^2 = 0,38\,\text{m}^2\)
Die Fläche, die mit rotblühenden Blumen bepflanzt werden soll, hat einen Flächeninhalt von ca. \(0,38\,\text{m}^2.\)
c)
\(\blacktriangleright\)  Werte ermitteln
Es muss gelten:
  • Der Weg verläuft durch die nordöstliche Ecke: \(h(1) =1\)
  • Der Weg teilt die Fläche so, dass entweder die südliche Teilfläche \(60\,\%\) ausmacht oder die nördliche Teilfläche \(60\,\%\) ausmacht, sodass die südliche Teilfäche also \(40\,\%\) ausmacht. Die Gesamtfläche ist \(1\,\text{m}^2\) groß, also folgt:
    \(\displaystyle\int_{0}^{1}h(x)\;\mathrm dx = 0,6\) oder \(\displaystyle\int_{0}^{1}h(x)\;\mathrm dx = 0,4\)
Aus der ersten Bedingung folgt:
\( a=\frac{3}{4}-b \)
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\(\begin{array}[t]{rll} \text{I}\quad & h(1) &=& 1 \\[5pt] & a\cdot 1^4 + b\cdot 1^2 + \frac{1}{4} &=& 1 \\[5pt] & a+b + \frac{1}{4} &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\;- \frac{1}{4} \\[5pt] & a+b &=& \frac{3}{4}&\quad \scriptsize \mid\;-b \\[5pt] & a &=& \frac{3}{4}-b \\[5pt] \end{array}\)
Aus der zweiten Bedingung folgt für die erste Möglichkeit:
\( \frac{a}{5}+\frac{b}{3} = 0,35 \)
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\(\begin{array}[t]{rll} \text{II}_1\quad & \displaystyle\int_{0}^{1}h(x)\;\mathrm dx &=& 0,6 \\[5pt] & \displaystyle\int_{0}^{1}\left(ax^4 +bx^2 +\frac{1}{4} \right)\;\mathrm dx &=& 0,6 \\[5pt] & \left[\frac{a}{5}x^5 +\frac{b}{3}x^3 +\frac{1}{4}x \right]_0^1 &=& 0,6\\[5pt] &\frac{a}{5}\cdot 1^5 +\frac{b}{3}\cdot 1^3 +\frac{1}{4}\cdot 1 -\left( \frac{a}{5}\cdot 0^5 +\frac{b}{3}\cdot 0^3 +\frac{1}{4}\cdot 0 \right) &=& 0,6\\[5pt] &\frac{a}{5}+\frac{b}{3} +\frac{1}{4} &=& 0,6 &\quad \scriptsize \mid\; -\frac{1}{4} \\[5pt] & \frac{a}{5}+\frac{b}{3} &=& 0,35 \end{array}\)
Einsetzen von \(\text{I}\) in \(\text{II}_1\) liefert:
\( b_1=1,5 \)
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\(\begin{array}[t]{rll} \text{II}_1\quad & \frac{a}{5}+\frac{b}{3} &=& 0,35 &\quad \scriptsize \mid\; a= \frac{3}{4}-b\\[5pt] & \frac{\frac{3}{4}-b}{5}+\frac{b}{3} &=& 0,35 \\[5pt] & \frac{\frac{3}{4}}{5}+\frac{2}{15}b &=& 0,35\\[5pt] & \frac{3}{20}+\frac{2}{15}b &=& 0,35 &\quad \scriptsize \mid\;- \frac{3}{20} \\[5pt] & \frac{2}{15}b &=& 0,2 &\quad \scriptsize \mid\; :\frac{2}{15}\\[5pt] & b_1 &=& 1,5 \end{array}\)
Für \(a\) folgt dann:
\(a_1= \frac{3}{4}-1,5 = -0,75 \)
Aus der zweiten Bedingung folgt für die zweite Möglichkeit:
\( \frac{a}{5}+\frac{b}{3} = 0,15 \)
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\(\begin{array}[t]{rll} \text{II}_2\quad & \displaystyle\int_{0}^{1}h(x)\;\mathrm dx &=& 0,4 \\[5pt] & \displaystyle\int_{0}^{1}\left(ax^4 +bx^2 +\frac{1}{4} \right)\;\mathrm dx &=& 0,4 \\[5pt] & \left[\frac{a}{5}x^5 +\frac{b}{3}x^3 +\frac{1}{4}x \right]_0^1 &=& 0,4\\[5pt] &\frac{a}{5}\cdot 1^5 +\frac{b}{3}\cdot 1^3 +\frac{1}{4}\cdot 1 -\left( \frac{a}{5}\cdot 0^5 +\frac{b}{3}\cdot 0^3 +\frac{1}{4}\cdot 0 \right) &=& 0,4\\[5pt] &\frac{a}{5}+\frac{b}{3} +\frac{1}{4} &=& 0,4 &\quad \scriptsize \mid\; -\frac{1}{4} \\[5pt] & \frac{a}{5}+\frac{b}{3} &=& 0,15 \end{array}\)
Einsetzen von \(\text{I}\) in \(\text{II}_2\) liefert:
\( b_2=0 \)
Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.Vollständige Lösung anzeigen
Grünes Icon mit Lupe, symbolisiert Suche oder Forschung.
\(\begin{array}[t]{rll} \text{II}\quad & \frac{a}{5}+\frac{b}{3} &=& 0,15 &\quad \scriptsize \mid\; a= \frac{3}{4}-b\\[5pt] & \frac{\frac{3}{4}-b}{5}+\frac{b}{3} &=& 0,15 \\[5pt] & \frac{\frac{3}{4}}{5}+\frac{2}{15}b &=& 0,15\\[5pt] & \frac{3}{20}+\frac{2}{15}b &=& 0,15 &\quad \scriptsize \mid\;- \frac{3}{20} \\[5pt] & \frac{2}{15}b &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :\frac{2}{15}\\[5pt] & b_2 &=& 0 \end{array}\)
Für \(a\) folgt dann:
\(a_2= \frac{3}{4}-0 = \frac{3}{4} \)
Die genannten Bedingungen sind für \(a=\frac{3}{4}\) und \(b=0\) bzw. \(a= -0,75\) und \(b=1,5\) erfüllt.
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