Aufgabe 1B
Die nebenstehende Abbildung zeigt schematisch die Seitenansicht einer Wasserrutschbahn, die aus einem Startbogen, einem Mittelabschnitt und einem Auslaufbogen zusammengesetzt ist.
Die einzelnen Abschnitte werden durch Funktionen beschrieben. Die Funktionen stimmen in den jeweiligen Übergängen in Funktionswerten und Werten der Ableitung überein.
Der Auslaufbogen hat in seinem Endpunkt 
eine waagrechte Tangente.
Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit. Die 
-Achse beschreibt die Horizontale.
a)
Berechne eine Gleichung der Gerade, die den Mittelabschnitt beschreibt.
Berechne die Größe des Winkels dieses Abschnitts der Rutschbahn gegenüber der Horizontalen.
Zur Kontrolle: ![\(y=-\dfrac{3}{2} x+24 \bigg]\)](https://mathjax.schullv.de/5df019150a6c9ccca731d05da255535d83e6300c794ad36672e20875b90eb43e?color=5a5a5a)
(6 BE)
b)
Der Auslaufbogen wird mit Hilfe einer quadratischen Funktion 
beschrieben.
Bestimme eine Gleichung von 
Zur Kontrolle: ![\(f(x)=\dfrac{3}{32} x^2-\dfrac{15}{4} x+\dfrac{75}{2}\bigg]\)](https://mathjax.schullv.de/91cb019164c4c0d48fc9cff633a63e914e55890bf650e9e5913fe8e6465c24b0?color=5a5a5a)
(4 BE)
c)
Die Seitenfläche unterhalb der Wasserrutschbahn wird im Bereich 
verkleidet.
Stelle die entsprechende Fläche in der Abbildung grafisch dar.
Berechne den Flächeninhalt der Seitenfläche.
Der Startbogen wird mit Hilfe eines Kreises beschrieben. Er wird durch mehrere Streben gleicher Länge gestützt; diese gehen alle vom selben Punkt aus, der auf der
(6 BE)
d)
Weise nach, dass der Mittelpunkt 
des Kreises die Koordinaten 
hat.
(3 BE)
e)
Berechne den Radius des Kreises.
(3 BE)
Die nebenstehende Abbildung zeigt die vollständige schematische Seitenansicht einer zweiten Wasserrutschbahn. Ihr Verlauf wird mit Hilfe der in 
definierten Funktion 
beschrieben:
Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.
Die -Achse beschreibt die Wasseroberfläche. Die Rutschbahn endet 0,2 Meter oberhalb der Wasseroberfläche.
f)
Gib die Höhe des Startpunkts der Rutschbahn oberhalb der Wasseroberfläche an.
Ermittle die Koordinaten des Endpunktes der Rutschbahn.
(4 BE)
g)
Die Rutschbahn weist in mehreren Punkten ihre größte Neigung gegenüber der Horizontalen auf.
Berechne diese Neigung in Prozent.
(4 BE)
h)
Der Graph von enthält Punkte, in denen die Tangente an den Graphen parallel zur -Achse verläuft.
Weise nach, dass diese Punkte alle auf einer Geraden liegen.
(5 BE)
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a)
Gleichung berechnen
Der Mittelabschnitt kann durch eine Gerade beschrieben werden, die durch die Punkte 
und 
verläuft.
Für die Steigung 
gilt also:
Einsetzen der Koordinaten von sowie der Steigung in die allgemeine Geradengleichung liefert:
![\(\begin{array}[t]{rll}
g: y&=& m\cdot x+c & \\[5pt]
18&=& -\dfrac{3}{2} \cdot 4+c & \\[5pt]
18&=& -6+c & \quad \scriptsize \mid +6\\[5pt]
24 &=& c
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/d219c8a76390c3bf0cca23a19fcbc6ca2d1e75d6fab74db7a4c2f50530639eac?color=5a5a5a)
Die Geradengleichung, die den Mittelabschnitt beschreibt, ist somit gegeben durch 
Winkel berechnen
Da der Mittelabschnitt die Steigung 
besitzt, folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan \alpha&=& \,\bigg \vert \,-\dfrac{3}{2}\,\bigg \vert \,&\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1} \\[5pt]
\alpha&\approx& 56^{\circ}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/a97a9fe58d565367ab3986ded87baea1c1b493d5265ac69ba683d06d91619a3c?color=5a5a5a)
b)
Allgemeine Gleichung einer quadratischen Funktion: 
Da der Auslaufbogen im Punkt beginnt und im Endpunkt eine waagerechte Tangente besitzt, ergibt sich folgendes lineare Gleichungssystem:
Mit dem CAS folgt:
und 
Der Auslaufbogen kann somit durch die folgende quadratische Funktion beschrieben werden:
c)
Fläche darstellen
Flächeninhalt berechnen
Für den Flächeninhalt der Seitenfläche des trapezförmigen Mittelabschnitts gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_1&=& \dfrac{18+6}{2} \cdot 8 & \\[5pt]
&=& 96 \left[\text{m}^2\right]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/f06d469912998eb22e0f80f53b120c91cc2561f869a770a075c030ad2aaec99e?color=5a5a5a)
Der Flächeninhalt der Seitenfläche des Auslaufbogens ergibt sich mit:
Der Flächeninhalt der gesamten Seitenfläche folgt also mit:
![\(\begin{array}[t]{rll}
A&=& A_1+A_2 & \\[5pt]
&=& 96 \,\text{m}^2 +16 \,\text{m}^2 & \\[5pt]
&=& 112 \,\text{m}^2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/78633ca0dfe77a75957b336247453d000387907f37aa1d21af144dd49b8b969b?color=5a5a5a)
d)
Da die Strebe am Übergang zwischen Startbogen und Mittelabschnitt senkrecht auf die Rutschbahn trifft, liegt dieser auf der Normalen zur Gerade des Mittelabschnitts im Punkt 
Die Steigung 
der Normalen lässt sich berechnen durch 
wobei die Steigung des Mittelabschnitts im Punkt beschreibt. Aus Aufgabenteil a) folgt diese mit 
Mit den Koordinaten von ergibt sich die Normalengleichung somit zu:
![\(\begin{array}[t]{rll}
n(x)&=& -\dfrac{1}{m}\cdot (x-4)+18 & \quad \scriptsize \,\bigg \vert \, m=-\dfrac{3}{2} \\[5pt]
&=& \dfrac{2}{3}\cdot (x-4)+18& \\[5pt]
&=& \dfrac{2}{3}x-\dfrac{8}{3}+\dfrac{54}{3}& \\[5pt]
&=& \dfrac{2}{3}x+\dfrac{46}{3}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/4fa536d1bf1b3ee70f32a3774f257b7bf6bc799da82a25a90b7bd2a2b7a14055?color=5a5a5a)
Da die Streben alle vom selben Punkt auf der 
-Achse ausgehen, folgt für den Mittelpunkt 
![\(\begin{array}[t]{rll}
n(0)&=& \dfrac{2}{3}\cdot 0+\dfrac{46}{3} \\[5pt]
&=& \dfrac{46}{3}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/c56ac8cc09bc7458207cb0218860a1a1520294c991e4f92fd1b6a1f109b1f1f0?color=5a5a5a)
Somit besitzt der Mittelpunkt die Koordinaten 
e)
Für den Radius 
des Kreises gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
r&=& d(M;A) & \\[5pt]
&=& \sqrt{(4-0)^2+\left(18-\frac{46}{3}\right)^2} \\[5pt]
&\approx & 4,8 \,\left[\text{m}\right]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/d1ecc83f44c229a9c97bdb4e5c9e64d426bb35172dd0f30875a9d046aea0939e?color=5a5a5a)
f)
Höhe des Startpunkts bestimmen
Für den Startpunkt gilt:
Koordinaten des Endpunkts ermitteln
Da die Rutschbahn 
oberhalb der Wasseroberfläche endet, ergibt sich:
Mit dem solve-Befehl des CAS folgt 
Die Koordinaten des Endpunkts sind somit gegeben durch 
g)
Die größte Neigung gegenüber der Horizontalen entspricht der minimalen Steigung von 
Ableitung bestimmen:
Die Minimalstellen von 
ergeben sich mit dem CAS zu 
und 
Der Graph von weist folglich an den Stellen 
und 
die größte Neigung auf.
Neigung bestimmen:
Die größte Neigung der Rutschbahn gegenüber der Horizontalen ist somit gegeben durch 
also ca. 
h)
1. Schritt: Punkte bestimmen
Für die Punkte, in denen die Tangente an den Graphen parallel zur -Achse verläuft, gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
h](https://mathjax.schullv.de/7f492f6ce2bc067ce783e0b17317d6da309e5b92eebaf8b5623ddf33fbe66ca5?color=5a5a5a)
Mit dem CAS folgt:
und 
Die -Koordinaten ergeben sich zu:
Die gesuchten Punkte besitzen somit die Koordinaten 
und 
2. Schritt: Geradengleichung aufstellen
Die Gerade, die durch die Punkte 
und 
verläuft, besitzt die Steigung 
Einsetzen der Koordinaten von und 
in die allgemeine Geradengleichung liefert:
![\(\begin{array}[t]{rll}
g: y&=& m\cdot x+c & \\[5pt]
5,2&=& -0,5\cdot 0+c & \\[5pt]
5,2&=& c
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/8fd32829ce3b8b532c54b14332da2844a447d74836a4a93286d4ac91b829282b?color=5a5a5a)
Die Gerade 
durch die Punkte und besitzt somit die Gleichung 
3. Schritt: Lage von 
nachweisen
Es gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
g(10) &=& -0,5\cdot 10+5,2 & \\[5pt]
&=& 0,2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/50c28e9670294be5b8a1e2a6c9758467db02f20bc74054a753c8a3231d96237b?color=5a5a5a)
Da 
gilt, liegt auch der Punkt 
auf der Geraden 
Somit liegen alle Punkte, in denen die Tangente an den Graphen parallel zur -Achse verläuft, auf einer Geraden.