Aufgabe 1B

Die Abbildung 1 zeigt die Graphen der Funktionen und . Entscheide, welche der Funktionen zu welchem Graphen gehört. Begründe, dass der Graph von keinen Extrempunkt hat. Berechne die Koordinaten des Punktes , in dem die Tangente an den Graphen von die Steigung hat. Die Koordinatenachsen, der Graph der Funktion und die Gerade zu mit schließen eine Fläche ein. Die Tangente an den Graphen von im Punkt heißt . Bestimme einen Wert für so, dass der Inhalt dieser Fläche mit dem Betrag der Steigung der Tangenten übereinstimmt.

Für eine Stelle sind , und die Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks. Es gibt einen Punkt auf dem Graphen von so, dass der Flächeninhalt des Dreiecks maximal ist. Bestimme die Koordinaten der Punkte und . Betrachtet werden alle Punkte, die auf dem Graphen von liegen. Bestimme die Koordinaten des Punktes , der vom Ursprung den kleinsten Abstand hat. Die Gerade verläuft durch den Punkt und ist senkrecht zur Tangente an den Graphen von im Punkt . Untersuche, ob eine Ursprungsgerade ist. Ohne Nachweis kannst du verwenden: Wenn für die Steigungen und zweier Geraden die Beziehung gilt: , dann stehen die zugehörigen Geraden senkrecht aufeinander.

Gegeben sind die Funktion mit , . Die Graphen von und schneiden sich im Punkt . Die Graphen von und und die -Achse schließen für eine Fläche ein. Bestimme deren Inhalt. Beurteile mithilfe der Ableitungen von und die Behauptung, dass für weitere Schnittpunkte existieren können. Untersuche mithilfe des Graphen der Funktion , für welche Stellen die zugehörigen Funktionswerte von nur einmal auftreten.

  Zuordnung begründen Du sollst den beiden Graphen die Funktion bzw. die Ableitung zuordnen. Die Ableitung der Funktion ist nach der Kettenregel gegeben mit . Die Funktion und somit auch verläuft nur im positiven. Deshalb ist aber auch jeder Funktionswert der Ableitung negativ. Der Graph von ist somit der grüne in der Abbildung während durch den grauen dargestellt wird.   Fehlen von Extrempunkte begründen Um das Fehlen von Extrempunkten zu begründen, betrachtest du die Nullstellen der Ableitung. Diese sind nämlich notwendige Voraussetzung für Extrempunkte. Die Ableitung ist gegeben durch . Diese Gleichung hat keine Lösung, da nicht existiert. Die Ableitung hat also keine Nullstelle und die Funktion keine Extremstelle. Der Graph kann keine Extrempunkte besitzen.   Koordinaten berechnen Du sollst die Koordinaten des Berührpunktes berechnen, an welchem die Tangente an den Graphen die Steigung hat. Die Steigung der Tangenten ist dabei die Gleiche wie die der Funktion und somit mit zu berechnen. 1. Schritt: Stelle berechnen Für die Koordinaten berechnest du zuerst den -Wert. Benutze dazu den Löse-Befehl: 2. Schritt: -Koordinate berechnen Mit der -Koordinate berechnest du die -Koordinate durch einsetzen in die Funktion. Der Punkt am Graphen, bei welchem die Tangente die Steigung besitzt ist .   Parameter bestimmen Du sollst den Parameter so bestimmen, dass die Fläche unter der Kurve gleich dem Betrag der Steigung der Tangenten im Punkt ist. Die Fläche unter der Kurve mit den Grenzen und berechnest du mit dem Integral, die Steigung der Tangenten entspricht . Achte darauf den Betrag richtig zu setzen. Für den Wert ist der Flächeninhalt gleich dem Betrag der Tangentensteigung.

  Koordinaten des Punktes bestimmen 1. Schritt: Flächeninhalt bestimmen Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks wird mit folgender Formel berechnet, wobei und die Längen der zueinander senkrecht stehenden Seiten sind: Die zueinander rechtwinklig stehenden Seiten sind dabei die Verbindungen der Punkte und sowie und . Diese haben die Länge und . Das Dreieck hat den Flächeninhalt . 2. Schritt: Stelle und Art bestimmen Um das Maximum der Funktion zu bestimmen, leitest du die Funktion nach ab und setzt die Ableitung . Um die Ableitung zu bestimmen benötigst den Befehl diff: Um die Stelle zu bestimmen, setzt du die Ableitung und überprüfst mit der zweiten Ableitung, ob es sich um einen Hochpunkt handelt. Abschließend bestimmst du die -Koordinate durch einsetzen in die Funktion . Die Punkte haben die Koordinaten und .   Koordinaten berechnen Du sollst die Koordinaten des Punktes auf dem Graphen von berechnen, welcher den kleinsten Abstand zu hat. Für den Abstand zwischen zwei Punkte mit den Koordinaten und gilt: Für den Punkt gilt aber weiterhin . 1. Schritt: Abstandsfunktion aufstellen Die Abstandsfunktion erhälst du durch Einsetzen der Koordinaten in die Wurzel zur Abstandsbestimmung. Die Abstandsfunktion ist gegeben mit . Zeichne diese mit deinem CAS und bestimme des Minimum. Das Minimum der Abstandsfunktion liegt bei . Für die Koordinaten des Punktes benötigst du weiterhin die -Koordinate. Der Punkt auf dem Graphen von , mit dem kleinsten Abstand zum Ursprung hat die Koordinaten .   Ursprungsgerade überprüfen Du sollst überprüfen, ob es sich bei der, auf der Tangente des Graphen im Punkt , senkrecht stehenden Geraden um eine Ursprungsgerade handelt. Zuerst benötigst du die Geradengleichung dieser Geraden, welche durch die Normale des Graphen im Punkt beschrieben wird. Dazu verwendest du die allgemeine Normalengleichung für eine Normale an den Graphen von an der Stelle : Um diese auf zu stellen benötigst du den Funktionswert an der Stelle , welchen du bereits gegeben hast mit , sowie den Wert der Ableitung . Mit stellst du die Normalengleichung auf. Der Ordinatenabschnitt dieser Geraden ist nicht , wie es für eine Ursprungsgerade nötig wäre.

  Flächeninhalt berechnen Die Graphen von und mit schließen zusammen mit der -Achse eine Fläche ein. Der Schnittpunkt der Graphen ist dabei . Du sollst den Flächeninhalt zwischen den Graphen bestimmen. Für den Flächeninhalt gilt: Berechne dieses Integral mit den Grenzen und . Die Fläche hat einen Inhalt von .   Aussage beurteilen Die Ableitung der Funktion ist für Werte mit positiv, währen negativ ist. Somit wächst nach dem Schnittpunkt weiter, während fällt. Allerdings ist diese Änderung durch den Anteil der -Funktion klein, sodass es unwahrscheinlich ist, dass ein weiterer Schnittpunkt existiert. Die analytische Lösung der Gleichung zeigt auch, dass keine weitere Lösung exsistiert.   Einmalige Werte feststellen Du sollst untersuchen, welche Funktionswerte von nur einmal auftreten. Im Graph erkennst du einen Tiefpunkt bei . Der Funktionswert an dieser Stelle ist einmalig, da die Funktion danach monoton gegen strebt. Aus dem gleichen Grund, der monotonen Konvergenz, sind auch alle Funktionswerte an Stellen einmalig.

  Zuordnung begründen Du sollst den beiden Graphen die Funktion bzw. die Ableitung zuordnen. Die Ableitung der Funktion ist nach der Kettenregel gegeben mit . Die Funktion und somit auch verläuft nur im positiven. Deshalb ist aber auch jeder Funktionswert der Ableitung negativ. Der Graph von ist somit der grüne in der Abbildung während durch den grauen Graphen dargestellt wird.   Fehlen von Extrempunkte begründen Um das Fehlen von Extrempunkten zu begründen, betrachtest du die Nullstellen der Ableitung. Diese sind nämlich notwendige Voraussetzung für Extrempunkte. Die Ableitung ist gegeben durch . Diese Gleichung hat keine Lösung, da nicht existiert. Die Ableitung hat keine Nullstelle und die Funktion keine Extremstelle. Der Graph kann keine Extrempunkte besitzen.   Koordinaten berechnen Du sollst die Koordinaten des Berührpunktes berechnen, an welchem die Tangente an den Graphen die Steigung hat. Die Tangente hat dabei die gleiche Steigung wie die Funktion . 1. Schritt: Stelle berechnen Für die Koordinaten berechnest du zuerst den -Wert. Benutze dazu den solve-Befehl: 2. Schritt: -Koordinate berechnen Mit der -Koordinate berechnest du die -Koordinate durch einsetzen in die Funktion. Der Punkt am Graphen bei welchem die Tangente die Steigung besitzt ist .   Parameter bestimmen Du sollst den Parameter so bestimmen, dass die Fläche unter der Kurve gleich dem Betrag der Steigung der Tangenten im Punkt ist. Die Fläche unter der Kurve mit den Grenzen und berechnest du mit dem Integral, die Steigung der Tangenten entspricht . Achte darauf den Betrag richtig zu setzen. Für den Wert ist der Flächeninhalt gleich dem Betrag der Tangentensteigung.

  Koordinaten des Punktes bestimmen 1. Schritt: Flächeninhalt bestimmen Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks wird mit folgender Formel berechnet, wobei und die Längen der zueinander senkrecht stehenden Seiten sind: Die zueinander rechtwinklig stehenden Seiten sind dabei die Verbindungen der Punkte und sowie und . Diese haben die Länge und . Das Dreieck hat den Flächeninhalt . 2. Schritt: Stelle und Art bestimmen Um das Maximum der Funktion zu bestimmen, leitest du die Funktion nach ab und setzt die Ableitung . Um die Ableitung zu bestimmen benötigst den Befehl diff: Um die Stelle zu bestimmen setzt du die Ableitung und überprüfst mit der zweiten Ableitung, ob es sich um einen Hochpunkt handelt. Abschließend bestimmst du die -Koordinate durch einsetzen in die Funktion . Die Punkte haben die Koordinaten und .   Koordinaten berechnen Du sollst die Koordinaten des Punktes auf dem Graphen von berechnen, welcher den kleinsten Abstand zu hat. Für den Abstand zwischen zwei Punkte mit den Koordinaten und gilt: Für den Punkt gilt aber weiterhin . 1. Schritt: Abstandsfunktion aufstellen Die Abstandsfunktion erhälst du durch Einsetzen der Koordinaten in die Wurzel zur Abstandsbestimmung. Die Abstandsfunktion ist gegeben mit . Zeichne diese mit deinem CAS und bestimme des Minimum. Das Minimum der Abstandsfunktion liegt bei . Für die Koordinaten des Punktes benötigst du weiterhin die -Koordinate. Der Punkt auf dem Graphen von , mit dem kleinsten Abstand zum Ursprung hat die Koordinaten .   Ursprungsgerade überprüfen Du sollst überprüfen, ob es sich bei der, auf der Tangente des Graphen im Punkt , senkrecht stehenden Geraden um eine Ursprungsgerade handelt. Zuerst benötigst du die Geradengleichung dieser Geraden, welche durch die Normale des Graphen im Punkt beschrieben wird. Dazu verwendest du die allgemeine Normalengleichung für eine Normale an den Graphen von an der Stelle : Um diese auf zu stellen, benötigst du den Funktionswert an der Stelle , welchen du bereits gegeben hast mit , sowie den Wert der Ableitung . Mit stellst du die Normalengleichung auf. Der Ordinatenabschnitt dieser Geraden ist nicht , wie es für eine Ursprungsgerade nötig wäre.

  Flächeninhalt berechnen Die Graphen von und mit schließen zusammen mit der -Achse eine Fläche ein. Der Schnittpunkt der Graphen ist dabei . Du sollst den Flächeninhalt zwischen den Graphen bestimmen. Für den Flächeninhalt gilt: Berechne dieses Integral mit den Grenzen und . Die Fläche hat einen Inhalt von .   Aussage beurteilen Die Ableitung der Funktion ist für Werte mit positiv, währen negativ ist. Somit wächst nach dem Schnittpunkt weiter, während fällt. Allerdings ist diese Änderung durch den Anteil der -Funktion klein, sodass es unwahrscheinlich ist, dass ein weiterer Schnittpunkt existiert. Die analytische Lösung der Gleichung zeigt auch, dass keine weitere Lösung exsistiert.   Einmalige Werte feststellen Du sollst untersuchen, welche Funktionswerte von nur einmal auftreten. Im Graph erkennst du einen Tiefpunkt bei . Der Funktionswert an dieser Stelle ist einmalig, da die Funktion danach monoton gegen strebt. Aus dem gleichen Grund, der monotonen Konvergenz, sind auch alle Funktionswerte an Stellen einmalig.