Aufgabe 3B

Drei blaue Hubschrauber fliegen zu einem Haus neben einem Berg.

Eine Gruppe Bergsteiger gerät am Berg in Not und funkt nach Hilfe.
In einem passenden Koordinatensystem befindet sich die Bergwacht im Ursprung $O(0\mid0\mid0)$ .
Ein Hubschrauber befindet sich im Punkt $H(-4\mid6\mid1)$ . Alle Koordinaten haben die Einheit km.

a) Der Notruf der Bergsteiger wird von der Bergwacht aus der Richtung $\vec{u}=\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}$ aufgenommen.

Der Hubschrauber nimmt den Notruf aus der Richtung $\vec{v}=\begin{pmatrix}2\\-4\\1\end{pmatrix}$ auf.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes $N$ , in dem sich die Bergsteigergruppe aufhält.

(Zur Kontrolle: $N(2\mid-6\mid4)$ )

Der Hubschrauber fliegt sofort zum Aufenthaltsort der Bergsteigergruppe. Vereinfachend wird angenommen, dass seine Geschwindigkeit konstant $250\frac{\text{km}}{\text{h}}$ beträgt.

Berechnen Sie seine Flugzeit bis zum Eintreffen im Punkt $N$ in Minuten.

(9P)

b) Der Hubschrauber nimmt die Bergsteigergruppe auf und fliegt vom Aufenthaltsort in Punkt $N$ zur Bergwacht. Dabei fliegt er vom Punkt $N$ aus zunächst zum Punkt $P(1,5\mid-6\mid3)$ und von dort aus weiter mit dem Kurs $\vec{k}=\begin{pmatrix}-0,5\\2\\-1\end{pmatrix}$ .
Zeigen Sie, dass der Hubschrauber die Bergwacht erreicht.

Berechnen Sie den Neigungswinkel der Flugbahn, auf der der Hubschrauber die Bergwacht anfliegt.

(Hinweis: Der Neigungswinkel ist der Winkel gegen die Horizontale.)

(8P)

(17P)

In einem passenden Koordinatensystem befindet sich die Bergwacht im Ursprung $O(0\mid0\mid0)$ . Ein Hubschrauber befindet sich im Punkt $H(-4\mid6\mid1)$ . Alle Koordinaten haben die Einheit km.

a) $\blacktriangleright$ Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{N}$ , in dem sich die Bergsteigergruppe befindet

Der Notruf der Bergsteiger wird von der Bergwacht aus der Richtung $\vec{u}=\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}$ aufgenommen. Der Hubschrauber nimmt den Notruf aus der Richtung $\vec{v}=\begin{pmatrix}2\\-4\\1\end{pmatrix}$ auf.
Du sollst die Koordinaten des Punktes $N$ , in dem sich die Bergsteigergruppe aufhält, berechnen. Lege dafür eine Gerade durch den Ort der Bergwacht und eine zweite Gerade durch den Aufenthaltsort des Hubschraubers. Die Richtungsvektoren der Geraden sind dir in der Aufgabenstellung gegeben:

Bergwacht: $\vec{x} = O + s\cdot \vec{u} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix} = s\cdot \begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}$

Hubschrauber: $\vec{x} = H + t\cdot \vec{v} = \begin{pmatrix}-4\\6\\1\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix}2\\-4\\1\end{pmatrix}$

Um den Aufenthaltsort der Bergsteigergruppe zu bestimmen, musst du den Schnittpunkt der beiden Geraden berechnen.

$\begin{array}{rll} s\cdot \begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}-4\\6\\1\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix}2\\-4\\1\end{pmatrix}&\scriptsize \mid - t\cdot \begin{pmatrix}2\\-4\\1\end{pmatrix}\\ s\cdot \begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix} - t\cdot \begin{pmatrix}2\\-4\\1\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}-4\\6\\1\end{pmatrix} & \end{array}$

Diese Gleichung kannst du nun mit dem solve-Befehl des CAS lösen. Den Befehl mit dem du einen Vektor eingeben kannst, findest du unter

menu 7: Matrix und Vektor 1: Erstellen 1: Matrix

Gib dort zunächst die Anzahl der Spalten (1) und der Zeilen (3) ein.

Löst du anschließend die obige Gleichung nach $s$ und $t$ , so erhältst du folgendes Ergebnis:

$s=2$ und $t =3$

Mathematische Berechnungen mit Gleichungen und Normen auf einem Taschenrechner-Display.

Das Einsetzen von $s$ oder $t$ in die jeweilige Geradengleichung liefert dann den Schnittpunkt der Geraden. Setze also $s$ in die Geradengleichung der Bergwacht ein:

$N = 2\cdot \begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\-6\\4\end{pmatrix}$

Der Punkt $N(2\mid -6\mid 4)$ gibt den Aufenthaltsort der Bergsteigergruppe an.

$\blacktriangleright$ Flugzeit berechnen

Du sollst seine Flugzeit bis zum Eintreffen im Punkt $N$ in Minuten berechnen. Vereinfachend wird angenommen, dass seine Geschwindigkeit konstant $250\frac{\text{km}}{\text{h}}$ beträgt.

Berechne dafür zuerst du Länge der Strecke $\overline{HN}$ über den Vektorbetrag mit dem norm-Befehl des CAS. Den Befehl für einen Vektor findest du unter

Keyboard 2D CALC

$\mid \overline{HN} \mid = \left|\begin{pmatrix}6\\-12\\3\end{pmatrix}\right| = 3\cdot \sqrt{21} = 13,75\;$ km

Mathematische Gleichungen und Berechnungen zu Vektoren und Normen in einer Softwareanwendung.

Die Entfernung vom Hubschrauber zur Bergsteigergruppe beträgt 13,75 km.

Die Zeit bis der Hubschrauber eintrifft kannst du mithilfe der angegebenen Geschwindigkeit berechnen:

$\dfrac{13,75\;\text{km}}{250 \frac{\text{km}}{\text{h}}} = 0,055\;\text{h}$

Rechne die Stundenangabe jetzt noch in Minuten um, indem du das Ergebnis mit 60 multiplizierst:

$t = 0,055 \cdot 60 = 3,3\;$ min

Der Hubschrauber braucht also 3,3 Minuten um zum Ort der Bergsteiger zu gelangen.

b) $\blacktriangleright$ Beweise die Aussage

Der Hubschrauber nimmt die Bergsteigergruppe auf und fliegt vom Aufenthaltsort in Punkt $N$ zur Bergwacht. Dabei fliegt er vom Punkt $N$ aus zunächst zum Punkt $P(1,5\mid-6\mid3)$ und von dort aus weiter mit dem Kurs

$\vec{k}=\begin{pmatrix}-0,5\\2\\-1\end{pmatrix}$ .

Du sollst zeigen, dass der Hubschrauber die Bergwacht erreicht. Stelle dafür eine Gerade durch den Punkt $P$ mit Richtungsvektor $\vec{k}$ auf:

$g: \vec{x} = \overline{OP} + r\cdot \vec{k} = \begin{pmatrix}1,5 \\ -6 \\ 3\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}-0,5\\2\\-1\end{pmatrix}$

Damit der Hubschrauber die Bergwacht erreicht, muss die Gerade der Flugbahn durch den Punkt $O$ verlaufen. Mache also eine Punktprobe mit $O$ :

$\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1,5 \\ -6 \\ 3\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}-0,5\\2\\-1\end{pmatrix}$

Löse die Gleichung also wie zuvor mit dem solve-Befehl des CAS. Gibt es eine Lösung, so erreicht der Hubschrauber die Bergwacht, ansonsten nicht.

Mit dem CAS erhältst du folgende Lösung:

$r=3$

Mathematische Berechnungen auf einem Bildschirm mit Matrizen und Ergebnissen.

Da die Gleichung mit $r=3$ erfüllt wird, liegt $O$ auf der Geraden. Der Hubschrauber erreicht die Bergwacht.

$\blacktriangleright$ Neigungswinkel der Flugbahn berechnen

Berechnen Sie den Neigungswinkel $\alpha$ der Flugbahn $g$ , auf der der Hubschrauber die Bergwacht anfliegt. Der Neigungswinkel ist der Winkel gegen die Horizontale, also gegen die $x_1-x_2$ -Ebene. Den Winkel zwischen Vektor und Ebene berechnest du mit folgender Formel:

$\alpha = \arcsin\left(\dfrac{\mid \vec{u} \cdot \vec{n}\mid}{\mid \vec{u}\mid \cdot \mid \vec{n}\mid}\right)$

wobei $\vec{n}$ der Normalenvektor der Ebene ist.
Ein Normalenvektor auf die $x_1-x_2$ -Ebene ist gegeben durch $\vec{n} = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ , der Vektor ist gegeben durch $\vec{u} = \begin{pmatrix}1,5\\-6\\3\end{pmatrix}$ . Jetzt kannst du den Winkel $\alpha$ berechnen:

$\mid \vec{u} \cdot \vec{n}\mid = \left|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1,5\\-6\\3\end{pmatrix}\right| = 3$
$\mid \vec{u} \mid = \left|\begin{pmatrix}1,5\\-6\\3\end{pmatrix}\right| = \sqrt{1,5^2 + (-6)^2 + 3^2} = \sqrt{2,25 + 36 + 9} = 6,87$
$\mid \vec{n} \mid = \left|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$

Mathematische Berechnungen mit Vektoren und Normen in einer Softwareanwendung.

$\alpha = \arcsin \left(\dfrac{3}{6,87 \cdot 1}\right) = \arcsin (0.4364) = 25,9\;^{\circ}$

Der Neigungswinkel beträgt $25,9 ^{\circ}$ .

In einem passenden Koordinatensystem befindet sich die Bergwacht im Ursprung $O(0\mid0\mid0)$ . Ein Hubschrauber befindet sich im Punkt $H(-4\mid6\mid1)$ . Alle Koordinaten haben die Einheit km.

a) $\blacktriangleright$ Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{N}$ , in dem sich die Bergsteigergruppe befindet

Bergwacht: $\vec{x} = O + s\cdot \vec{u} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix} = s\cdot \begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}$

Hubschrauber: $\vec{x} = H + t\cdot \vec{v} = \begin{pmatrix}-4\\6\\1\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix}2\\-4\\1\end{pmatrix}$

Um den Aufenthaltsort der Bergsteigergruppe zu bestimmen, musst du den Schnittpunkt der beiden Geraden berechnen.

Aus dieser Gleichung erhältst du nun ein lineares Gleichungssystem indem du jede „Zeile“ einzeln abliest. Dieses LGS kannst du dann mit dem CAS lösen. Du erhältst das folgende LGS:

$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} (1)&-4&=&s&-&2t&&\\ (2)&6&=&-3s&+&4t&&&\\ (3)&1&=&2s&-&t&&& \end{array}$

Den Befehl für ein lineares Gleichungssystem findest du im Main-Menu unter

Keyboard 2D

Gibst du dort die obigen drei Gleichungen und die beiden Variablen $s$ und $t$ ein, so erhältst du das folgende Ergebnis:

$s=2$ und $t=3$

Mathematische Gleichungen in einem interaktiven Editierfenster. Variablen s und t werden gelöst.

Das Einsetzen von $s$ oder $t$ in die jeweilige Geradengleichung liefert dann den Schnittpunkt der Geraden. Setze also $s$ in die Geradengleichung der Bergwacht ein:

$N = 2\cdot \begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\-6\\4\end{pmatrix}$

Der Punkt $N(2\mid -6\mid 4)$ gibt den Aufenthaltsort der Bergsteigergruppe an.

$\blacktriangleright$ Flugzeit berechnen

Du sollst seine Flugzeit bis zum Eintreffen im Punkt $N$ in Minuten berechnen. Vereinfachend wird angenommen, dass seine Geschwindigkeit konstant $250\frac{\text{km}}{\text{h}}$ beträgt.

Berechne dafür zuerst du Länge der Strecke $\overline{HN}$ über den Vektorbetrag mit dem norm-Befehl des CAS. Den Befehl für einen Vektor findest du unter

Keyboard 2D CALC

$\mid \overline{HN} \mid = \left|\begin{pmatrix}6\\-12\\3\end{pmatrix}\right| = 3\cdot \sqrt{21} = 13,75\;$ km

Mathematische Software-Oberfläche mit Berechnung der Norm eines Vektors.

Die Entfernung vom Hubschrauber zur Bergsteigergruppe beträgt 13,75 km.

Die Zeit bis der Hubschrauber eintrifft kannst du mithilfe der angegebenen Geschwindigkeit berechnen:

$\dfrac{13,75\;\text{km}}{250 \frac{\text{km}}{\text{h}}} = 0,055\;\text{h}$

Rechne die Stundenangabe jetzt noch in Minuten um, indem du das Ergebnis mit 60 multiplizierst:

$t = 0,055 \cdot 60 = 3,3\;$ min

Der Hubschrauber braucht also 3,3 Minuten um zum Ort der Bergsteiger zu gelangen.

b) $\blacktriangleright$ Beweise die Aussage

$\vec{k}=\begin{pmatrix}-0,5\\2\\-1\end{pmatrix}$ .

Du sollst zeigen, dass der Hubschrauber die Bergwacht erreicht. Stelle dafür eine Gerade durch den Punkt $P$ mit Richtungsvektor $\vec{k}$ auf:

$g: \vec{x} = \overline{OP} + r\cdot \vec{k} = \begin{pmatrix}1,5 \\ -6 \\ 3\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}-0,5\\2\\-1\end{pmatrix}$

Damit der Hubschrauber die Bergwacht erreicht, muss die Gerade der Flugbahn durch den Punkt $O$ verlaufen. Mache also eine Punktprobe mit $O$ :

$\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1,5 \\ -6 \\ 3\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}-0,5\\2\\-1\end{pmatrix}$

Aus dieser Gleichung erhältst du wie zuvor ein lineares Gleichungssystem, welches du mit dem CAS lösen kannst:

$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} (1)&0&=&1,5&-&0,5r&&\\ (2)&0&=&-6&+&2r&&\\ (3)&0&=&3&-&r&& \end{array}$

Gibt es eine Lösung für $r$ , so erreicht der Hubschrauber die Bergwacht, ansonsten nicht.

Gibst du dieses LGS wie eben in das CAS ein, so erhältst du die Meldung „Ungültige Dimension“. Dafür gibt es einen Trick: Schreibe in die Liste der Variablen nach denen gelöst werden soll, noch eine weitere hinein. Die Lösung für diese Variable kannst du ignorieren.

Mit dem CAS erhältst du dann folgende Lösung:

$r=3$

Bildschirmansicht eines mathematischen Programms mit Gleichungen und Ergebnissen.

Da die Gleichung mit $r=3$ erfüllt wird, liegt $O$ auf der Geraden. Der Hubschrauber erreicht die Bergwacht.

$\blacktriangleright$ Neigungswinkel der Flugbahn berechnen

$\alpha = \arcsin\left(\dfrac{\mid \vec{u} \cdot \vec{n}\mid}{\mid \vec{u}\mid \cdot \mid \vec{n}\mid}\right)$

$\mid \vec{u} \cdot \vec{n}\mid = \left|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1,5\\-6\\3\end{pmatrix}\right| = 3$
$\mid \vec{u} \mid = \left|\begin{pmatrix}1,5\\-6\\3\end{pmatrix}\right| = \sqrt{1,5^2 + (-6)^2 + 3^2} = \sqrt{2,25 + 36 + 9} = 6,87$
$\mid \vec{n} \mid = \left|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$

Screenshot einer Software zur Berechnung von Normen in der Mathematik mit Ergebnissen.

$\alpha = \arcsin \left(\dfrac{3}{6,87 \cdot 1}\right) = \arcsin (0.4364) = 25,9\;^{\circ}$

Der Neigungswinkel beträgt $25,9 ^{\circ}$ .