Pflichtteil

Aufgabe P1

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-3\cdot x^2, \, \, x\in\mathbb{R}$ .

Berechne die Nullstellen der Funktion $f$ .

(2P)

Berechne $\displaystyle\int_{0}^{2}\;f(x)\, \mathrm dx$ .

(3P)

Aufgabe P2

Für jeden Wert von $a$ mit $a>0$ ist eine Funktion $f_{a}$ gegeben durch $f_{a}(x)= a \cdot \mathrm{e}^{x+1}, \, \,x\in\mathbb{R}$ .
Die Tangente an den Graphen von $f_{a}$ im Punkt $\left(-1\mid\ f_{a}(-1)\right)$ wird mit $t_{a}$ bezeichnet.

Weise nach, dass für jeden Wert von $a$ die Tangente $t_{a}$ durch die Gleichung $y= a \cdot x + 2 \cdot a$ beschrieben werden kann.

(3P)

Für jeden Wert von $a$ schließen die Tangente $t_{a}$ und die beiden Koordinatenachsen ein Dreieck ein.
Ermittle den Flächeninhalt dieses Dreiecks in Abhängigkeit von $a$ .

(2P)

Aufgabe P3

Ein Basketballspieler wirft $10$ Freiwürfe.
Die Anzahl seiner Treffer wird mit $k$ bezeichnet und durch die Zufallsgröße $X$ beschrieben. Die Zufallsgröße $X$ wird als binomialverteilt mit der Trefferwahrscheinlichkeit $p=0,8$ angenommen.
In der Abbildung $1$ ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ dargestellt.

Gib mithilfe der Abbildung $1$ einen Näherungswert für die Wahrscheinlichkeit für genau $7$ Treffer an.
Ermittle mithilfe der Abbildung $1$ einen Näherungswert für die Wahrscheinlichkeit für mindestens $8$ Treffer.

(3P)

Die Zufallsgröße $Y$ ist binomialverteilt mit $n=10$ und $p=0,2$ .
Stelle in Abbildung $2$ die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $Y$ mithilfe der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ dar.

(2P)

Balkendiagramm zur Darstellung von Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Werte von k.

Abb. 1: Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$

Diagramm mit Achsen für k und P(X=k), zeigt Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Abb. 2: Koordinatensystem zu Aufgabenteil b)

Aufgabe P4

Die unten angegebene Tabelle stellt die Übergänge eines Systems mit zwei Zuständen $A$ und $B$ dar.
Die zugehörige Übergangsmatrix wird mit $M$ bezeichnet.

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$

nach

$\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ von

	$A$	$B$
$A$	$0,8$	$0,6$
$B$	$0,2$	$0,4$

Stelle den zugehörigen Übergangsgraphen dar.
Berechne die in $M^2$ fehlenden Werte: $M^2 = \pmatrix{0,76 & \cdots \\0,24 & \cdots}$ .

(3P)

In einem anderen System mit zwei Zuständen werden die Übergänge durch die Matrix
$N = \pmatrix{0,8 & 0,8 \\0,2 & 0,2}$ beschrieben. Die Anfangsverteilung ist $\overrightarrow{s} = \pmatrix{0,5 \\0,5}$ .
Zeige, dass sich die Verteilung nach einem Übergang nicht mehr ändert.

(2P)

Bildnachweise [nach oben]

[1+2]

Aufgabe P1

$\blacktriangleright$ Nullstellen von $\boldsymbol{f_a}$ bestimmen

Um die Nullstellen der Funktion $f(x) = x^3 - 3 \cdot x^2$ zu bestimmen, musst du den Funktionsterm gleich 0 setzen. Da in diesem Fall alle Glieder des Funktionsterms $x$ enthalten, kannst du $x$ ausklammern und danach die Nullstellen mit dem Satz vom Nullprodukt bestimmen.

$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& x^3 - 3 \cdot x^2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{ausklammern} \\[5pt] 0 &=& x^2(x - 3) &\quad \scriptsize \mid\;x_{1,2} = 0 \\[5pt] 0 &=& x - 3 &\quad \scriptsize \mid \, +3 \\[5pt] 3 &=& x_3 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Die Nullstellen sind bei $x_{1,2}=0$ und $x_3=3$ .

$\blacktriangleright$ Integral berechnen

Die Bestimmung eines solchen Integrals besteht aus zwei Schritten:

Integrieren des Funktionsterms
Einsetzen der Grenzen

$A = -4$

Vollständige Lösung anzeigen

Aufgabe P2

$\blacktriangleright$ Gültigkeit der Gleichung zur Beschreibung von $\boldsymbol{t_a}$ für jeden Wert von $\boldsymbol{a}$ nachweisen.

Eine Tangente ist eine Gerade und kann immer durch eine Steigung des Graphen $f$ und einen $y$ -Achsenabschnitt beschrieben werden. Um zu zeigen, dass die in der Aufgabenstellung gegebene Tangente der Tangente an der Stelle $(-1 \mid f_a(-1))$ entspricht, musst du nachweisen, dass die Steigung der gegebenen Tangente der Steigung an der Stelle $x=-1$ entspricht und, dass eine Gerade durch den Punkt $(-1 \mid f_a(-1))$ mit dieser Steigung den $y$ -Achsenabschnitt $2 \cdot a$ hat.

1.Schritt: Steigung bestimmen

Die Steigung wird von der 1.Ableitung $\(f$ beschrieben. Um die Steigung an der Stelle $x=-1$ zu bestimmen, leitest du die Funktion zunächst ab. Danach setzt du $x=-1$ ein.

$\(\begin{array}[t]{rll} f_a(x) &=& a \cdot e^{x+1} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] f_a$

Die Steigung entspricht der Steigung der gegebenen Tangente.

2. Schritt: $\boldsymbol{y}$ -Achsenabschnitt überprüfen

Um zu überprüfen, ob der in der Aufgabenstellung gegebene $y$ -Achsenabschnitt richtig ist, setzt du die Koordinaten des Punkts $(-1 \mid f_a(-1))$ in die gegebene Tangentengleichung ein. Entspricht dies einer wahren Aussage ist der $y$ -Achsenabschnitt korrekt gewählt.

$2=2$

Vollständige Rechnung anzeigen

Der in der Aufgabenstellung gegebene $y$ -Achsenabschnitt ist richtig. Damit wird die Tangente am Punkt $(-1 \mid f_a(-1))$ durch die Gleichung $y = a \cdot e^{a-1} \cdot x + 2 \cdot a \cdot e^{a-1}$ beschrieben.

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des Dreiecks in Abhängigkeit von $\boldsymbol{a}$ berechnen

Grafik eines rechtwinkligen Dreiecks im Koordinatensystem mit Beschriftungen.

Abb. 1: Dreieck mit $a=1$

Um den Flächeninhalt des beschriebenen Dreiecks zu berechnen, benötigst du die Länge $(g)$ der Grundseite und die Höhe $(h)$ des Dreiecks. Die Länge der Grundseite entspricht dem Abstand der Nullstelle zum Ursprung.
Die Höhe entspricht dem in der Tangentengleichung gegebenen $y$ -Achsenabschnitt $(2 \cdot a )$ . Zur bestimmung der Länge $g$ der Grundseite bestimmst du zunächst die Nullstelle der Tangente:

$x = -2$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Nullstelle der Tangente ist unabhängig von $a$ immer bei $x=-2$ . Damit ist die Länge der Grundseite des Dreiecks gleich 2.
Der Flächeninhalt des Dreiecks ist somit:

$\begin{array}[t]{rll} A &=& \dfrac{g \cdot h}{2} &\quad \scriptsize \\[5pt] A &=& \dfrac{2 \cdot 2 \cdot a }{2} &\quad \scriptsize \\[5pt] A &=& 2 \cdot a &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt $2 \cdot a$ .

Aufgabe P3

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für genau sieben Treffer bestimmen

In der angegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung wird beschrieben, wie die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Trefferanzahlen verteilt sind. Hierbei wird auch ein Wert für die Wahrscheinlichkeit von sieben Treffern angegeben, den du hier herauslesen kannst.
Somit ist $P(X=7)\approx 0,2$ $= 20 \%$ .

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für mindestens acht Treffer berechnen

Du sollst in diesem Aufgabenteil anhand der Abbildung die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass der Basketballer mindestens $8$ -mal trifft, d.h. $P(X \geq 8)$ ist gesucht. Mit $X$ bezeichnet man die Anzahl der Treffer. Dafür addierst du einfach die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass der Basketballer $8$ , $9$ oder $10$ Treffer landet. Die Wahrscheinlichkeiten dafür kannst du in der Abbildung ablesen.

$P(X \geq 8) = 68 \%$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Basketballer mindestens $8$ -mal trifft, liegt also bei ca. $68 \%$ .

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeitsverteilung von $\boldsymbol{X}$ einzeichnen

Beim Einzeichnen der Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt es drei grundlegende Dinge zu beachten:

In Summe sind alle Balken gleich 1
Der Balken bei $n \cdot p$ muss der größte sein
Die Höhe der Balken berechnest du über eine Binominalverteilung

Zum Berechnen der Höhen der einzelnen Balken benötigst du die Formel für die Binominalverteilung:

$B_{n,p}(k)= \binom{n}{k} \cdot (p)^k \cdot (1-p)^{n-k}$

Mit dieser Formel rechnest du die Wahrscheinlichkeiten für $k=0,\ldots,10$ aus. Dabei verwendest du die in der Aufgabenstellung gegebenen Werte für $n$ und $p$ .
Tipp: Es ist zu erwarten, dass die Wahrscheinlichkeit ab einem Wert für $k$ gegen null geht. Sobald das Ergebnis zu klein zum Einzeichnen ist, kannst du dir weitere Rechnungen sparen.

\begin{array}[t]{rll} B_{n,p}(k)&\approx& ... \\[5pt] B_{n,p}(0)&\approx& 0,107 \\[5pt] B_{n,p}(1)&\approx& 0,268 \\[5pt] B_{n,p}(2)&\approx& 0,107 \\[5pt] B_{n,p}(3)&\approx& 0,302 \\[5pt] B_{n,p}(4)&\approx& 0,088 \\[5pt] B_{n,p}(5)&\approx& 0,026 \\[5pt] B_{n,p}(6)&\approx& 0,006 \\[5pt] \end{array} 

Vollständige Lösung anzeigen

Die so errechneten Werte zeichnest du nun in das dafür vorgesehene Koordinatensystem.

Balkendiagramm zeigt Wahrscheinlichkeiten P(Y=k) für k von 0 bis 10 in grünen Balken.

Abb. 2: Wahrscheinlichkeitsverteilung

Zur eigenen Überprüfung kontrollierst du nochmal ob das Maximum bei $n \cdot p = 10 \cdot 0,2 = 2$ liegt.

Aufgabe P4

$\blacktriangleright$ Übergangsgraphen einzeichnen

Ein Übergangsgraph stellt das Übergangsverhalten von verschiedenen Zuständen anschaulich dar.
Jeder Zustand wird mit einem Kreis dargestellt. Von jedem Zustand zu jedem Zustand verläuft ein Pfeil, an dem die Übergangswahrscheinlichkeit steht. Dabei gilt, dass die Summe der von einem Zustand ausgehenden Übergangswahrscheinlichkeiten immer gleich 1 ist.

Diagramm mit zwei Kreisen A und B, Pfeilen und Wahrscheinlichkeiten a und b.

Abb. 3: Übergangsgarph für die Zustände A und B

$\blacktriangleright$ Fehlende Werte für $M^2$ berechnen

$M^2$ stellt die Verteilung nach zwei Zeitschritten dar. Die Einträge von $M^2$ berechnest du mit einer Matrixmultiplikation:

$M^2= ...$

Vollständige Formel anzeigen

Dabei gibt $(1-a)^2 + a \cdot b$ den Anteil an, der nach zwei Zeitschritten von $A$ nach $A$ gelangt ist.
Dies ist auf zwei Arten möglich:

Von A nach A und danach von A nach A $((1-a)^2)$
Von A nach B und danach von B nach A $(a \cdot b)$

$b \cdot (1-a) + (1-b) \cdot a$ gibt den Anteil an, der nach zwei Zeitschritten von $B$ nach $A$ gelangt ist.
Dies ist auch auf zwei Arten möglich:

Von B nach A und danach von A nach A $(b \cdot (1-a))$
Von B nach B und danach von B nach A $((1-b) \cdot b)$

So lassen sich die fehlenden Werte für $M^2$ wie folgt berechnen:

\begin{array}[t]{rll} M^2 &=& \pmatrix{ 0,76 \,\,\,\,\, 0,72 \\ 0,24 \,\,\,\,\, 0,28 } \\[5pt] \end{array} 

Vollständige Lösung anzeigen

$\blacktriangleright$ Übergangsmatrix nach zwei Zeitschritten bestimmen

In der Aufgabenstellung werden eine gleichmäßige Anfangsverteilung und eine Übergangsmatrix gegeben. Du sollst zeigen, dass sich die Verteilung nach einem Übergang nicht mehr ändert. Das bedeutet, dass die Verteilung sich nach dem ersten Zeitschritt noch ändern darf, in allen darauf folgenden Schritten jedoch nicht.

Um die Verteilung nach einem Zeitschritt zu berechnen, multiplizierst du den Vektor $\overrightarrow{s}$ der Anfangsverteilung mit der Übergangsmatrix. Das Ergebnis ist ein neuer Verteilungsvektor. Die zugehörige Formel ist: $\overrightarrow{v}_{t} = M \cdot \overrightarrow{v}_{t-1}$

$\pmatrix{0,8 \,\,\,\, 0,8 \\ 0,2 \,\,\,\, 0,2 } \cdot \pmatrix{ 0,5 \\ 0,5 } = \pmatrix{ 0,8 \\ 0,2 }$

Die neue Verteilung nach einem Zeitschritt ist $\overrightarrow{s}_{neu}= \pmatrix{0,8 \\ 0,2}$ .

Multiplizierst du diese neue Verteilung erneut mit der Übergangsmatrix ändert sich die Verteilung nicht mehr.

$\pmatrix{0,8 \,\,\,\, 0,8 \\ 0,2 \,\,\,\, 0,2 } \cdot \pmatrix{ 0,8 \\ 0,2 } = \pmatrix{ 0,8 \\ 0,2 }$

Vollständige Lösung anzeigen

Da sich bei allen folgenden Zeitschritten die Rechnung nicht ändern wird, wird sich auch das Ergebnis nicht mehr ändern.

Bildnachweise [nach oben]

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