Aufgabe 1A

Ein Unternehmen verkauft Fitnessarmbänder. Die momentane Änderungsrate des Absatzes wird beschrieben mit der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit:

$f(x)=4000 \cdot x \cdot \mathrm e^{-0,4 \cdot x} ; 0 \leq x \leq 18$

Dabei ist $x$ die seit der Produkteinführung vergangene Zeit in Monaten und $f(x)$ die momentane Änderungsrate des Absatzes in Stück pro Monat.

ni abi ga gtr 2022 block 1 aufgabe 1a abbildung 1 funktion fitnessarmbänder

Berechne den Zeitpunkt, zu dem die momentane Änderungsrate des Absatzes den größten Wert erreicht, und gib diesen größten Wert an.
Kennzeichne in der Abbildung diejenigen Punkte des Graphen, die zu einer momentanen Änderungsrate des Absatzes in Höhe von 1000 Stück pro Monat gehören.

(6 BE)

Im Beobachtungszeitraum gibt es einen Zeitpunkt, zu dem die momentane Änderungsrate des Absatzes am stärksten zunimmt, und einen Zeitpunkt, zu dem sie am stärksten abnimmt. Zur Bestimmung dieser beiden Zeitpunkte wurden folgende Berechnungen durchgeführt:

$f^{\prime \prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=5$

II.

$f^{\prime \prime \prime}(5)>0$

Erläutere diese beiden Berechnungen.
Bestimme ohne weitere Rechnung die beiden gesuchten Zeitpunkte.

(6 BE)

Gleichzeitig mit der Einführung des Fitnessarmbands brachte das Unternehmen eine Smartwatch auf den Markt. Die momentane Änderungsrate des Absatzes der Smartwatch in Stück pro Monat wird mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit $g(x)=1600 \cdot x^{2} \cdot \mathrm e^{-0,4 \cdot x}$ beschrieben. Dabei ist $x$ die seit der Produkteinführung vergangene Zeit in Monaten und $g(x)$ die momentane Änderungsrate des Absatzes in Stück pro Monat.

Vergleiche die momentanen Änderungsraten des Absatzes für das Fitnessarmband und die Smartwatch fünf Monate nach Produkteinführung.

(2 BE)

Berechne die Anzahl der im ersten Jahr nach Produkteinführung insgesamt verkauften Smartwatches.
Untersuche, ob es einen Zeitpunkt nach Produkteinführung gibt, bis zu dem ebenso viele Fitnessarmbänder wie Smartwatches verkauft wurden.
Gib gegebenenfalls diesen Zeitpunkt an.

(6 BE)

Gegeben sind nun die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $h_{b}$ mit $h_{b}(x)=x \cdot \mathrm e^{-0,1 \cdot b \cdot x} ; b>0$ . Für jeden Wert von $b$ ist $E\left(\dfrac{10}{b} \mid \dfrac{10}{b} \cdot \mathrm e^{-1}\right)$ der Extrempunkt und $W\left(\dfrac{20}{b} \mid \dfrac{20}{b} \cdot \mathrm e^{-2}\right)$ der Wendepunkt des Graphen von $h_{b}.$ Betrachtet wird zunächst $h_{1}.$ Die nebenstehende Abbildung zeigt den Graphen von $h_{1}.$

niedersachsen abi ga gtr 2022 aufgabe 1a abbildung funktion h1

Gib für den Graphen von $h_{1}$ die Koordinaten des Extrempunktes und des Wendepunktes an.

(2 BE)

Die Tangente an den Graphen von $h_{1}$ in dessen Wendepunkt und der Graph von $h_{1}$ schließen mit der $x$ -Achse eine Fläche ein. Bestimme deren Flächeninhalt.

(6 BE)

Jeder Punkt $E$ liegt auf einer Ursprungsgeraden und jeder Punkt $W$ liegt auf einer anderen Ursprungsgeraden. Gib die Gleichungen dieser beiden Ursprungsgeraden an.

(3 BE)

$O$ bezeichnet den Koordinatenursprung. Beurteile die Gültigkeit der folgenden Aussage:

Alle Dreiecke $OWE$ sind ähnlich.

(4 BE)

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1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Mit dem Satz vom Nullprodukt gilt:

$\begin{array}[t]{rll} 1-0,4\cdot x&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] -0,4\cdot x&=& -1 &\quad \scriptsize \mid\; :(-0,4) \\[5pt] x&=&2,5 \end{array}$

Es ist $\mathrm e^{-0,4\cdot x}\neq0$ , deshalb ist $x=2,5$ die einzige Extremstelle.

2. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen anwenden

Nach der Produktregel ist $\(f$ .

$\(f$

3. Schritt: $f(2,5)$ ermitteln

$f(2,5)\approx 3678,8$

Die momentane Änderungsrate des Absatzes erreicht zweieinhalb Monate nach Produkteinführung mit ungefähr $3680$ Stück pro Monat den größten Wert.

Kennzeichnung in der Abbildung

Die gesuchten Zeitpunkte sind durch die globalen Extremstellen der Ableitungsfunktion $\(f$ im Intervall $[0;18]$ gegeben, bei denen es sich um lokale Extremstellen oder Randstellen handeln kann.

Mit der Berechnung werden zunächst die lokalen Extremstellen von $\(f$ ermittelt: $x = 5$ ist die einzige Nullstelle der Funktion $\(f$ und damit die einzige mögliche lokale Extremstelle von $\(f$ Da zusätzlich $\(f$ gilt, ist $x = 5$ eine lokale Minimalstelle von $\(f$ . $x=5$ ist als einzige lokale Extremstelle von $\(f$ auch die globale Minimalstelle von $\(f$

Da außerdem der Graph von $f$ an der Stelle $x = 5$ fällt, gilt: Fünf Monate nach der Produkteinführung nimmt die momentane Änderungsrate des Absatzes am stärksten ab. Da der Graph von $f$ an der Randstelle $x = 0$ steigt und an der Randstelle $x = 18$ fällt, gilt $\(f$ und $\(f$ Daher ist $x = 0$ die globale Maximalstelle von $f$ . Die momentane Änderungsrate des Absatzes nimmt zum Zeitpunkt der Produkteinführung am stärksten zu.

Mit dem Taschenrechner ergibt sich:

$f(5)\approx 2706,7$

$g(5)\approx5413,4$

Fünf Monate nach Produkteinführung ist die momentane Änderungsrate des Absatzes für die Smartwatch etwa doppelt so groß wie die für das Armband.

Mit dem Taschenrechner ergibt sich:

$\displaystyle\int_{0}^{12}g(x)\;\mathrm dx\approx42873$

Im ersten Jahr nach der Produkteinführung werden ungefähr $42870$ Smartwatches verkauft.

Die Anzahl an verkauften Geräten kann jeweils mit einem Integral berechnet werden:

Anzahl der verkauften Smartwatches bis zum Zeitpunkt $t:$ $A_S=\displaystyle\int_{0}^{t}f(x)\;\mathrm dx$

Anzahl der verkauften Fitnessarmbänder bis zum Zeitpunkt $t:$ $A_F=\displaystyle\int_{0}^{t}g(x)\;\mathrm dx$

$\begin{array}[t]{rll} A_S&=& A_F \\[5pt] \displaystyle\int_{0}^{t}f(x)\;\mathrm dx&=& \displaystyle\int_{0}^{t}g(x)\;\mathrm dx \end{array}$

Mit dem Taschenrechner kann für $t\gt 0$ für diese Gleichung die Lösung $t\approx 4,48$ gefunden werden.

Etwa viereinhalb Monate nach Produkteinführung stimmt die Anzahl der seit der Produkteinführung verkauften Fitnessarmbänder mit der Anzahl der seit der Produkteinführung verkauften Smartwatches überein.

Einsetzen von $b=1$ in die in der Aufgabenstellung gegebenen Punkte ergibt:

$E\left(10 \,\bigg \vert \, \dfrac{10}{\mathrm{e}}\right)$ und $W\left(20 \,\bigg \vert \, \dfrac{20}{\mathrm{e}^2}\right)$

Bestimmen der Steigung des Graphen von $h_1$ an der Wendestelle $20$ mit dem Taschenrechner ergibt: $m \approx -0,135$

Auflösen der Tangentengleichung:

$\(\begin{array}[t]{rll} t(x) &=& h_1$

Die Nullstelle des Graphen von $t$ kann mit dem Taschenrechner bestimmt werden und beträgt: $x=40.$

Der gesuchte Flächeninhalt beträgt:

$\begin{array}[t]{rll} A &=& \displaystyle\int_{0}^{20}h_1(x) + \displaystyle\int_{20}^{40}t(x) \;\mathrm dx \\[5pt] A &\approx& 59,4 + \dfrac{1}{2} \cdot 20 \cdot \dfrac{20}{\mathrm{e}^2} \;\mathrm dx \\[5pt] A&\approx& = 86,47 \end{array}$

Ortskurve für die Extrempunkte aufstellen

Aus den Koordinaten der Extrempunkte folgt $x=\dfrac{10}{b}$ und $y=\dfrac{10}{b}\cdot \mathrm e^{-1}.$

$\begin{array}[t]{rll} x&=&\dfrac{10}{b} \\[5pt] b&=&\dfrac{10}{x} \\[5pt] \end{array}$

Eingesetzt in $y$ ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} y &=&\dfrac{10}{\dfrac{10}{x}}\cdot \mathrm e^{-1} \\[5pt] y&=& \dfrac{1}{\mathrm e} x \end{array}$

Gerade, auf der die Extrempunkte liegen: $y=\dfrac{1}{\mathrm e} x$

Ortskurve für die Wendepunkte aufstellen

Aus den Koordinaten der Wendepunkte folgt $x=\dfrac{20}{b}$ und $y=\dfrac{20}{b}\cdot \mathrm e^{-2}.$

$\begin{array}[t]{rll} x&=&\dfrac{20}{b} \\[5pt] b&=&\dfrac{20}{x} \\[5pt] \end{array}$

Eingesetzt in $y$ ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} y &=&\dfrac{20}{\dfrac{20}{x}}\cdot \mathrm e^{-2} \\[5pt] y&=& \dfrac{1}{\mathrm e^2} x \end{array}$

Gerade, auf der die Wendepunkte liegen: $y=\dfrac{1}{\mathrm e^2} x$

Für beliebige Werte von $b$ geht das Dreieck $O W E$ aus dem entsprechenden Dreieck für $b=1$ durch Streckung mit dem Faktor $\dfrac{1}{b}$ hervor, wobei das Streckzentrum im Koordinatenursprung liegt.

Daher sind alle Dreiecke $O W E$ ähnlich.

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