Aufgabe 1C
Gegeben ist die in 
definierte Funktion 
mit 
Der Graph von besitzt zwei Extrempunkte. Einer davon hat die 
-Koordinate 
Der Graph von hat den Wendepunkt 
soll in drei Schritten verändert werden. Die drei Schritte sind:
a)
Begründe, dass der Graph von symmetrisch bezüglich seines Wendepunktes ist.
Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von mit den Koordinatenachsen.
(5 BE)
b)
Es gibt Punkte des Graphen von 
in denen die Tangente an den Graphen von parallel zur Geraden durch die beiden Extrempunkte des Graphen von ist.
Bestimme die Koordinaten dieser Punkte.
(6 BE)
c)
Bestimme alle Werte für 
sodass der Graph zu 
genau zwei Nullstellen besitzt.
(4 BE)
d)
Die Tangente 
an den Graphen von im Punkt 
hat die Gleichung 
.
Der Graph von und die Tangente schließen eine Fläche ein.
Bestimme den Inhalt dieser Fläche.
Der Graph von Der Graph von
(4 BE)
- Spiegeln an der
- Verschieben um 6 in positive
- Verschieben um 14 in positive
-Richtung
e)
Gib an, wie viele verschiedene neue Graphen entstehen, nachdem die drei Schritte in allen möglichen Reihenfolgen ausgeführt wurden.
Begründe deine Angabe.
(5 BE)
Wird der Graph von den drei Schritten in der angegebenen Reihenfolge unterzogen, so entsteht der Graph der in definierten Funktion 
mit 
Die Abbildung zeigt den Graphen von .
Die Funktion beschreibt für 
den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem bestimmten Ort.
Dabei ist die seit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und 
die Temperatur in 
.
f)
Gib die Bedeutung der Wendestelle von hinsichtlich des Verlaufs der Tagesdurchschnittstemperatur an.
(3 BE)
g)
Die folgenden Rechnungen stellen in Verbindung mit der Abbildung die Lösung einer Aufgabe im Sachzusammenhang dar:
Gib eine passende Aufgabenstellung an.
Erläutere den dargestellten Lösungsweg.
(5 BE)
h)
Entscheide, ob die Funktion für 
geeignet ist, den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an dem betrachteten Ort für ein weiteres Jahr zu beschreiben.
Begründe deine Entscheidung.
(3 BE)
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a)
Symmetrie begründen
Der Funktionsterm von ist ganzrational und enthält Potenzen von mit ausschließlich ungeraden Exponenten. Somit ist der Graph von punktsymmetrisch zum Ursprung, also seinem Wendepunkt.
Koordinaten bestimmen
Der Schnittpunkt des Graphen von mit der -Achse ist bereits durch den Wendepunkt gegeben und besitzt somit die Koordinaten 
Für die Schnittpunkte mit der -Achse gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)&=& 0 & \\[5pt]
\dfrac{1}{27} x^3-\dfrac{4}{3} x &=& 0
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/78ae966a68aa4c93141db39f75be07421a9d5f24c96bcc7a1ebf7eaa7099eac1?color=5a5a5a)
Mit dem solve-Befehl des GTR folgen die Schnittstellen des Graphen von mit der -Achse mit 
und 
Die Koordinaten der Schnittpunkte ergeben sich also zu 
und 
b)
1. Schritt: Extrempunkte bestimmen
Da der Graph von symmetrisch bezüglich seines Wendepunkts ist und einer der beiden Extrempunkte die -Koordinate 
besitzt, folgt, dass der zweite Extrempunkt die -Koordinate 
hat.
-Koordinaten berechnen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(\sqrt{12})&=& \dfrac{1}{27} \cdot \sqrt{12}^3-\dfrac{4}{3} \cdot \sqrt{12} & \\[5pt]
&\approx& -3,08
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/d00bc19a34fdf05d88a60d596d11729b5f29f82de56624463e203a4a337b90f4?color=5a5a5a)
Die Koordinaten der Extrempunkte sind somit gegeben durch 
und 
2. Schritt: Steigung bestimmen
Für die Steigung der Geraden durch die beiden Extrempunkte gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
m&=& \dfrac{f(\sqrt{12})-f(-\sqrt{12})}{\sqrt{12}-(-\sqrt{12})} & \\[5pt]
&=& \dfrac{-3,08-3,08}{\sqrt{12}+\sqrt{12}} & \\[5pt]
&\approx& -0,89
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/f8264f8caa89106fc0254b7bd3e804c0433045e88fc472534dbbf16d895b94d8?color=5a5a5a)
3. Schritt: Punkte ermitteln
Für die Punkte des Graphen von in denen die Tangente an den Graphen parallel zur Geraden durch die beiden Extrempunkte ist, muss die Steigung der Tangente folglich der Steigung der Geraden entsprechen.
Es soll also gelten:
![\(\begin{array}[t]{rll}
f](https://mathjax.schullv.de/4bb39c0d0a7f95d977ed84bc377f6bbf3b94ffa32b3b70d9c7a27a26174de68f?color=5a5a5a)
Der GTR liefert 
und 
-Koordinaten bestimmen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(2)&=& \dfrac{1}{27} \cdot 2^3-\dfrac{4}{3} \cdot 2 & \\[5pt]
&\approx& -2,4
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/3fcb82775d16e7270a5261e26081167356a2ce10a5dcc3f85cc84bfc84e4778d?color=5a5a5a)
Aufgrund der Symmetrie folgt 
Die Koordinaten der Punkte ergeben sich somit zu 
und 
c)
Der Graph von muss parallel zur -Achse so verschoben werden, dass einer der Extrempunkte auf der -Achse liegt.
Es ergeben sich also:
d)
Schnittstellen bestimmen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)&=& t(x) & \\[5pt]
\dfrac{1}{27} x^3-\dfrac{4}{3} x&=& \dfrac{8}{3} x-16
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/997b5b80b0b3aaa5f3a0ed077168fbb423bd235076e3d35ece8df79ef4504fb8?color=5a5a5a)
Der GTR liefert 
und 
Der Inhalt der Fläche folgt nun mit:
e)
Anzahl angeben
Es entstehen zwei neue Graphen.
Angabe begründen
Das Ergebnis der Veränderungen ist unabhängig von der Position der Verschiebung in -Richtung. Wesentlich ist nur die Reihenfolge der beiden anderen Schritte.
Für diese gibt es genau zwei mögliche Reihenfolgen der Ausführung und somit zwei neue Graphen.
Für diese gibt es genau zwei mögliche Reihenfolgen der Ausführung und somit zwei neue Graphen.
f)
Die Wendestelle gibt den Zeitpunkt mit dem größten Anstieg der Tagesdurchschnittstemperatur an.
g)
Aufgabenstellung angeben
Ermittle die Differenz zwischen der höchsten und der niedrigsten Tagesdurchschnittstemperatur.
Lösungsweg erläutern
In der ersten Zeile werden die möglichen Extremstellen von bestimmt. Anhand der Abbildung wird ersichtlich, dass diese Stellen tatsächlich absolute Extremstellen im Modellierungsbereich sind.
In der zweiten Zeile wird die Differenz zwischen den zugehörigen Funktionswerten berechnet.
h)
Die Funktion ist nicht geeignet.
Einsetzen von Werten von mit 
in liefert beispielsweise 
was den realen Gegebenheiten widerspricht.
Für die Tagesdurchschnittstemperaturen über mehrere Jahre hinweg ist außerdem ein annähernd periodischer Temperaturverlauf zu erwarten, ist jedoch nicht periodisch.