Aufgabe 2C

Ein Unternehmen produziert Leiterplatten zum Einbau in elektronische Geräte. Aus Erfahrung weiß man, dass 3 % der Leiterplatten fehlerhaft sind.
600 Leiterplatten werden zufällig ausgewählt. Die Anzahl der fehlerhaften Leiterplatten unter den ausgewählten kann durch eine binomialverteilte Zufallsgröße $X$ beschrieben werden.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den ausgewählten Leiterplatten

25 Leiterplatten fehlerhaft sind.
maximal 20 Leiterplatten fehlerhaft sind.
mehr als 15 aber weniger als 30 Leiterplatten fehlerhaft sind.

(5 BE)

Gib die Bedeutung des folgenden Terms im Sachzusammenhang an:

Vollständigen Term anzeigen

(2 BE)

Jede fehlerhafte Leiterplatte wird untersucht. Sie weist entweder Fehler 1 oder Fehler 2 auf.
Die Wahrscheinlichkeit für Fehler 1 beträgt 80 %, die für Fehler 2 beträgt 20 %.
Beim Standardverfahren wird der vorliegende Fehler mit absoluter Sicherheit gefunden. Es wird zunächst Fehler 1 gesucht. Falls dieser an keiner Stelle vorliegt, muss die Stelle gesucht werden, an der Fehler 2 vorliegt. Die Suche von Fehler 1 kostet 12 €, die Suche von Fehler 2 kostet 3 €.

Gib die Kosten an, die dem Unternehmen entstehen, wenn bei einer Leiterplatte der Fehler 2 gefunden wird.
Weise nach, dass die zu erwartenden Kosten für das Standardverfahren 12,60 € pro Leiterplatte betragen.

(4 BE)

Um Kosten einzusparen, wird für die fehlerhaften Leiterplatten ein Schnelltest vorgeschlagen: In diesem wird bei den fehlerhaften Leiterplatten ausschließlich Fehler 1 gesucht. Dieser Schnelltest kostet nur 2 €, allerdings wird ein vorhandener Fehler 1 nur in 50 % der Fälle gefunden.
Wird mit diesem Schnelltest der Fehler 1 nicht gefunden, wird anschließend das Standardverfahren durchgeführt.

Begründe, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Fehler 1 in diesem Schnelltest nicht gefunden wird, 60 % beträgt.
Bestimme unter der Bedingung, dass bei dem Schnelltest Fehler 1 nicht gefunden wurde, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der vorhandene Fehler trotzdem Fehler 1 ist.

(4 BE)

Untersuche, ob sich die zu erwartenden Kosten pro Leiterplatte für die Fehlersuche mit Schnelltest und Standardverfahren tatsächlich verringern.

(5 BE)

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Lösung 2C

Die Zufallsvariable $X$ ist $B_{600;0,03}-$ bzw. $F_{600;0,03}-$ verteilt.

$P(X=25) \approx 0,023 = 2,3\%$

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ vars (distr) $\to$ B: binomcdf

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

Statistik: F5: DIST $\to$ F5: BINOM $\to$ F2: Bcd

$P(X \leq 20) \approx 0,733 = 73,3\%$
$P(15 \lt X \lt 30)$ $= P(X \leq 29)-P(X \leq 15)$ $\approx 0,712$ $= 71,2\%$

Der Term gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass von $600$ zufällig ausgewählten Leiterplatten $550$ oder $551$ fehlerfrei sind.

Da zunächst Fehler 1 mit $12€$ Kosten gesucht wird und anschließend Fehler 2 mit $3€$ Kosten gesucht wird, betragen die Gesamtkosten $15€.$

Die zu erwartenden Kosten pro Leiterplatte sind gegeben durch $0,8 \cdot 12€ + 0,2 \cdot 3€ = 12,60€.$

Die Wahrscheinlichkeit für Fehler 1 beträgt $80\%.$ Falls dieser Fehler vorliegt, wird er mit einer Wahrscheinlichkeit von $50\%$ vom Schnelltest erkannt, in allen anderen Fällen wird er nicht erkannt. Die Wahrscheinlichkeit, dass Fehler 1 bei diesem Schnelltest also nicht gefunden wird, ist gegeben durch $1-0,5 \cdot 0,8 = 0,6.$
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt damit $60\%.$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim Schnelltest Fehler 1 nicht gefunden wurde, obwohl er vorhanden war, ist gegeben durch $0,8 \cdot 0,5 = 0,4.$
Mit der Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit ergibt sich mit $\dfrac{0,8 \cdot 0,5}{0,6} = \dfrac{2}{3}.$
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt damit ungefähr $33,3\%.$

Die erwarteten Kosten pro Leiterplatte für die Fehlersuche mit Schnelltest setzen sich zusammen aus den $2€$ für den Schnelltest, den erwarteten Kosten für das Standardverfahren, falls der Fehler mit dem Schnelltest nicht gefunden wurde und den erwarteten Kosten, die entstehen, wenn beide Fehler vorliegen. Insgesamt sind die erwarteten Kosten für die Fehlersuche mit Schnelltest gegeben durch $2€ + 0,5 \cdot 0,8 \cdot 12€ + 0,2 \cdot 15€$ $= 9,80€.$

Im Vergleich zu den erwarteten $12,60€$ pro Leiterplatte, die das Standardverfahren kostet, verringern sich die erwarteten Kosten für die Fehlersuche mit Schnelltest.

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