Aufgabe 1B

Bei der Untersuchung eines Patienten wird ein Atemstoßtest durchgeführt. Dazu soll der Patient einmal möglichst vollständig und schnell ausatmen. Die hierbei pro Zeit ausgeatmete Luft wird als Atemfluss bezeichnet. Dieser wird in Litern pro Sekunde und die Zeit in Sekunden gemessen.

Der Messvorgang und das Ausatmen beginnen gleichzeitig zum Zeitpunkt $t_0 = 0\,\text{s}$ .

In den ersten drei Sekunden des Ausatmens wird der Atemfluss durch die Funktion $f$ mit $f(t) = 40 \cdot t \cdot \mathrm{e} ^{-\frac{5}{2}t}$ , $t$ in Sekunden, $f(t)$ in Litern pro Sekunde, modelliert.

Die Abbildung in der Anlage zeigt den Graphen von $f$ .

a) Bestimme den Zeitpunkt $t_1$ , zu dem der Atemfluss maximal ist.

Bestimme den Zeitpunkt $t_2$ , zu dem der Atemfluss am stärksten abnimmt.

Der Messvorgang wird beendet, wenn der Atemfluss nach dem Zeitpunkt $t_1$ die Grenze von $0,1\,\text{$ \frac{L}{s} $}$ unterschreitet.

Berechne die Dauer des Messvorgangs.

(11P)

b) Es wird modellhaft vorausgesetzt, dass die Lunge zum Zeitpunkt $t_0 = 0\,\text{s}$ voll und zum Zeitpunkt $t_3 = 2,81\,\text{s}$ leer ist. Ein Patient wird als gesund eingestuft, wenn er innerhalb der ersten Sekunde mindestens $75\,\%$ der in seiner Lunge vorhandenen Luft ausatmet.

Entscheide, ob der obige Patient bezüglich dieses Kriteriums als gesund eingestuft werden kann.

Bestimme ein Zeitintervall ab $t_1 = 0,4\,\text{s}$ so, dass der Patient innerhalb dieses Zeitintervalls $1\,\text{Liter}$ Luft ausatmet.

Unabhängig vom Sachzusammenhang werden im Folgenden die Funktion $f$ und die Geraden $g_k$ mit der Gleichung $g_k(t) = k \cdot t, k\in ℝ$ , betrachtet.

(11P)

c) Bestimme den Wert des Parameters $k$ so, dass die zugehörige Gerade $g$ auf der Tangente an den Graphen von $f$ im Wendepunkt senkrecht steht.

Ohne Nachweis kannst du verwenden: Wenn für die Steigungen $m_1$ und $m_2$ zweier Geraden die Beziehung gilt: $m_1 \cdot m_2 = -1$ , dann stehen die zugehörigen Geraden senkrecht aufeinander.

Untersuche, wie viele Punkte die Geraden der Schar $g_k$ mit dem Graphen der Funktion $f$ in Abhängigkeit vom Wert des Parameters $k$ jeweils gemeinsam haben.

(12P)

Material

Anlage

Graph zu den Teilaufgaben a) und b)

Grafik mit einer Kurve, die eine abfallende Funktion darstellt. X- und Y-Achse sind beschriftet.

Abbildung: Graph von $f$

a) $\blacktriangleright$ Zeitpunkt $\boldsymbol{t_1}$ mit dem maximalen Atemfluss bestimmen

Du hast eine Funktion $f(t)=40t\cdot\mathrm e^{-\frac{5}{2}t}$ gegeben, die den Atemfluss während der ersten drei Sekunden des Ausatmens beschreibt.

Um den Zeitpunkt $t_1$ mit dem maximalen Atemfluss zu bestimmen, berechnest du das Maximum der Funktion.

Dies kannst du im Graph-Modus des GTRs berechnen. Untersuche dabei den Graph im Intervall $[0;3]$ auf Extremstellen. Den Hochpunkt des Graphen kannst du dir mit folgendem Befehl anzeigen lassen:

2nd CALC (Trace) 4: maximum

Grafik einer mathematischen Funktion mit Angaben zu Maximum und Achsenwerten.

Der Graph hat einen Hochpunkt $H$ mit den Koordinaten $H(0,4\mid5,89)$ . Somit ist der Atemfluss an der Stelle $t_1=0,4$ maximal.

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt $\boldsymbol{t_2}$ mit der stärksten Abnahme bestimmen

Nun sollst du den Zeitpunkt $t_2$ bestimmen, zu dem der Atemfluss am stärksten abnimmt.

Die Änderungsrate wird durch die ersten Ableitung $f‘$ der Funktion $f$ beschrieben. Um den Zeitpunkt $t_2$ zu bestimmen, benötigst du das Minimum von $f‘$ . An dieser Stelle nimmt der Atemfluss am stärksten ab.

Du kannst so vorgehen:

Bilde die erste Ableitung $f‘$

Bestimme das Minimum mit dem GTR

1. Schritt: Erste Ableitung $\boldsymbol{f‘}$ bilden

Um die erste Ableitung zu bilden, benötigst du die Produktregel.

$\begin{array}[t]{rll} f(t)&=&40t\cdot\mathrm e^{-\frac{5}{2}t} \\[5pt] f‘(t)&=&40\cdot\mathrm e^{-\frac{5}{2}t}+40t\cdot\left(-\frac{5}{2}\right)\cdot\mathrm e^{-\frac{5}{2}t}\\[5pt] f‘(t)&=&40\cdot\mathrm e^{-\frac{5}{2}t}-100t\cdot\mathrm e^{-\frac{5}{2}t}\\[5pt] f‘(t)&=&(40-100t)\cdot\mathrm e^{-\frac{5}{2}t} \end{array}$

2. Schritt: Graph analysieren

Lasse dir den Graphen von $f‘$ in dem GTR zeichnen. Unter folgendem Befehl kannst du dir das Minimum anzeigen lassen:

2nd CALC (Trace) 3: minimum

Grafik einer mathematischen Funktion mit Minimum und Achsenbeschriftungen auf einem Taschenrechner-Display.

Der Graph von $f‘$ hat einen Tiefpunkt $T$ mit den Koordinaten $T(0,8\mid-5,41)$ . Damit nimmt an der Stelle $t_2=0,8$ der Atemfluss am stärksten ab.

$\blacktriangleright$ Dauer des Messvorgangs berechnen

Der Messvorgang endet, wenn der Atemfluss nach dem Zeitpunkt $t_1=0,4$ die Grenze von $0,1\,\dfrac{\text{L}}{\text{s}}$ unterschreitet. Um die Dauer des Messvorgangs zu berechnen, berechnest du den Schnittpunkt der Funktion $f$ mit der Funktion $g=0,1$ .

Die Funktionen haben zwei Schnittpunkte. Uns interessiert nur der Schnittpunkt, der nach dem Zeitpunkt $t_1$ liegt.

Wechsle dazu mit deinem GTR in das Y=-Menü und speichere dort die Funktionsterme von $f$ und $g$ ab. Hast du diese dort gespeichert, dann lass dir die zugehörigen Graphen über GRAPH anzeigen. Den Schnittpunkt erhältst du mit dem Befehl

2nd CALC (TRACE) 5: intersect

Damit ergibt sich:

Graphische Darstellung einer Funktion mit Schnittpunkt und Achsenbeschriftungen.

Die Graphen von $f$ und $g$ schneiden sich an der Stelle $t=2,81$ . Der Messvorgang dauert also $2,81$ Sekunden.

b) $\blacktriangleright$ Prozentsatz der ausgeatmeten Luft bestimmen

Bei dieser Teilaufgabe sollst du bestimmen, ob der Patient aus der Aufgabe gesund ist. Als gesund wird ein Patient eingestuft, wenn er in der ersten Sekunde mindestens $75\,\%$ der eingeatmeten Luft ausatmet.

Um nun den Prozentsatz zu berechnen, den der Patient in der ersten Sekunde ausatmet, musst du wissen wie viel Luft der Patient nach einer Sekunde und nach der kompletten Zeit von $t_3=2,81$ Sekunden ausgeatmet hat. Dies berechnest du mit einem Integral im Intervall $[0;1]$ (Volumen $V_1$ der ausgeatmete Luft nach einer Sekunde) und dem Integral im Intervall $[0;2,81]$ (gesamtes Volumen $V_{ges}$ ).

Der Prozentsatz wird mit der Prozentformel berechnet:

$\begin{array}[t]{rll} p&=&\dfrac{W}{G}\cdot 100 \end{array}$

Dabei ist $p$ der Prozentsatz. Das $W$ ist der Prozentwert und das $G$ der Grundwert. Der Prozentwert entspricht hier dem Volumen $V_1$ der ausgeatmeten Luft nach einer Sekunde. Dementsprechend entspricht das gesamten Volumen $V_{ges}$ dem Grundwert.

Gehe folgendermaßen vor:

Berechne $V_1$ und $V_{ges}$

Berechne den Prozentsatz $p$

1. Schritt: Volumina berechnen

Das Integral kannst du jeweils im Graph-Modus des GTR unter folgendem Befehl berechnen:

2nd CALC (TRACE) 7:

Grafik einer Integralberechnung mit blauem Bereich und Achsenbeschriftungen.

Grafische Darstellung eines Integrals mit blauer Fläche und Zahlenwert auf einem Taschenrechner.

Du erhältst für $V_1$ den Wert $4,5613$ und das gesamte Volumen beträgt $V_{ges}=6,35432$ .

2. Schritt: Prozentsatz $\boldsymbol{p}$ berechnen

Nun kannst du die Werte in die Prozentformel einsetzen.

$\begin{array}[t]{rll} p&=&\dfrac{W}{G}\cdot100 \\[5pt] &=&\dfrac{V_1}{V_{ges}}\cdot100 \\[5pt] &=&\dfrac{4,5613}{6,35432}\cdot100 \\[5pt] &=&71,8\,\% \end{array}$

Der Patient atmet in der ersten Sekunde nur ca. $71,8\,\%$ der in seiner Lunge enthaltenen Luft aus. Da gesunde Menschen mindestens $75\,\%$ ausatmen, gilt der Patient nicht als gesund.

$\blacktriangleright$ Zeitintervall bestimmen

Nun sollst du ein Zeitintervall bestimmen, in dem ab $t_1=0,4$ ein Liter Luft ausgeatmet wird. Es gilt also:

$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0,4}^{a}f(x)\;\mathrm dx&=&1 \end{array}$

Diese Gleichung kannst du mit dem GTR lösen. Dazu benötigst du folgenden Befehl:

MATH B: Solver...

Beachte dabei, dass die Gleichung mehrere Lösungen haben kann.

Mathematische Berechnung mit Integral und Lösung auf einem Taschenrechner angezeigt.

Du erhältst die Lösung $a=0,57$ . Das gesuchte Intervall lautet demnach $[0,4;0,57]$ .

c) $\blacktriangleright$ Wert von $\boldsymbol{k}$ bestimmen

Du hast zusätzlich zur Funktion $f$ noch die Funktionenschar $g_k(t)=k\cdot t$ gegeben. Du sollst nun den Wert von $k$ so bestimmen, dass die zugehörige Gerade $g$ senkrecht auf der Wendetangente von $f$ steht.

Stehen zwei Geraden senkrecht zueinander gilt folgende Beziehung:

$\begin{array}[t]{rll} m_1\cdot m_2&=&-1 \end{array}$

Aus Teilaufgabe a) weißt du, dass die Ableitungsfunktion $f‘$ an der Stelle $t_2=0,8$ eine Extremstelle hat. Hat die erste Ableitung eine Extremstelle, so hat die zugehörige Funktion an dieser Stelle eine Wendestelle. Die Funktion $f$ hat also an der Stelle $t_2=0,8$ eine Wendestelle.

Der Wert der ersten Ableitung $f‘$ an dieser Stelle entspricht der Steigung an der Wendestelle. Dieser Wert ist ebenfalls aus Teilaufgabe a) bekannt. Die Steigung $m_W$ an der Wendestelle $t_2=0,8$ beträgt $m_W=-5,41$ .

Das $k$ in der Scharfunktion $g_k$ entspricht der Steigung von $g_k$ .

Setze nun die Steigungen der Funktionen in die Gleichung ein und löse nach $k$ auf.

$\begin{array}[t]{rlll} m_1\cdot m_2&=&-1 \\[5pt] k\cdot m_W&=&-1&\quad \scriptsize \mid\; :m_W \\[5pt] k&=&\dfrac{-1}{m_W}\\[5pt] k&=&\dfrac{-1}{-5,41}\\[5pt] k&=&0,18 \end{array}$

Beträgt $k$ etwa $0,18$ , so stehen die Wendetangente und die Gerade $g_{0,18}$ senkrecht aufeinander.

$\blacktriangleright$ Graphen auf gemeinsame Punkte untersuchen

Um zu untersuchen wie viele Punkte die Geraden der Schar $g_k$ mit dem Graphen von $f$ in Abhängigkeit von $k$ gemeinsam haben, kannst du dir in dem GTR verschiedene Geraden von $g_k$ mit der Funktion $f$ zeichnen lassen. Betrachte dabei die Fälle $k\lt 0$ , $k=0$ und $k\gt 0$ . Eine Gerade von $g$ liegt an der Stelle $t=0$ als Tangente an der Funktion $f$ an. Untersuche für welches $k$ dies der Fall ist. Eine Tangente berührt die Funktion nur in einem Punkt.

Beachte außerdem, dass alle Funktionen von $g_k$ und die Funktion $f$ durch den Ursprung gehen.

1. Fall: $\boldsymbol{k\lt 0}$

Wir zeichnen beispielhaft die Funktionen $g_{-1}$ und $g_{-10}$ ein.

Graph mit roten und blauen Linien, die Funktionen darstellen, auf einem mathematischen Hintergrund.

Du erkennst, dass die Funktionen von $g_k$ mit $k\lt 0$ in dem 2. und 4. Quadranten verlaufen. Die Funktion $f$ verläuft jedoch im 1. und 3. Quadranten. Wie alle Funktionen von $g_k$ schneiden sie den Graphen von $f$ jedoch im Ursprung.

2. Fall: $\boldsymbol{k=0}$

Für diesen Fall lautet die Funktion von $g_k$ : $g_0=0$

Somit schneidet die Funktion $g_0$ den Graphen von $f$ ebenfalls nur in einem Punkt, nämlich in dem Ursprung.

3. Fall: $\boldsymbol{k\gt 0}$

Hier lassen wir beispielhaft die Funktionen $g_1$ und $g_{40}$ zeichnen.

Grafik mit einer roten und einer blauen Kurve in einem Koordinatensystem.

Du erkennst, dass die Funktion $g_1$ den Graphen von $g$ sowohl im Ursprung, als auch in einem weiteren Punkt schneidet. Dies gilt für alle $k\gt 0$ mit Ausnahme der Tangente.

Um das $k$ zu bestimmen das dem der Tangente entspricht, musst du die Steigung von $f$ an der Stelle $t=0$ bestimmen. Die Steigung entspricht dem Wert der ersten Ableitung an der Stelle $t=0$ . Die erste Ableitung $f‘$ hast du bereits in Teilaufgabe a) gebildet. Das $k$ entspricht der Steigung der Scharfunktionen $g_k$ . Beide Funktionen müssen die selbe Steigung haben, damit es sich um eine Tangente handelt.

$\begin{array}[t]{rll} f‘(t)&=&(40-100t)\cdot\mathrm e^{-\frac{5}{2}t} \\[5pt] f‘(0)&=&(40-100\cdot0)\cdot\mathrm e^{-\frac{5}{2}\cdot0} \\[5pt] f‘(0)&=&40\cdot1 \\[5pt] f‘(0)&=&40 \end{array}$

Für $k=40$ liegt demnach eine Tangente an der Stelle $t=0$ an der Funktion $f$ an.

Es gilt also:

Ein gemeinsamer Punkt für $k\leq0$ und $k=40$

Zwei gemeinsame Punkte für $0\lt k\lt 40$ und $k\gt 40$