Aufgabe 3A

Diagramm mit den Begriffen Oberflächenschicht und Tiefenschicht, dargestellt in grauer Farbe.

Stehende Gewässer weisen eine Schichtung des Wassers auf. Modellhaft werden zwei Schichten unterschieden: die kalte Tiefenschicht und die warme Oberflächenschicht.

Durch unterschiedliche Vorgänge kommt es zu einem gewissen Austausch zwischen den Schichten, sodass sich die Schichtdicken verändern.

Diagramm mit Zuständen O und T sowie Übergangswahrscheinlichkeiten.

Für ein Gewässer beschreibt der nebenstehende Übergangsgraph die Übergänge zwischen den Schichten pro Zeiteinheit. Für diese Modellierung wird vorausgesetzt, dass sich diese Entwicklung in der beschriebenen Weise fortsetzen wird.

a) Stellen Sie den Austauschvorgang in einer Übergangsmatrix $M$ dar.
Erläutern Sie die Werte der ersten Zeile von $M$ im Sachzusammenhang.
Bestimmen Sie die Verteilung der Schichten nach fünf Zeiteinheiten auf Zentimeter genau, wenn zu Beginn beide Schichten 6 m dick sind.

(8P)

b) Im Laufe des Sommers stabilisiert sich die Schichtenverteilung.
Bestimmen Sie die Dicke der einzelnen Schichten eines 12 m tiefen Gewässers in der stationären Verteilung.

(4P)

c) In einem anderen Gewässer liegt ein anderes Übergangsverhalten vor. Zu Beginn sind beide Schichten unterschiedlich dick.
Erstellen Sie begründet ein Beispiel für eine Übergangsmatrix so, dass beide Schichten auf lange Sicht gleich dick werden.

(5P)

(17P)

a) $\blacktriangleright$ Übergangsmatrix bestimmen

Du sollst den Austauschvorgang in einer Übergangsmatrix $M$ darstellen. Auf der Diagonalen stehen die Anteile, die in der jeweiligen Schicht erhalten bleiben, die anderen Einträge geben die Anteile an, die in die jeweils andere Schicht übergehen. Trägst du die Oberflächenschicht in der ersten Zeile und Spalte ein und dementsprechend die Tiefenschicht in der zweiten Zeile und Spalte, so ergibt sich folgende Übergangsmatrix $M$ :

$M = \begin{pmatrix}0,9& 0,2\\ 0,1 & 0,8\end{pmatrix}$

$\blacktriangleright$ Werte der ersten Zeile von $\boldsymbol{M}$

Erläutere nun die Werte der ersten Zeile von $M$ im Sachzusammenhang. Der Eintrag $0,9$ der ersten Zeile gibt an, welcher Anteil in der Oberflächenschicht erhalten bleibt. Der Eintrag $0,2$ der ersten Zeile gibt an, welcher Anteil von der Tiefenschicht zur Oberflächenschicht hinzu kommt.

$\blacktriangleright$ Verteilung der Schichten nach fünf Zeiteinheiten

Du sollst die Verteilung der Schichten nach fünf Zeiteinheiten auf Zentimeter genau bestimmen, wenn zu Beginn beide Schichten 6 m dick sind.
Die Übergangsmatrix $M$ gibt die Übergänge pro Zeiteinheit an, das bedeutet, dass du die Matrix 5 mal mit sich selbst multiplizieren musst, um die Verteilung pro 5 Zeiteinheiten zu erhalten. Jetzt musst du noch die Schichtdicke von je 6 m beachten, diese also mit der Verteilung pro 5 Zeiteinheiten multiplizieren. Du erhältst dann für die Verteilung nach 5 Zeiteinheiten:

$\begin{array}{rll} M^5\cdot \begin{pmatrix}6\\6\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}0,9& 0,2 \\ 0,1 & 0,8\end{pmatrix}^5 \cdot \begin{pmatrix}6\\6\end{pmatrix} &\\ &=&\begin{pmatrix}0,723& 0,555 \\ 0,277 & 0,445\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}6\\6\end{pmatrix} &\\ &=&\begin{pmatrix}7,66\\ 4,34\end{pmatrix}& \end{array}$

Nach fünf Zeiteinheiten beträgt die Dicke der Oberflächenschicht $7,66 m$ und die der Tiefenschicht beträgt $4,34 m$ .

b) $\blacktriangleright$ Dicke der einzelnen Schichten bestimmen

Im Laufe des Sommers stabilisiert sich die Schichtenverteilung. Bestimme die Dicke der einzelnen Schichten eines 12 m tiefen Gewässers in der stationären Verteilung. Dies ist eine Verteilung $\overrightarrow{s}$ , sodass folgende Gleichung gilt:

Dafür definiere:
$x$ : Dicke der Oberflächenschicht
$y$ : Dicke der Tiefenschicht

Du erhältst folgendes Gleichungssystem für die Schichtdicken:

$\begin{array}{rll} M\cdot \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}&\\ \begin{pmatrix}0,9 & 0,2 \\ 0,1 & 0,8\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}&\\ \begin{pmatrix}0,9\cdot x + 0,2 \cdot y\\ 0,1 \cdot x + 0,8 \cdot y\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}& \end{array}$

$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} (1)&x&=&0,9x&+&0,2y&&\\ (2)&y&=&0,1x&+&0,8y&& \end{array}$

Außerdem kannst du der Aufgabenstellung $x + y = 12$ entnehmen. Löse diese Gleichung nach $x$ auf und setze das Ergebnis in eine der beiden Zeilen des Gleichungssystems ein, um $y$ zu bestimmen:

$\begin{array}{rll} x+y&=&12&\\ x&=&12-y&\\ \end{array}$

Einsetzen in (2) ergibt:

$\begin{array}{rll} y&=&0,8 \cdot y + 0,1 \cdot (12-y)&\\ y&=&0,8 \cdot y + 1,2 -0,1 \cdot y&\\ y&=&0,7 \cdot y + 1,2&\scriptsize \mid\; - 0,7 \cdot y\\ 0,3 \cdot y &=& 1,2 &\scriptsize \mid\; : 0,3\\ y &=& 4 & \end{array}$

Für $x$ ergibt sich dann $x=8$ . scriptsize Die Oberflächenschicht ist somit $8 m$ dick, die Tiefenschicht ist $4 m$ dick.

c) $\blacktriangleright$ Übergangsmatrix bestimmen

In einem anderen Gewässer liegt ein anderes Übergangsverhalten vor. Zu Beginn sind beide Schichten unterschiedlich dick, doch auf lange Sicht sollen beide Schichten gleich dick werden. Das bedeutet, dass die Anteile, die ausgetauscht werden, gleich groß sein sollten. Also der Übergangsanteil von Oberflächenschicht in die Tiefenschicht entspricht dem Übergangsanteil von Tiefenschicht in die Oberflächenschicht. Die Übergangsmatrix ist somit symmetrisch zur Hauptdiagonalen und die Einträge auf der Hauptdiagonalen sind die gleichen. Es gibt viele Übergangsmatrizen, die das Übergangsverhalten beschreiben. Ein mögliches Beispiel ist gegeben durch:

$U = \begin{pmatrix}0,7 & 0,3 \\ 0,3 & 0,7\end{pmatrix}$

Mit $\boldsymbol{U}$ ergibt sich die entsprechende Verteilung.

a) $\blacktriangleright$ Übergangsmatrix bestimmen

$M = \begin{pmatrix}0,9& 0,2\\ 0,1 & 0,8\end{pmatrix}$

$\blacktriangleright$ Werte der ersten Zeile von $\boldsymbol{M}$

$\blacktriangleright$ Verteilung der Schichten nach fünf Zeiteinheiten

Du sollst die Verteilung der Schichten nach fünf Zeiteinheiten auf Zentimeter genau bestimmen, wenn zu Beginn beide Schichten 6 m dick sind.
Die Übergangsmatrix $M$ gibt die Übergänge pro Zeiteinheit an, das bedeutet, dass du die Matrix 5 mal mit sich selbst multiplizieren musst, um die Verteilung pro 5 Zeiteinheiten zu erhalten. Dies kannst du mit deinem GTR tun. Eine Matrix kannst du im CALC-Menü unter

F4: MATH F1: MAT

eingeben, indemdu zunächst die entsprechende Dimension auswählst. Anschließend kannst du die Matrix potenzieren.
Jetzt musst du noch die Schichtdicke von je 6 m beachten, diese also mit der Verteilung pro 5 Zeiteinheiten multiplizieren. Du erhältst dann für die Verteilung nach 5 Zeiteinheiten:

Bildschirmansicht eines Taschenrechners mit Matrizenberechnungen und Ergebnissen.

Nach fünf Zeiteinheiten beträgt die Dicke der Oberflächenschicht $7,66 m$ und die der Tiefenschicht beträgt $4,34 m$ .

b) $\blacktriangleright$ Dicke der einzelnen Schichten bestimmen

Dafür definiere:
$x$ : Dicke der Oberflächenschicht
$y$ : Dicke der Tiefenschicht

Du erhältst folgendes Gleichungssystem für die Schichtdicken:

$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} (1)&x&=&0,9x&+&0,2y&&\\ (2)&y&=&0,1x&+&0,8y&& \end{array}$

Außerdem kannst du der Aufgabenstellung $x + y = 12$ entnehmen. Löse diese Gleichung nach $x$ auf und setze das Ergebnis in eine der beiden Zeilen des Gleichungssystems ein, um $y$ zu bestimmen:

$\begin{array}{rll} x+y&=&12&\\ x&=&12-y&\\ \end{array}$

Einsetzen in (2) ergibt:

Für $x$ ergibt sich dann $x=8$ . scriptsize Die Oberflächenschicht ist somit $8 m$ dick, die Tiefenschicht ist $4 m$ dick.

c) $\blacktriangleright$ Übergangsmatrix bestimmen

$U = \begin{pmatrix}0,7 & 0,3 \\ 0,3 & 0,7\end{pmatrix}$

Mit $\boldsymbol{U}$ ergibt sich die entsprechende Verteilung.