Aufgabe 2B
Bei einem Smartphone-Spiel kann jeder Spieler jeden Sonntag Sterne gewinnen. Dazu hat er an jedem Sonntag zehn Versuche. Bei jedem Versuch kann nur ein Stern gewonnen werden; die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt 40 %.
a)
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Spieler bei zehn Versuchen mehr als sechs Sterne gewinnt.
(2 BE)
b)
Beurteile die Gültigkeit der folgenden Aussage eines Spielers:
„Ich habe an den letzten drei Sonntagen jeweils acht Sterne gewonnen. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, an diesem Sonntag wieder acht Sterne zu gewinnen, deutlich kleiner als vorher.“
(2 BE)
c)
An einem Sonntag nutzen vier Spieler jeweils die möglichen zehn Versuche zum Gewinnen von Sternen.
Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei zwei der vier Spieler jeweils fünf Sterne gewinnen.
(3 BE)
d)
Die Wahrscheinlichkeit dafür, bei einem Versuch einen Stern zu gewinnen, wird geändert. Anschließend beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, bei zehn Versuchen höchstens drei Sterne zu gewinnen, etwa 62 %.
Ermittle die geänderte Wahrscheinlichkeit dafür, bei einem Versuch einen Stern zu gewinnen, auf ganze Prozent genau.
Ermittle die geänderte Wahrscheinlichkeit dafür, bei einem Versuch einen Stern zu gewinnen, auf ganze Prozent genau.
(3 BE)
Außerdem hat jeder Spieler täglich einmal die Möglichkeit, allein durch Starten des Spiels Bonuspunkte zu erhalten. Durch das Starten wird ihm automatisch eine zufällig bestimmte Anzahl von Bonuspunkten gutgeschrieben. Der Tabelle können die möglichen Anzahlen und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten entnommen werden.
| Anzahl der Bonuspunkte | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|
e)
Ein Spieler startet das Spiel an drei aufeinanderfolgenden Tagen.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Spieler von Tag zu Tag weniger Bonuspunkte erhält.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Spieler von Tag zu Tag weniger Bonuspunkte erhält.
(2 BE)
f)
Ein Spieler startet das Spiel an vier Tagen.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Spieler dabei insgesamt 80 Bonuspunkte erhält.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Spieler dabei insgesamt 80 Bonuspunkte erhält.
(4 BE)
g)
Die Wahrscheinlichkeiten für 10 und 20 Bonuspunkte werden so geändert, dass die Spieler im Zeitraum von 200 Tagen, an denen das Spiel gestartet wird, im Mittel 3000 Bonuspunkte erhalten.
Ermittle die beiden geänderten Wahrscheinlichkeiten.
Ermittle die beiden geänderten Wahrscheinlichkeiten.
(4 BE)
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a)
Die Zufallsvariable 
beschreibt die Anzahl der gewonnenen Sterne.
ist 
verteilt.
Die gesuchte Wahrscheinlickeit beträgt ungefähr 
b)
Die Aussage ist falsch, da die einzelnen Spiele stochastisch unabhängig sind. Die Ergebnisse der vorherigen Woche beeinflussen daher nicht die Ergebnisse der aktuellen Woche.
c)
Die Zufallsvariable 
beschreibt die Anzahl der Spieler mit 
Sternen.
also ist 
verteilt.
TI 84-PLUS
Casio fx-CG
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt ungefähr
2nd 
vars (distr) B: binomcdf
Statistik: F5: DIST F5: BINOM F2: Bcd
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt ungefähr
d)
Die Zufallsvariable ist nun 
verteilt.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt ungefähr 
e)
Da es nur drei verschiedene Möglichkeiten für Bonuspunkte gibt, ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit gegeben durch 
also 
f)
Es gibt fünf Möglichkeiten, an vier Tagen 
Bonuspunkte zu erhalten. Entweder erhält der Spieler jeden Tag 
Bonuspunkte, oder er erhält an drei Tagen 
und an einem Tag 
Bonuspunkte.
Da es im zweiten Fall vier mögliche Tage gibt, an denen der Spieler die Bonuspunkte erhält, lässt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit wie folgt berechnen:
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt etwa 
Da es im zweiten Fall vier mögliche Tage gibt, an denen der Spieler die
g)
Sei 
die Wahrscheinlichkeit für Bonuspunkte. Da die Wahrscheinlichkeit für Bonuspunkte unverändert bei 
liegt, ist die Wahrscheinlichkeit für Bonuspunkte gegeben durch 
Da sich die Wahrscheinlichkeiten jeweils auf einen Tag bezieht, aber ein Zeitraum von
Tagen betrachtet wird, ergibt sich für folgende Gleichung:
Die Wahrscheinlichkeit für Bonuspunkte muss 
betragen.
Die Wahrscheinlichkeit für Bonuspunkte ist somit durch 
also gegeben.
Da sich die Wahrscheinlichkeiten jeweils auf einen Tag bezieht, aber ein Zeitraum von
Die Wahrscheinlichkeit für
Die Wahrscheinlichkeit für