Aufgabe 1B

Für die Gartenschau „Mathematischer Garten“ wird die Gestaltung einer quadratischen Gartenfläche geplant. Diese soll durch einen Weg in eine Blumenfläche und eine Sträucherfläche aufgeteilt werden. Die Blumenfläche liegt nördlich des Weges. In der Planungsphase werden verschiedene Modelle der Gartenfläche mit einer Seitenlänge von einem Meter $(\text m)$ hergestellt. Der Weg wird dabei modellhaft durch Funktionsgraphen beschrieben. Ein mögliches Modell der Gartenfläche mit Weg ist in Abbildung 1 dargestellt. Alle zu berechnenden Größen beziehen sich auf die jeweiligen Modelle.

Abb. 1

Im ersten Modell soll der Weg durch den Graphen der Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{2}{3}x^2+\frac{2}{15}x+\frac{1}{5},$ $0 \leq x \leq 1,$ beschrieben werden. Dabei werden $x$ und $f(x)$ jeweils in Metern angegeben.
Untersuche, durch welche Ecken des quadratischen Modells der Weg verläuft. Skizziere den Weg im Koordinatensystem der Abbildung 2.

Abb. 2

Bestimme die Inhalte von Blumen- und Sträucherfläche.
Ermittle Anfangs- und Endpunkt des Wegabschnittes, in dem der Abstand zur nördlichen Grenze der Gartenfläche mindestens $0,3 \, \text m$ beträgt.
Gib einen Term an, der die Summe der Abstände zwischen einem beliebigen Punkt auf dem Weg und den beiden östlichen Eckpunkten der Gartenfläche beschreibt.

(10 BE)

Ein zweites Modell verwendet zur Beschreibung des Weges den Graphen der Funktion $g$ mit $g(x)=6x^3-9x^2+4x,$ $0\leq x \leq 1.$ Dabei werden $x$ und $g(x)$ jeweils in Metern angegeben. Auf dem Weg von der westlichen zur östlichen Grenze der Gartenfläche gibt es zwei Punkte, an denen man genau in Richtung Osten läuft.
Bestimme die Koordinaten dieser beiden Punkte.
Auf dem Weg von der westlichen zur östlichen Grenze der Gartenfläche schließt im Punkt $P(0,2 \mid g(0,2))$ ein geradliniger Nebenweg ohne Knick an den Weg aus dem zweiten Modell an.
Bestimme die Koordinaten des Punktes, in dem man über den Nebenweg auf die nördliche oder östliche Außengrenze der Gartenfläche trifft.
Ein Streifen der Blumenfläche soll mit rotblühenden Blumen bepflanzt werden. Das hierzu ausgewähltle Teilstück ist in der Abbildung 3 grafisch dargestellt.
Bestimme dessen Flächeninhalt.

(17 BE)

Abb. 3

In einem dritten Modell wird der Weg durch den Graphen der Funktion $h$ mit $h(x)=a\cdot x^4+b\cdot x^2+ \frac {1}{4},$ $0 \leq x \leq 1$ , beschrieben. Dabei werden $x$ und $h(x)$ jeweils in Metern angegeben. Der zugehörige Weg verläuft durch die nordöstliche Ecke der Gartenfläche und teilt diese so auf, dass die Fläche nördlich des Weges $60\,\%$ der gesamten Gartenfläche beinhaltet.
Ermittle die Werte für $a$ und $b$ , sodass diese Bedingungen erfüllt sind.

(7 BE)

$\blacktriangleright$ Verlauf durch die Ecken untersuchen

Die Koordinaten der vier Ecken lauten im Modell $(0\mid 0),$ $(0\mid 1),$ $(1\mid 0)$ und $(1\mid 1).$

$\begin{array}[t]{rll} f(0) &=& \frac{2}{3}\cdot 0^2 +\frac{2}{15}\cdot 0 + \frac{1}{5} \\[5pt] &=& \frac{1}{5} \\[10pt] f(1) &=& \frac{2}{3}\cdot 1^2 +\frac{2}{15}\cdot 1 + \frac{1}{5} \\[5pt] &=& 1 \end{array}$

Der Weg verläuft im Modell also durch die nordöstliche Ecke mit den Koordinaten $(1\mid 1),$ aber durch keine andere Ecke.

$\blacktriangleright$ Weg skizzieren

Abb. 1: Skizzieren des Wegs

$\blacktriangleright$ Flächeninhalte berechnen

Die Größe der Sträucherfläche entspricht im Modell der Größe der Fläche unter dem Graphen der Funktion $f$ für $0\leq x \leq 1.$ Du kannst also ein Integral verwenden und dieses mit dem GTR berechnen:

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 7: $\int f(x)\;\mathrm dx$

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F3: $\int \;\mathrm dx$

$\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\;\mathrm dx\approx 0,49\,\left[\text{m}^2\right]$

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Die Sträucherfläche ist also ca. $0,49\,\text{m}^2$ groß. Die gesamte quadratische Fläche ist $1\,\text{m}^2$ groß. Die Blumenfläche ist also ca. $0,51\,\text{m}^2$ groß.

$\blacktriangleright$ Anfangs- und Endpunkt mit Mindestabstand ermitteln

Die nördliche Grenze wird im Modell durch die Gerade zu $y=1$ beschrieben. Der Graph von $f$ soll von dieser mindestens den Abstand $0,3$ haben. Also dürfen die Funktionswerte höchstens $0,7$ sein.

Die Gleichung $f(x) = 0,7$ kannst du mit deinem GTR lösen:

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

Bestimme die Schnittpunkte des Graphen von $f$ mit der Gerade zu $y = 0,7.$

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 5: intersect

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

Bestimme den $x$ -Wert zum $y$ -Wert $0,7$ mit dem X-CAL-Befehl.

F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F2: X-CAL

Du erhältst:

$x_1 \approx 0,77$

Zusammen mit deiner eigenen Skizze ergibt sich:

Der Anfangspunkt des Wegabschnittes, in dem der Abstand zur nördlichen Grenze der Gartenfläche mindestens $0,3\,\text{m}$ beträgt, ist $A(0\mid \frac{1}{5}).$ Der zugehörige Endpunkt ist $E(0,77\mid 0,7).$

$\blacktriangleright$ Term angeben

Bezeichne mit $P(x\mid f(x))$ einen beliebigen Punkt auf dem Weg. Dann folgt:

$d(x) = ...$

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$\blacktriangleright$ Koordinaten der Punkte Richtung Osten berechnen

Die Punkte, an denen man genau in Richtung Osten läuft sind im Modell die Punkte, in denen der Graph von $g$ eine waagerechte Tangente besitzt. In diesen Punkten ist die Steigung des Graphen also Null.

$\begin{array}[t]{rll} g‘(x) &=& 0 \\[5pt] x_1 &=& \frac{1}{3}\\[5pt] x_2 &=& \frac{2}{3}\\[5pt] \end{array}$

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$\begin{array}[t]{rll} g\left(\frac{1}{3}\right) &=& \frac{5}{9} \\[10pt] g\left(\frac{2}{3}\right) &=& \frac{4}{9} \end{array}$

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Die beiden Punkte, an denen man genau Richtung Osten läuft, haben im Modell die Koordinaten $\left(\frac{1}{3} \mid \frac{5}{9} \right)$ und $\left(\frac{2}{3}\mid \frac{4}{9} \right).$

$\blacktriangleright$ Koordinaten bestimmen

1. Schritt: Funktionsgleichung aufstellen

Der Nebenweg liegt im Modell auf der Tangente an den Graphen von $g$ im Punkt $P(0,2\mid g(0,2)).$ Für die Steigung $m$ dieser Tangente gilt:

$m=1,12$

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Außerdem verläuft die Tangente durch den Punkt $P.$

$g(0,2)=0,488$

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Für die Tangentengleichung folgt dann:

$b=0,264$

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Im Modell liegt der Nebenweg also auf der Geraden mit der Gleichung $t_g(x) = 1,12x +0,264.$

2. Schritt: Schnittstellen bestimmen

Die östliche Grenze wird durch die Gerade $x=1$ beschrieben.

$\begin{array}[t]{rll} t_g(1)&=& 1,12\cdot 1 +0,264 \\[5pt] &=& 1,384 \end{array}$

Auf die östliche Grenze würde der Nebenweg also im Punkt $(1\mid 1,384)$ treffen. Dieser Punkt liegt allerdings außerhalb der Modellfläche.
Die nördliche Grenze der Gartenfläche wird durch die Gerade zu $y=1$ beschrieben:

$x = 0,66$

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Der Nebenweg trifft im Punkt $(0,66\mid 1)$ auf die nördliche Grenze der Gartenfläche.

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt bestimmen

Die Fläche kann als Rechteck mit den Seitenlängen $1\,\text{m}-0,6\,\text{m}$ und $1\,\text{m}$ betrachtet werden, aus dem eine Fläche mit dem Inhalt $A_1$ herausgetrennt wird.
Der Flächeninhalt $A_1$ kann mit einem Integral über $f-0,6$ berechnet werden. Die Integrationsgrenzen sind die Schnittstelle von $f$ mit der Geraden zu $y=0,6$ und $1.$

Abb. 2: Skizze

1. Schritt: Fläche des gesamten Rechtecks berechnen

$A_R =0,4\,\text{m}^2$

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2. Schritt: Schnittstelle bestimmen

Löse die Gleichung $f(x)=0,6$ mit deinem GTR:

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

Bestimme die Schnittpunkte des Graphen von $f$ mit der Gerade zu $y = 0,6.$

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 5: intersect

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

Bestimme den $x$ -Wert zum $y$ -Wert $0,6$ mit dem X-CAL-Befehl.

F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F2: X-CAL

Du erhältst: $x\approx 0,86$

3. Schritt: Integral bestimmen

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 7: $\int f(x)\;\mathrm dx$

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F3: $\int \;\mathrm dx$

$A_1\approx 0,02\,[\text{m}^2]$

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4. Schritt: Flächeninhalt bestimmen

$A = 0,4\,\text{m}^2 - 0,02\,\text{m}^2 = 0,38\,\text{m}^2$

Die Fläche, die mit rotblühenden Blumen bepflanzt werden soll, hat einen Flächeninhalt von ca. $0,38\,\text{m}^2.$

$\blacktriangleright$ Werte ermitteln

Es muss gelten:

Der Weg verläuft durch die nordöstliche Ecke: $h(1) =1$

Der Weg teilt die Fläche so, dass die nördliche Teilfläche $60\,\%$ ausmacht, die südliche Teilfäche also $40\,\%.$ Die Gesamtfläche ist $1\,\text{m}^2$ groß, also folgt:
$\displaystyle\int_{0}^{1}h(x)\;\mathrm dx = 0,4$