Aufgabe 2A

Das Spiel „Die goldene Zehn“ wird mit einem idealen Würfel gespielt, bei dem eine Seitenfläche mit einem „V“, zwei Seitenflächen mit einer „ $2$ “, zwei mit einer „ $5$ “ und eine mit einer „ $10$ “ bedruckt sind.

Es gelten folgende Spielregeln:

Zu Beginn eines Spiels beträgt die Punktzahl des Spielers null.
Zeigt der Würfel nach einem Wurf eine Zahl, wird diese zur bisherigen Punktzahl addiert.
Der Spieler gewinnt, wenn er genau die Punktzahl $10$ erreicht.
Er verliert, wenn er eine Punktzahl größer als $10$ erreicht oder ein „V“ würfelt.
Das Spiel ist beendet, wenn der Spieler gewonnen oder verloren hat.

Der Spieler zahlt vor dem Spiel einen Einsatz von einem Euro an den Spielleiter. Gewinnt der Spieler, so bekommt er pro Wurf in diesem Spiel zwei Euro ausgezahlt.

Das Spiel wird einmal gespielt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Spieler mit zwei Würfen die Punktzahl $12$ erreicht.

(3P)

Die Zufallsgröße $X$ beschreibt den an den Spieler ausgezahlten Betrag in Euro.

Für die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ gilt:

$k$	$0$	$2$	$4$	$10$
$P(X=k)$	$\dfrac{349}{486}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{9}$	$\dfrac{1}{243}$

Begründe, dass $X$ nur die Werte $0$ , $2$ , $4$ oder $10$ annehmen kann.

Beurteile, ob das Spiel fair ist.

(6P)

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Spieler ein Spiel gewinnt, beträgt $\dfrac{137}{486}$ .

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Spieler von $120$ Spielen mindestens $40$ gewinnt.

Gib die Bedeutung des Terms $19\cdot \dfrac{349}{486}\cdot \left(\dfrac{137}{486}\right)^{18}$ im Sachzusammenhang des Spiels „Die goldene Zehn“ an.

(4P)

Untersuche, ob die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Spieler von $20$ Spielen mindestens $5$ Spiele mit je höchstens $2$ Würfen gewinnt, mindestens $70\,\%$ beträgt.

(4P)

Aufgabe A2

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

In dieser Aufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit $P(X=12)$ dafür berechnen, dass der Spieler mit zwei Würfen die Punktzahl $12$ erreicht. Ein Spieler kann hierbei nur die Punktzahl $12$ erreichen, wenn er eine $2$ und anschließend eine $10$ würfelt. Falls der Spieler zuerst eine $10$ würfelt hätte der Spieler gewonnen und das Spiel wäre beendet.

Die einzige Möglichkeit ist somit, dass der Spieler zuerst eine $2$ würfelt und anschließend eine $10$ . Die Wahrscheinlichkeit eine $2$ zu würfeln liegt hierbei bei $P(X=2)=\dfrac{2}{6}$ und eine $10$ zu würfeln bei $P(X=10)=\dfrac{1}{6}$ . Somit ergibt sich mit der Pfadregel folgende Wahrscheinlichkeit:

$P(X=12) =\dfrac{1}{18}$

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Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Spieler mit zwei Würfen die Punktzahl $12$ erreicht $P(X=12)=\dfrac{1}{18}$ .

$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{X}$ -Werte begründen

In dieser Teilaufgabe sollst du begründen, dass $X$ nur die Werte $0$ , $2$ , $4$ oder $10$ annehmen kann. $X$ gibt hierbei den an den Spieler ausgezahlten Betrag in Euro an.

Der Spieler kann in einem Spiel verlieren oder gewinnen. Verliert der Spieler bekommt er $0$ Euro ausgezahlt. Gewinnt der Spieler bekommt er pro Wurf in diesem Spiel $2$ Euro ausgezahlt. Hierbei musst du beachten, dass ein Spieler nur dann gewinnt, wenn er genau die Punktzahl $10$ erreicht. Du musst dir also überlegen, welche Möglichkeiten es gibt, dass ein Spieler genau die Punktzahl $10$ erreicht.

Eine Möglichkeit besteht darin, dass der Spieler beim ersten Wurf die Punktzahl $10$ würfelt. Somit würde der Spieler einen Betrag von $2$ Euro ausgezahlt bekommen, da er nur einmal gewürfelt hat.

Eine weitere Möglichkeit ist, dass der Spieler zweimal die Punktzahl $5$ würfelt. Somit würde der Spieler $4$ Euro ausgezahlt bekommen, da er zweimal gewürfelt hat.

Die letzte Möglichkeit ist, dass der Spieler fünfmal die Punktzahl $2$ würfelt. Dadurch würde der Auszahlungsbetrag auf $10$ Euro ansteigen.

Dies sind alle Möglichkeiten, die für den Auszahlungsbetrag auftreten können. Deshalb kann $X$ nur die Werte $0$ , $2$ , $4$ oder $10$ annehmen.

$\blacktriangleright$ Beurteilen, ob das Spiel fair ist

In dieser Teilaufgabe sollst du beurteilen, ob das Spiel fair ist. Dazu musst du den Erwartungswert berechnnen. Den Erwartungswert lässt sich mit folgender Formel berechnen:

$E(X)$ = $\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} k_i \cdot P(X=k_i)$ = $k_1 \cdot P(X=k_1)$ + $k_2\cdot P(X=k_2)$ + $...$ + $k_n \cdot P(X=k_n)$

$X$ bezeichnet hierbei den ausgezahlten Betrag in Euro. Zuerst kannst du somit den Erwartungswert für den ausgezahlten Betrag berechnen. Um zu beurteilen, ob das Spiel fair ist musst du anschließend noch den Einsatz von $1$ Euro abziehen. Damit das Spiel fair ist muss $E(X)=0$ gelten.

Für den Erwartungswert des Spiels folgt mit der angegeben Wahrscheinlichkeitsverteilung und dem Einsatz $S=1 €$ :

$E(X)=- \dfrac{44}{243} €$

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Somit beträgt der Erwartungswert $E(X)=- \dfrac{44}{243} €$ und dies ist ungleich Null. Deshalb ist das Spiel nicht fair.

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen

In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass der Spieler von $120$ Spielen mindestens $40$ Spiele gewinnt. Somit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(X \geq 40)$ . Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler gewinnt liegt bei $p=\dfrac{137}{486}$ .

Du kannst hierbei nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit der Binomialverteilung berechnen. Die Wahrscheinlichkeit $P(X \geq 40)$ kannst du außerdem wie folgt umschreiben:

$P(X \geq 40) =\dotsc$

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Zudem ist gegeben, dass der Spieler insgesamt $n=120$ Spiele spielt. Verwende den binomcdf-Befehl deines GTR. Diesen findest du unter

2ND $\to$ VARS(DISTR) $\to$ B: binomcdf.

Für die Wahrscheinlichkeit folgt mit deinem GTR:

Screenshot einer Taschenrechner-Anwendung mit binomcdf-Funktion und Werten für Trials, p und x-Wert.

Abb. 1: Eingetragene Daten

Mathematik-Display zeigt eine Berechnung mit dem Befehl

Abb. 2: Ergebnis

Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler von $120$ Spielen mindestens $40$ gewinnt $P(X \geq 40)\approx 0,126$ .

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit erläutern

In dieser Teilaufgabe sollst du erläutern, welche Wahrscheinlichkeit mit dem Term $19 \cdot \dfrac{349}{486} \cdot \left(\dfrac{137}{486}\right)^{18}$ berechnet werden kann. Der Term $19 \cdot \dfrac{349}{486} \cdot \left(\dfrac{137}{486}\right)^{18}$ gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass ein Spieler von $19$ Spielen einmal verliert und $18$ -mal gewinnt. Dies lässt sich auch durch die folgende Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit bei einer Binomialverteilung verdeutlichen:

$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$

In diesem Fall gilt $k=1$ , $n=19$ und $p=\dfrac{349}{486}$ .

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit untersuchen

In dieser Aufgabe sollst du untersuchen, ob die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Spieler von $20$ Spielen mindestens $5$ Spiele mit je höchstens $2$ Würfen gewinnt, mindestens $70 \,\%$ beträgt.

Bestimme also zunächst die Wahrscheinlichkeit $p$ dafür, dass ein Spieler ein Spiel mit höchstens $2$ Würfen gewinnt und berechne anschließend mit dieser Wahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit $P(X\geq 5)$ mit der Binomialverteilung.

In der oberen Teilaufgabe hast du bereits die Wahrscheinlichkeitsverteilung für den ausgezahlten Betrag angegeben. Hierbei hast du gegeben, dass ein Spieler mit einer Wahrscheinlichkeit von $\dfrac{1}{6}$ $2€$ ausgezahlt bekommt. Hierbei hätte der Spieler somit mit einem Wurf gewonnen. Außerdem ist die Wahrscheinlichkeit für einen Auszahlungsbetrag mit $4€$ gegeben. Die Wahrscheinlichkeit $4€$ ausgezahlt zu bekommen liegt bei $\dfrac{1}{9}$ . Hierfür hätte der Spieler mit $2$ Würfen gewonnen.

Dies sind die einzigen Möglichkeiten, dass ein Spieler mit höchstens $2$ Würfen gewinnt. Somit folgt für die Wahrscheinlichkeit $p$ , dass ein Spieler mit höchstens $2$ Würfen gewinnt:

$p=\dfrac{5}{18}$

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Somit gilt $p=\dfrac{5}{18}$ . Mit dieser Wahrscheinlichkeit und mit $n=20$ kannst du nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(X\geq 5)$ bestimmen, wobei $X$ die Anzahl der gewonnenen Spiele angibt.

Die Wahrsscheinlichkeit kannst du folgendermaßen umschreiben:

$P(X\geq 5)=1-P(X\leq 4)$

Die Wahrscheinlichkeit kannst du erneut mit dem binomcdf-Befehl berechnen. Somit folgt:

Bildschirmansicht eines Taschenrechners mit einer Berechnung zur Binomialverteilung.

Abb. 3: Ergebnis

Dadurch gilt $P(X\geq 5)\approx 0,69$ und damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit kleiner als $70\,\%$ .

Bildnachweise [nach oben]

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Aufgabe A2

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

$P(X=12) =\dfrac{1}{18}$

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Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Spieler mit zwei Würfen die Punktzahl $12$ erreicht $P(X=12)=\dfrac{1}{18}$ .

$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{X}$ -Werte begründen

In dieser Teilaufgabe sollst du begründen, dass $X$ nur die Werte $0$ , $2$ , $4$ oder $10$ annehmen kann. $X$ gibt hierbei den an den Spieler ausgezahlten Betrag in Euro an.

Eine weitere Möglichkeit ist, dass der Spieler zweimal die Punktzahl $5$ würfelt. Somit würde der Spieler $4$ Euro ausgezahlt bekommen, da er zweimal gewürfelt hat.

Die letzte Möglichkeit ist, dass der Spieler fünfmal die Punktzahl $2$ würfelt. Dadurch würde der Auszahlungsbetrag auf $10$ Euro ansteigen.

Dies sind alle Möglichkeiten, die für den Auszahlungsbetrag auftreten können. Deshalb kann $X$ nur die Werte $0$ , $2$ , $4$ oder $10$ annehmen.

$\blacktriangleright$ Beurteilen, ob das Spiel fair ist

In dieser Teilaufgabe sollst du beurteilen, ob das Spiel fair ist. Dazu musst du den Erwartungswert berechnnen. Den Erwartungswert lässt sich mit folgender Formel berechnen:

$E(X)$ = $\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} k_i \cdot P(X=k_i)$ = $k_1 \cdot P(X=k_1)$ + $k_2\cdot P(X=k_2)$ + $...$ + $k_n \cdot P(X=k_n)$

Für den Erwartungswert des Spiels folgt mit der angegeben Wahrscheinlichkeitsverteilung und dem Einsatz $S=1 €$ :

$E(X)=- \dfrac{44}{243} €$

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Somit beträgt der Erwartungswert $E(X)=- \dfrac{44}{243} €$ und dies ist ungleich Null. Deshalb ist das Spiel nicht fair.

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen

Du kannst hierbei nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit der Binomialverteilung berechnen. Die Wahrscheinlichkeit $P(X \geq 40)$ kannst du außerdem wie folgt umschreiben:

$P(X \geq 40) =\dotsc$

Vollständige Lösung anzeigen

Zudem ist gegeben, dass der Spieler insgesamt $n=120$ Spiele spielt. Verwende den binomcdf-Befehl deines GTR. Diesen findest du unter

OPTN $\to$ STAT $\to$ DIST $\to$ BINM $\to$ Bcd.

Für die Wahrscheinlichkeit folgt mit deinem GTR:

Display eines Taschenrechners mit einer binomialen Berechnung.

Abb. 1: Ergebnis

Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler von $120$ Spielen mindestens $40$ gewinnt $P(X \geq 40)\approx 0,126$ .

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit erläutern

$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$

In diesem Fall gilt $k=1$ , $n=19$ und $p=\dfrac{349}{486}$ .

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit untersuchen

Dies sind die einzigen Möglichkeiten, dass ein Spieler mit höchstens $2$ Würfen gewinnt. Somit folgt für die Wahrscheinlichkeit $p$ , dass ein Spieler mit höchstens $2$ Würfen gewinnt:

$p=\dfrac{5}{18}$

Vollständige Lösung anzeigen

Somit gilt $p=\dfrac{5}{18}$ . Mit dieser Wahrscheinlichkeit und mit $n=20$ kannst du nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(X\geq 5)$ bestimmen, wobei $X$ die Anzahl der gewonnenen Spiele angibt.

Die Wahrsscheinlichkeit kannst du folgendermaßen umschreiben:

$P(X\geq 5)=1-P(X\leq 4)$

Die Wahrscheinlichkeit kannst du erneut mit dem binomcdf-Befehl berechnen. Somit folgt:

Mathematische Berechnung auf einem Grafikrechner mit Binomialverteilung.

Abb. 2: Ergebnis

Dadurch gilt $P(X\geq 5)\approx 0,69$ und damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit kleiner als $70\,\%$ .

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