Aufgabe 1A

Eine Isolierkanne besteht aus einer Kunststoffhülle sowie einem Glaseinsatz und soll modellmäßig beschrieben werden.

Die Kanne wird entsprechend der Abbildung 1 der Anlage im Koordinatensystem liegend betrachtet.

Außen wird der obere Rand der Hülle für $-11 \leq x \leq 11$ beschrieben durch eine Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{1}{512} \cdot x^3 - \frac{3}{8} \cdot x + 6$ ; $x$ und $f(x)$ in Zentimetern.

Ein silberner Kännchen aus Metall mit einem Griff und einer schrägen Ausgussöffnung.

a) Die parallel zur $y$ -Achse gemessene Wandstärke der Hülle beträgt $2\,\text{mm}$ .

Begründe, dass innen der obere Rand der Hülle für $-11 \leq x \leq 11$ durch eine Funktion $g$ mit $g(x)=\frac{1}{512} \cdot x^3 - \frac{3}{8} \cdot x + 5,8$ beschrieben wird; $x$ und $g(x)$ in Zentimetern.

Bestimme den Innendurchmesser der Hülle am Boden und den maximalen Innendurchmesser der Hülle.

Die Hülle erhält einen zylinderförmigen Einsatz aus Glas wie in der Abbildung 1 dargestellt. Seine Wandstärke beträgt $3\,\text{mm}$ . Der Einsatz reicht vom Boden bis $1\,\text{cm}$ unterhalb der Öffnung.

Berechne das maximale Füllvolumen des Einsatzes in Litern.

Berechne die Höhe, bis zu der der Einsatz gefüllt werden muss, damit er $0,75\,\text{Liter}$ Flüssigkeit enthält.

(16P)

b) An der Hülle wird ein Griff angebracht. Der Rand des Griffs wird für $-8 \leq x \leq 8$ beschrieben durch eine Funktion $h$ mit $h(x)=-\frac{3}{64} \cdot x^2 - \frac{1}{4} \cdot x + 9$ ; $x$ und $h(x)$ in Zentimetern.

Zeige, dass der Übergang zwischen der Modellierung von Griff und Hülle an der Stelle $x=-8$ zwar sprungfrei aber nicht knickfrei ist.

Der obere Rand der Hülle hat im Punkt $B\,(8 \mid 4)$ eine waagerechte Tangente.

Bestimme die Größe des Winkels $\alpha$ , unter dem der Griff am Punkt $B$ auf den oberen Rang der Hülle trifft.

Zeige:

Der parallel zur $y$ -Achse gemessene Abstand zwischen Griff und oberem Rand der Hülle ist stets kleiner als $3,5\,\text{cm}$ .

Der Flächeninhalt des Querschnitts zwischen Griff und Hülle beträgt mindestens $30\,\text{cm}^2$ .

(14P)

c) Unabhängig vom Sachzusammenhang wird eine ganzrationale Funktion $p$ dritten Grades betrachtet.

In der Abbildung 2 der Anlage ist der Graph der zugehörigen Ableitungsfunktion $p‘$ dargestellt.

Begründe mithilfe der Abbildung 2, dass die Funktion $p$ zwar eine Wendestelle, aber keine Extrema besitzt.

(4P)

Material

Anlage

Grafische Darstellung zu den Teilaufgaben a), b) und c)

Mathematische Grafik mit Bezeichnungen für obere und untere Ränder einer Hülle und Achsen.

Abbildung 1: Querschnitt der Kanne

Graph zu Teilaufgabe d)

Graf einer Parabel im Koordinatensystem mit x- und y-Achse.

Abbildung 2: Graph der Ableitungsfunktion $p‘$

a) $\blacktriangleright$ Funktion $\boldsymbol{g}$ begründen

Der äußere obere Rand der Isolierkanne wird durch die Funktion $f=\dfrac{1}{512}x^3-\dfrac{3}{8}x+6$ beschrieben. Dabei werden die Werte $f(x)$ in Zentimeter angegeben.

Die Kanne hat eine Wandstärke von $2\,\text{mm}$ . Dies entspricht $0,2\,\text{cm}$ . Die Wandstärke wurde parallel zur $y$ -Achse gemessen. Verschiebst du die Funktion $f$ um $0,2$ in negative $y$ -Richtung, so erhältst du die Funktion $g$ .

$\begin{array}[t]{rlll} f(x)&=& \dfrac{1}{512}x^3-\dfrac{3}{8}x+6\quad &\scriptsize \text{Verschiebung in negative y-Richtung} \\[5pt] f^*(x)&=&\dfrac{1}{512}x^3-\dfrac{3}{8}x+6-0,2\\[5pt] &=&\dfrac{1}{512}x^3-\dfrac{3}{8}x+5,8\\[5pt] &=&g(x) \end{array}$

Die Funktion $g$ beschreibt den inneren oberen Rand der Isolierkanne.

$\blacktriangleright$ Innendurchmesser $\boldsymbol{d_{Boden}}$ am Boden bestimmen

Der Boden der Kanne wird durch $x=-11$ beschrieben. Die Funktion $g$ beschreibt an jedem Punkt den Innenradius $r$ der Kanne. Der Durchmesser $d$ entspricht:

d=2r

Um nun den Innendurchmesser $d_{Boden}$ zu berechnen setzt du den Wert $x=-11$ in die Funktion $g$ ein und multiplizierst mit $2$ .

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} d_{Boden}&=&2\cdot g(-11) \end{array}$

Dies kannst du mit dem GTR berechnen. Wechsle dazu mit deinem GTR in das Y=-Menü und speichere dort den Funktionsterm von $g$ . Hast du diesen dort gespeichert, dann lass dir den zugehörigen Graphen über GRAPH anzeigen. Den Funktionswert an der Stelle $x=-11$ erhältst du mit dem Befehl

2nd CALC (TRACE) 1:value

Damit ergibt sich:

Graph einer mathematischen Funktion mit Koordinaten und einer Kurve.

Der Innendurchmesser $d_{innen}$ am Boden beträgt etwa $2 \cdot 7,33 = 14,7\,\text{cm}$ .

$\blacktriangleright$ Maximalen Innendurchmesser $\boldsymbol{d_{max}}$ bestimmen

Um den maximalen Innendurchmesser zu berechnen, benötigst du den Hochpunkt des Graphen von $g$ . Der $y$ -Wert des Hochpunktes entspricht dem maximalen Radius der Kanne. Mit der Beziehung $d=2r$ kannst du dann den maximalen Durchmesser berechnen.

Für ein Maximum der Funktion $g$ müssen folgende Bedingungen gelten:

Notwendige Bedingung: $g‘(x_E)=0$

Hinreichende Bedingung: $g‘‘(x_E)\lt 0$

Du kannst so vorgehen:

Bilde die erste und zweite Ableitung

Prüfe die notwendige Bedingung

Prüfe die hinreichende Bedingung

Berechne den maximalen Durchmesser

1. Schritt: Ableitungen bilden

$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=&\dfrac{1}{512}x^3-\dfrac{3}{8}x+5,8 \\[5pt] g‘(x)&=&\dfrac{3}{512}x^2-\dfrac{3}{8}\\[5pt] g‘‘(x)&=&\dfrac{6}{512}x \end{array}$

2. Schritt: Notwendige Bedingung prüfen

$\begin{array}[t]{rlll} g‘(x)&=&0\\[5pt] \dfrac{3}{512}x^2-\dfrac{3}{8}&=&0&\quad \scriptsize \mid\; +\dfrac{3}{8}\\[5pt] \dfrac{3}{512}x^2&=& \dfrac{3}{8}&\quad \scriptsize \mid\; :\dfrac{3}{512}\\[5pt] x^2&=&\dfrac{3}{8}\cdot\dfrac{512}{3}&\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;}\\[5pt] x_{1,2}&=&\pm8 \end{array}$

Die Funktion $g$ hat an den Stellen $x_1=-8$ und $x_2=8$ potentielle Extremstellen.

3. Schritt: Hinreichende Bedingung prüfen

Setze nun die potentielle Extremstellen in die zweiten Ableitung $g‘‘$ ein.

$\begin{array}[t]{rlll} g‘‘(x_1)&=&\dfrac{6}{512}x_1 \\[5pt] g‘‘(-8) &=&\dfrac{6}{512}\cdot(-8)\\[5pt] &=&-\dfrac{3}{32}&\quad \scriptsize \lt 0 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rlll} g‘‘(x_2)&=&\dfrac{6}{512}x_2 \\[5pt] g‘‘(8) &=&\dfrac{6}{512}\cdot8\\[5pt] &=&\dfrac{3}{32}&\quad \scriptsize \gt 0 \end{array}$

Die Funktion $g$ hat an der Stelle $x_1=-8$ ein Maximum und an der Stelle $x_2=8$ ein Minimum.

4. Schritt: Maximalen Durchmesser berechnen

Setze nun $x=-8$ in die Funktion $g$ ein, um den maximalen Radius zu berechnen. Anschließend multiplizierst du den Radius mit $2$ um den maximalen Durchmesser zu berechnen. Nutze dazu deinen GTR wie in der vorigen Teilaufgabe:

Graph einer mathematischen Funktion mit Koordinaten und einer blauen Kurve auf einem Gitter.

Der maximale Durchmesser beträgt $15,6\,\text{cm}$ .

$\blacktriangleright$ Maximales Füllvolumen $\boldsymbol{V}$ berechnen

Du sollst nun das maximale Füllvolumen berechnen, das in den zylinderförmigen Einsatz gefüllt werden kann. Das Volumen eines Zylinders berechnest du wie folgt:

$V=\pi\cdot r^2\cdot h$

Um das maximale Füllvolumen zu berechnen brauchst du daher den Radius und die Höhe des Zylinders.

Die Höhe $h$ des Zylinders entspricht der Höhe $h_{Kanne}$ der Kanne abzüglich einem Zenitmeter, da der Einsatz $1\,\text{cm}$ unterhalb der Öffnung endet. Außerdem musst du von der Höhe $h_{Kanne}$ noch die Wandstärke von $3\,\text{mm}$ subtrahieren. Die Kanne wird in dem Bereich $-11\leq x\leq11$ beschrieben. Die Kanne ist demnach $22\,\text{cm}$ hoch.

Der Einsatz berührt die Kanne an dem tiefstem Punkt der Funktion $g$ . Berechne daher den Tiefpunkt der Funktion $g$ . Beachte auch hier die Wandstärke.

Für ein Minimum von $g$ gelten folgende Bedingung:

Notwendige Bedingung: $g‘(x_E)=0$

Hinreichende Bedingung: $g‘‘(x_E)\gt 0$

Aus der vorherigen Teilaufgabe weißt du, dass die Funktion $g$ an der Stelle $x_2=8$ ein Minimum hat.

Du kannst nun so vorgehen:

Berechne die Höhe $h$ des Einsatzes

Berechne die vollständigen Koordinaten des Tiefpunktes $T$

Berechne das Volumen $V$

Du sollst das Füllvolumen in Liter angeben. Beachte daher: $1\,\text{L}=1000\,\text{cm}^3$

1. Schritt: Höhe $\boldsymbol{h}$ berechnen

Die Höhe berechnet sich wie folgt:

$\begin{array}[t]{rll} h&=&h_{Kanne}-1\,\text{cm}-0,3\,\text{cm} \\[5pt] h &=&22\,\text{cm}-1\,\text{cm}-0,3\,\text{cm}\\[5pt] h&=&20,7\,\text{cm} \end{array}$

Der Einsatz ist $20,7\,\text{cm}$ hoch.

2. Schritt: Koordinaten des Tiefpunktes $\boldsymbol{T}$ berechnen

Du weißt, dass die Funktion $g$ an der Stelle $x_2=8$ ein Minimum hat. Setze nun den Wert $x_2=8$ in die Funktion $g$ ein. Der GTR liefert dir:

Grafik einer mathematischen Funktion mit einer blauen Kurve, Koordinatenachsen und einem markierten Punkt.

Der Tiefpunkt $T$ hat die Koordinaten $T(8\mid3,8)$ .

Demnach hat der Einsatz folgenden Radius $r$ .

$\begin{array}[t]{rll} r&=&3,8\,\text{cm}-0,3\,\text{cm} \\[5pt] r &=&3,5\,\text{cm} \end{array}$

3. Schritt: Volumen $\boldsymbol{V}$ berechnen

Setze nun die Werte in die Formel zur Berechnung des Volumens ein.

$\begin{array}[t]{rll} V&=&\pi\cdot r^2\cdot h \\[5pt] V &=&\pi\cdot (3,5\,\text{cm})^2\cdot 20,7\,\text{cm}\\[5pt] V&=&796,63\,\text{cm}^3 \end{array}$

In den Einsatz passen etwa $800\,\text{cm}^3$ . Dies entspricht einem maximalen Volumen von $0,8$ Litern.

$\blacktriangleright$ Höhe $\boldsymbol{h}$ berechnen

Der Einsatz soll nun nur mit $0,75$ Litern befüllt werden. Um die Höhe $h$ zu berechnen, bis zu der der Einsatz befüllt ist, löst du die Formel zur Berechnung des Volumens nach der Höhe auf. Anschießend kannst du die Werte für den Radius $r=3,5\,\text{cm}$ und $V=750\,\text{cm}^3$ in die Formel einsetzen.

$\begin{array}[t]{rlll} V&=&\pi\cdot r^2\cdot h& \quad \scriptsize \mid\; :\pi\\[5pt] \dfrac{V}{\pi} &=&r^2\cdot h& \quad \scriptsize \mid\; :r^2\\[5pt] \dfrac{V}{\pi\cdot r^2} &=&h \\[5pt] h&=&\dfrac{750\,\text{cm}^3}{\pi\cdot (3,5\,\text{cm})^2}\\[5pt] h&=&19,5\,\text{cm} \end{array}$

Der Einsatz ist bis zu einer Höhe von ca. $19,5\,\text{cm}$ mit Flüssigkeit befüllt.

b) $\blacktriangleright$ Übergang begründen

Es wird ein Griff an die Kanne angebracht, der durch die Funktion $h(x)=-\dfrac{3}{64}x^2-\dfrac{1}{4}x+9$ in dem Bereich $-8\leq x\leq8$ beschrieben wird.

Damit der Übergang zwischen Kanne und Griff sprungfrei verläuft, müssen die Funktionen $f$ und $h$ an der Stelle $x=-8$ den gleichen Funktionswert haben. Ist der Übergang nicht knickfrei, so dürfen die Funktionen an der Stelle $x=-8$ nicht die selbe Steigung haben. Die Werte der ersten Ableitungen müssen sich daher an den zu untersuchenden Stellen unterscheiden.

Nun kannst du mit deinem GTR die Eigenschaften des Übergangs überprüfen. Wechsle dazu mit deinem GTR in das Y=-Menü und speichere dort die Funktionsterme von $f$ und $h$ bzw. von deren Ableitungen. Hast du diese dort gespeichert, dann lass dir die zugehörigen Graphen über GRAPH anzeigen. Die Funktionswerte an der Stelle $x=-8$ erhältst du mit dem Befehl

2nd CALC (TRACE) 1:value

Graph einer Funktion mit zwei Kurven in rot und blau, Achsenbeschriftungen X und Y sichtbar.

Grafik mit zwei Funktionen in einem Koordinatensystem, die sich schneiden. Achsen beschriftet mit X und Y.

Graph einer mathematischen Funktion mit einer blauen und einer roten Kurve im Koordinatensystem.

Diagramm mit zwei Funktionen in rot und blau, Achsenbeschriftungen und Werten für X und Y.

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f(-8)&=&h(-8)\\[5pt] f‘(-8) &\neq&h‘(-8) \end{array}$

Der Übergang von dem Griff auf die Kanne ist an der Stelle $x=-8$ demnach sprungfrei aber nicht knickfrei.

$\blacktriangleright$ Winkel $\boldsymbol{\alpha}$ bestimmen

Um den Winkel $\alpha$ zu bestimmen, unter welchem der Griff am Punkt $B(8\mid4)$ auf den oberen Rand der Hülle trifft, berechnest du den Steigungswinkel der Funktion $h$ an der Stelle $8$ .

Der Steigungswinkel wird wie folgt berechnet:

$\tan\alpha=m$

Dabei ist $m$ die Steigung in dem zu untersuchenden Punkt. In unserem Fall also $h‘(8)$ . Berechne diesen Wert mit Hilfe des GTR und setze ihn anschließend in die Formel ein. Den GTR-Befehl findest du unter:

Math 8: nDeriv(

Mathematische Berechnung der Ableitung einer Funktion auf einem Taschenrechner.

Die Steigung ist an der Stelle $8$ gleich $-1$ .

Einsetzen ergibt:

$\begin{array}[t]{rlll} \tan\alpha&=&h‘(-8)\\[5pt] \tan\alpha &=&-1& \quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}\\[5pt] \alpha&=&-45^{\circ} \end{array}$

Der Griff trifft in einem Winkel von $45^{\circ}$ auf die Hülle der Kanne.

$\blacktriangleright$ Behauptungen bestätigen

1. Behauptung: Der Abstand (parallel zur $\boldsymbol{y}$ -Achse) zwischen Griff und Hülle ist immer kleiner als $\boldsymbol{3,5}$

Um diese Behauptung zu überprüfen, bildest du die Differenzfunktion $d(x)=h(x)-f(x)$ . Untersuche dann die Funktion $d$ mit dem GTR auf Extremstellen. Verläuft die Funktion immer unter $3,5$ , so ist der Abstand stets kleiner als $3,5$ .

$\begin{array}[t]{rll} d(x)&=&h(x)-f(x)\\[5pt] d(x)&=&-\dfrac{3}{64}x^2-\dfrac{1}{4}x+9-\left(\dfrac{1}{512}x^3-\dfrac{3}{8}x+6\right)\\[5pt] d(x)&=&-\dfrac{1}{512}x^3-\dfrac{3}{64}x^2+\dfrac{1}{8}x+3 \end{array}$

Die Funktion $d$ kannst du im Graph-Modus zeichnen lassen. Du erkennst, dass die Funktion im Bereich $-8\leq x\leq8$ ein Maximum hat. Dieses kannst du dir unter folgendem Befehl anzeigen lassen.

2nd CALC (TRACE) 4: maximum

Grafik einer Funktion mit Maximum, dargestellt in einem mathematischen Grafikrechner.

Der Graph von $d$ hat einen Hochpunkt mit den Koordinaten $H(1,24\mid3,08)$ . Damit ist der Abstand zwischen Griff und Hülle stets kleiner als $3,5$ .

2. Behauptung: Der Flächeninhalt $\boldsymbol{A}$ beträgt mindestens $\boldsymbol{30\,\textbf{cm}^2}$

Die Fläche zwischen der Funktion $d$ und der $x$ -Achse stellt den Raum zwischen dem Griff und der Hülle dar.

Um die Behauptung zu überprüfen, berechnest du das Integral der Funktion $d$ im Bereich $-8\leq x\leq8$ .

Dies kannst du mit Hilfe des folgenden GTR-Befehls berechnen:

Math 9: fnInt(

Mathematische Gleichung auf einem Taschenrechner-Display mit Integralberechnung. Ergebnis: 32.

Die Fläche ist $32\,\text{cm}^2$ groß. Damit ist die Behauptung korrekt.

c) $\blacktriangleright$ Wendestelle und Extrema begründen

Bei dieser Teilaufgabe sollst du begründen, dass die Funktion $p$ eine Wendestelle, aber kein Extrema besitzt. In der Aufgabe hast du den Graphen $p‘$ der ersten Ableitung von $p$ gegeben.

Die Ableitungsfunktion $p‘$ hat eine Extremstelle. Das bedeutet, dass die Funktion $p$ eine Wendestelle hat.

Damit die Funktion $p$ ein Extrema hat, müsste die Ableitungsfunktion eine Nullstelle haben. Der Graph der Funktion $p‘$ verläuft jedoch nur überhalb der $x$ -Achse. Die Funktion $p$ hat demnach keine Extrema.

a) $\blacktriangleright$ Funktion $\boldsymbol{g}$ begründen

Der äußere obere Rand der Isolierkanne wird durch die Funktion $f=\dfrac{1}{512}x^3-\dfrac{3}{8}x+6$ beschrieben. Dabei werden die Werte $f(x)$ in Zentimeter angegeben.

Die Kanne hat eine Wandstärke von $2\,\text{mm}$ . Dies entspricht $0,2\,\text{m}$ . Die Wandstärke wurde parallel zur $y$ -Achse gemessen. Verschiebst du die Funktion $f$ um $0,2$ in negative $y$ -Richtung, so erhältst du die Funktion $g$ .

Die Funktion $g$ beschreibt den inneren oberen Rand der Isolierkanne.

$\blacktriangleright$ Innendurchmesser $\boldsymbol{d_{Boden}}$ am Boden bestimmen

Der Boden der Kanne wird durch $x=-11$ beschrieben. Die Funktion $g$ beschreibt an jedem Punkt den Innenradius $r$ der Kanne. Der Durchmesser $d$ entspricht:

d=2r

Um nun den Innendurchmesser $d_{Boden}$ zu berechnen setzt du den Wert $x=-11$ in die Funktion $g$ ein und multiplizierst mit $2$ .

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} d_{Boden}&=&2\cdot g(-11) \end{array}$

Dies kannst du mit dem GTR berechnen. Definiere dazu zunächst die Funktion $g$ im Graph-Modus.

Bildschirm mit mathematischen Funktionen und graphischen Optionen auf einem Taschenrechner.

Display eines mathematischen Ausdrucks mit Resultat.

Der Innendurchmesser $d_{innen}$ am Boden beträgt etwa $14,7\,\text{cm}$ .

$\blacktriangleright$ Maximalen Innendurchmesser $\boldsymbol{d_{max}}$ bestimmen

Für ein Maximum der Funktion $g$ müssen folgende Bedingungen gelten:

Notwendige Bedingung: $g‘(x_E)=0$

Hinreichende Bedingung: $g‘‘(x_E)\lt 0$

Du kannst so vorgehen:

Bilde die erste und zweite Ableitung

Prüfe die notwendige Bedingung

Prüfe die hinreichende Bedingung

Berechne den maximalen Durchmesser

1. Schritt: Ableitungen bilden

$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=&\dfrac{1}{512}x^3-\dfrac{3}{8}x+5,8 \\[5pt] g‘(x)&=&\dfrac{3}{512}x^2-\dfrac{3}{8}\\[5pt] g‘‘(x)&=&\dfrac{6}{512}x \end{array}$

2. Schritt: Notwendige Bedingung prüfen

Die Funktion $g$ hat an den Stellen $x_1=-8$ und $x_2=8$ potentielle Extremstellen.

3. Schritt: Hinreichende Bedingung prüfen

Setze nun die potentielle Extremstellen in die zweiten Ableitung $g‘‘$ ein.

$\begin{array}[t]{rlll} g‘‘(x_1)&=&\dfrac{6}{512}x \\[5pt] g‘‘(-8) &=&\dfrac{6}{512}\cdot(-8)\\[5pt] &=&-\dfrac{3}{32}&\quad \scriptsize \lt 0 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rlll} g‘‘(x_2)&=&\dfrac{6}{512}x \\[5pt] g‘‘(8) &=&\dfrac{6}{512}\cdot8\\[5pt] &=&\dfrac{3}{32}&\quad \scriptsize \gt 0 \end{array}$

Die Funktion $g$ hat an der Stelle $x_1=-8$ ein Maximum und an der Stelle $x_2=8$ ein Minimum.

4. Schritt: Maximalen Durchmesser berechnen

Setze nun $x=-8$ in die Funktion $g$ ein, um den maximalen Radius zu berechnen. Anschließend multiplizierst du den Radius mit $2$ um den maximalen Durchmesser zu berechnen. Als $Y1$ hast du aus der vorherigen Teilaufgabe bereits die Funktion $g$ gespeichert.

Mathematik-Bildschirm mit Berechnungen und Ergebnissen. Zahlen und Funktionen sind sichtbar.

Der maximale Durchmesser beträgt $15,6\,\text{cm}$ .

$\blacktriangleright$ Maximales Füllvolumen $\boldsymbol{V}$ berechnen

Du sollst nun das maximale Füllvolumen berechnen, das in den zylinderförmigen Einsatz gefüllt werden kann. Das Volumen eines Zylinders berechnest du wie folgt:

$V=\pi\cdot r^2\cdot h$

Um das maximale Füllvolumen zu berechnen brauchst du daher den Radius und die Höhe des Zylinders.

Der Einsatz berührt die Kanne an dem tiefstem Punkt der Funktion $g$ . Berechne daher den Tiefpunkt der Funktion $g$ . Beachte auch hier die Wandstärke.

Für ein Minimum von $g$ gelten folgende Bedingung:

Notwendige Bedingung: $g‘(x_E)=0$

Hinreichende Bedingung: $g‘‘(x_E)\gt 0$

Aus der vorherigen Teilaufgabe weißt du, dass die Funktion $g$ an der Stelle $x_2=8$ ein Minimum hat.

Du kannst nun so vorgehen:

Berechne die Höhe $h$ des Einsatzes

Berechne die vollständigen Koordinaten des Tiefpunktes $T$

Berechne das Volumen $V$

Du sollst das Füllvolumen in Liter angeben. Beachte daher: $1\,\text{L}=1000\,\text{cm}^3$

1. Schritt: Höhe $\boldsymbol{h}$ berechnen

Die Höhe berechnet sich wie folgt:

$\begin{array}[t]{rll} h&=&h_{Kanne}-1\,\text{cm}-0,3\,\text{cm} \\[5pt] h &=&22\,\text{cm}-1\,\text{cm}-0,3\,\text{cm}\\[5pt] h&=&20,7\,\text{cm} \end{array}$

Der Einsatz ist $20,7\,\text{cm}$ hoch.

2. Schritt: Koordinaten des Tiefpunktes $\boldsymbol{T}$ berechnen

Du weißt, dass die Funktion $g$ an der Stelle $x_2=8$ ein Minimum hat. Setze nun den Wert $x_2=8$ in die Funktion $g$ ein.

Grafik eines mathematischen Displays mit verschiedenen Optionen und einer Zahl 3.8.

Der Tiefpunkt $T$ hat die Koordinaten $T(8\mid3,8)$ .

Demnach hat der Einsatz folgenden Radius $r$ .

$\begin{array}[t]{rll} r&=&3,8\,\text{cm}-0,3\,\text{cm} \\[5pt] r &=&3,5\,\text{cm} \end{array}$

3. Schritt: Volumen $\boldsymbol{V}$ berechnen

Setze nun die Werte in die Formel zur Berechnung des Volumens ein.

$\begin{array}[t]{rll} V&=&\pi\cdot r^2\cdot h \\[5pt] V &=&\pi\cdot (3,5\,\text{cm})^2\cdot 20,7\,\text{cm}\\[5pt] V&=&796,63\,\text{cm}^3 \end{array}$

In den Einsatz passen etwa $800\,\text{cm}^3$ . Dies entspricht einem maximalen Volumen von $0,8$ Litern.

$\blacktriangleright$ Höhe $\boldsymbol{h}$ berechnen

Der Einsatz ist bis zu einer Höhe von ca. $19,5\,\text{cm}$ mit Flüssigkeit befüllt.

b) $\blacktriangleright$ Übergang begründen

Es wird ein Griff an die Kanne angebracht, der durch die Funktion $h(x)=-\dfrac{3}{64}x^2-\dfrac{1}{4}x+9$ in dem Bereich $-8\leq x\leq8$ beschrieben wird.

Dies kannst du mit deinem GTR überprüfen. Definiere zunächst die Funktionen $f$ , $h$ . Wir definieren die Funktion $f$ als $Y1$ und die Funktion $h$ als $Y2$ . Den Befehl für die erste Ableitung findest du unter:

OPTN F4: CALC F2: d/dx

Mathematische Eingabe mit zwei Funktionen Y1 und Y2, beide auf -8 gesetzt.

Mathematische Ableitungen für Y1 und Y2 bei x=-8 auf einem Taschenrechner angezeigt.

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f(-8)&=&h(-8)\\[5pt] f‘(-8) &\neq&h‘(-8) \end{array}$

Der Übergang von dem Griff auf die Kanne ist an der Stelle $x=-8$ demnach sprungfrei aber nicht knickfrei.

$\blacktriangleright$ Winkel $\boldsymbol{\alpha}$ bestimmen

Um den Winkel $\alpha$ zu bestimmen, unter welchem der Griff am Punkt $B(8\mid4)$ auf den oberen Rand der Hülle trifft, berechnest du den Steigungswinkel der Funktion $h$ an der Stelle $8$ .

Der Steigungswinkel wird wie folgt berechnet:

$\tan\alpha=m$

Dabei ist $m$ die Steigung in dem zu untersuchenden Punkt. In unserem Fall also $h‘(8)$ . Berechne diesen Wert mit Hilfe des GTR und setze ihn anschließend in die Formel ein. Die Funktion $h$ hast du bereits als $Y2$ in deinem GTR gespeichert.

Mathematische Ableitung mit Eingabe und Ergebnis auf einem grafischen Taschenrechner.

Die Steigung ist an der Stelle $8$ gleich $-1$ .

Einsetzen ergibt:

$\begin{array}[t]{rlll} \tan\alpha&=&h‘(-8)\\[5pt] \tan\alpha &=&-1& \quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}\\[5pt] \alpha&=&-45^{\circ} \end{array}$

Der Griff trifft in einem Winkel von $45^{\circ}$ auf die Hülle der Kanne.

$\blacktriangleright$ Behauptungen bestätigen

1. Behauptung: Der Abstand (parallel zur $\boldsymbol{y}$ -Achse) zwischen Griff und Hülle ist immer kleiner als $\boldsymbol{3,5}$

Die Funktion $d$ kannst du im Graph-Modus zeichnen lassen. Du erkennst, dass die Funktion im Bereich $-8\leq x\leq8$ ein Maximum hat. Dieses kannst du dir unter folgendem Befehl anzeigen lassen.

F5: G-Solv F2: Max

Grafik eines Koordinatensystems mit einer Kurve und angezeigten Koordinaten.

Der Graph von $d$ hat einen Hochpunkt mit den Koordinaten $H(1,24\mid3,08)$ . Damit ist der Abstand zwischen Griff und Hülle stets kleiner als $3,5$ .

2. Behauptung: Der Flächeninhalt $\boldsymbol{A}$ beträgt mindestens $\boldsymbol{30\,\textbf{cm}^2}$

Die Fläche zwischen der Funktion $d$ und der $x$ -Achse stellt den Raum zwischen dem Griff und der Hülle dar.

Um die Behauptung zu überprüfen, berechnest du das Integral der Funktion $d$ im Bereich $-8\leq x\leq8$ .

Dies kannst du mit Hilfe des folgenden GTR-Befehls berechnen:

OPTN F4: CALC F4:

Die Funktion $d$ hast du bereits als $Y1$ gespeichert.

Mathematische Gleichung mit Integralzeichen und verschiedenen Funktionen auf einem Bildschirm.

Die Fläche ist $32\,\text{cm}^2$ groß. Damit ist die Behauptung korrekt.

c) $\blacktriangleright$ Wendestelle und Extrema begründen

Bei dieser Teilaufgabe sollst du begründen, dass die Funktion $p$ eine Wendestelle, aber kein Extrema besitzt. In der Aufgabe hast du den Graphen $p‘$ der ersten Ableitung von $p$ gegeben.

Die Ableitungsfunktion $p‘$ hat eine Extremstelle. Das bedeutet, dass die Funktion $p$ eine Wendestelle hat.