Aufgabe 2B

Es werden Kühe einer neuen Züchtung betrachtet. Bei zehn Prozent der Kühe enthält die Milch einen Inhaltsstoff, der sich mithilfe einer Untersuchung eindeutig nachweisen lässt. Dabei wird pro Kuh immer genau eine Milchprobe entnommen.

Die Milchproben von $160$ Kühen werden untersucht. Die Zufallsgröße $X$ gibt die Anzahl der Kühe an, in deren Milch dieser Inhaltsstoff enthalten ist, und kann als binomialverteilt angenommen werden.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den untersuchten Milchproben genau $16$ den Inhaltsstoff enthalten.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens $20$ der untersuchten Milchproben den Inhaltstoff enthalten.

Ermittle das kleinste um den Erwartungswert von $X$ symmetrische Intervall mit ganzzahligen Grenzen $a$ und $b$ , für das gilt:

$P(a\leq X\leq b)\geq 95\,\%$ .

(8P)

Die Milchproben mehrerer Kühe werden nun nach folgendem Verfahren untersucht:

Jeder Milchprobe wird ein Teil entnommen. Diese Teile werden gemischt und das Gemisch wird auf den Inhaltsstoff untersucht. Wird der Inhaltsstoff aufgefunden, werden die Milchproben aller Kühe einzeln untersucht.

Die Anzahl der Kühe, deren Milch den Inhaltsstoff enthält, kann weiterhin als binomialverteilte Zufallsgröße angenommen werden.

Bestimme für die Milchproben von $20$ Kühen

die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Gemisch den Inhaltsstoff enthält,
die zu erwartende Anzahl an Untersuchungen.

Es gibt eine Anzahl an Milchproben, bis zu der nach diesem Verfahren weniger Untersuchungen zu erwarten sind, als wenn alle Milchproben einzeln untersucht werden. Ermittle diese Anzahl.

(9P)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für genau $\boldsymbol{16}$ Proben berechnen

Für die Wahrscheinlichkeit, dass genau $16$ von $160$ Proben den Inhaltsstoff enthalten, betrachtest du die binomialverteilte Zufallsvariable $X$ welche die Anzahl der Kühe angibt, welche Milch mit diesem Inhaltsstoff produzieren.

Um die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen bestimmten Wert $k$ annimmt, zu berechnen, verwendest du die Bernoulli-Gleichung mit $n$ Versuchen, $k$ Treffern und einer Wahrscheinlichkeit $p$ :

$\begin{array}[t]{rll} P(X=k)&=& B_{n,p}(k) &\\[5pt] &=&\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k} \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass genau $k=16$ von $n=160$ Proben bei einer Wahrscheinlichkeit von $p=10\% =0,1$ den Inhaltsstoff enthalten berechnest du somit durch folgende Gleichung, deren Ergebnis du im Tafelwerk nachschlägst:

$\begin{array}[t]{rll} P(X=16)&=& \binom{160}{16}\cdot 0,1^{16}\cdot 0,9^{144} &\\[5pt] &=& 0,1046 \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass genau $16$ Proben verunreinigt sind beträgt $10,46\%$ .

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für höchstens $\boldsymbol{20}$ Proben berechnen

Die Wahrscheinlichkeit für höchstens $20$ Proben setzt sich aus den Wahrscheinlichkeiten für genau $0$ , genau $1$ usw. zusammen:

$P(X\leq 20)=\sum\limits_{k=0}^{20} \binom{160}{k}\cdot 0,1^{k}\cdot 0,9^{160-k}$

Vollständige Lösung anzeigen

Diese kummulierte Wahrscheinlichkeit erhälst du aus dem Tafelwerk mit $P(X\leq 20)=0,8800$ .

$\blacktriangleright$ Intervall berechnen

Du sollst Grenzen für ein symmetrisches Intervall um den Erwartungswert $E(X)$ berechnen, in welchem die kummulierte Wahrscheinlichkeit größer als $95\%$ ist.

1. Schritt: Erwartungswert berechnen

Für den Erwartungswert $E(X)$ einer binomialverteilten Zufallsvariable gilt:

$E(X)=n\cdot p$

Der Erwartungswert ist somit:

$\begin{array}[t]{rll} E(X)&=& 160\cdot 0,1 &\\[5pt] &=& 16 \end{array}$

Der Erwartungswert der Anzahl an verunreinigten Proben beträgt $16$ .

2. Schritt: Grenzen abändern

Da das Intervall symmetrische sein soll, schreibst du die Grenzen als $a=16-c$ und $b=16+c$ , wobei $c$ der Abstand zum Erwartungswert beschreibt. Du suchst somit eine Lösung der Gleichung:

$\begin{array}[t]{rll} P(16-c\leq X\leq 16+c)&\geq& 0,95 &\\[5pt] \end{array}$

Diese Gleichung löst du, indem du die Verteilung durch eine Gauß‘sche Normalverteilung näherst und dann die $\boldsymbol{\sigma}$ -Intervall-Regeln anwendest.

$95\%$ aller Ereignisse liegen in einer $1,96\sigma$ Umgebung um den Erwartungswert.

3. Schritt: $\boldsymbol{\sigma}$ berechnen

Die Standardabweichung $\sigma$ einer Binomialverteilung berechnet sich mit:

$\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$

Mit $n=160$ und $p=0,1$ beträgt $\sigma$ ungefähr $3,79$ .

4. Schritt: Grenzen berechnen

Somit gilt für den Parameter $c$ :

$\begin{array}[t]{rll} c&=& 1,96\cdot\sigma &\\[5pt] &\approx& 7,43 \end{array}$

Die Grenzen $a$ und $b$ sind somit:

$\begin{array}[t]{rll} a&=& 16-c &\\[5pt] &=& 8,57 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} b&=& 16+c &\\[5pt] &=& 23,43 \end{array}$

Um die gleichung zu Erfüllen, darf das Intervall nicht verkleinert werden. Es gilt somit:

$\begin{array}[t]{rll} P(8\leq X\leq 24)&\geq& 0,95 &\\[5pt] \end{array}$

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Du sollst die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass das Gemisch der Milch von $20$ Kühen den Inhaltstoff enthält, wenn weiterhin $10\%$ der Kühe verunreinigte Milch liefern. betrachte hierzu die Wahrscheinlichkeit, dass keine einzige Kuh die Milch verunreinigt.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Milch verunreinigt ist, ist $P(X\geq 1)$ . Mit dem Gegenereignis berechnest du diese Wahrscheinlichkeit mit:

$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq 1)&=& 1-P(X=0) &\\[5pt] &=& 1- \binom{20}{0}\cdot 0,1^0\cdot 0,9^{20} \\[5pt] &=& 1-0,9^{20} \\[5pt] &\approx & 0,8784 \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $87,84\%$ ist die Milch verunreinigt.

$\blacktriangleright$ Anzahl der Untersuchungen berechnen

In $87,84\%$ der Fälle müssen somit $20$ weitere Untersuchungen durchgeführt werden. Betrachte nun eine Zufallsvariable $Y_{20}$ , welche die Anzahl der Untersuchungen bei diesem Verfahren mit $20$ Kühen angibt.

Für die durchschnittliche Anzahl an Untersuchungen berechnest du den Erwartungswert $E(Y_{20})$ , beachte hierbei, dass für den Fall, dass das Milchgemisch verunreinigt war $20$ weitere und somit $21$ Untersuchungen durch zuführen sind:

$E(Y_{20})=18,57$

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Es ist im Schnitt mit $18,57$ Untersuchungen zu rechnen.

$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{E(Y_n)}$ untersuchen

Du sollst die Grenze bestimmen, bis wann es günstiger ist mit dieser Untersuchung die Milch der Kühe zu analysieren und ab wann es besser ist bereits von Beginn jede Kuh einzeln zu untersuchen.

Betrachte hierzu den Erwartungswert $Y_n$ und vergleiche diesen mit den $n$ Messungen, wenn jede Kuh einzeln analysiert werden würde:

$n\cdot 0,9^n -1 \geq 0$

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Dies ist eine Funktion $f(n)=n\cdot 0,9^n -1$ . Mit dem GTR untersuchst du diese Funktion auf Nullstellen im 1. Quadranten. Du erhälst eine Nullstelle bei $n=33,26$ .

Für bis zu $33$ Kühe ist es besser die Mischmethode zur Analyse zu verwenden.