Aufgabe 3B

Die Abbildung zeigt ein Gebäude des Flughafens von Palma de Mallorca.
Im eingezeichneten kartesischen Koordinatensystem kann die $140$ Meter lange Dachkonstruktion modellhaft durch einen halben Zylinder und drei Prismen zusammengesetzt werden. Die dreieckigen Grundflächen dieser Prismen sind kongruent.

Abb. Zahl:

Der Boden des Gebäudes sowie die Startbahnen des Flughafens liegen im Modell in der $xy$ -Ebene.
Die Seitenkanten der Prismen verlaufen parallel zur $y$ -Achse. Die Punkt $A(7 \mid 0 \mid 4), B(0\mid 0 \mid 4)$ und $C(3,5 \mid 0 \mid 7,5)$ sind Eckpunkte eines der Prismen. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Weise nach, dass das Dreieck $ABC$ gleichschenklig und im Punkt $C$ rechtwinklig ist.

(3 BE)

Der Abbildung liegt ein Foto zugrunde. Die Position der Kamera, mit der dieses Foto aufgenommen wurde, wird durch den Punkt $K(30 \mid 20 \mid 1,5)$ dargestellt. Die weiße Dachfläche, die mit dem Schriftzug "Aeropuerto de Palma de Mallorca" versehen ist, liegt im Modell in der Ebene $E$ .

Ermittle eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.
(Ein mögliches Ergebnis ist $E:x+z=11$ .)

Eine Sichtlinie verläuft von der Kamera geradlinig zum Mittelpunkt der weißen Dachfläche.
Berechne die Größe des Winkels, den diese Sichtlinie mit der Dachfläche einschließt.

(7 BE)

Hinter dem Gebäude startet ein Flugzeug. Erst ab einer bestimmten Höhe $h$ über der Startbahn ist die Flugzeugspitze von der Position der Kamera aus oberhalb des Gebäudes sichtbar.

Fertige eine beschriftete Skizze an, die die Gültigkeit folgender Aussage verdeutlicht:

Diejenigen Punkte der Dachkonstruktion, die am höchsten über dem Boden des Gebäudes liegen, spielen für die Ermittlung der Höhe $h$ keine Rolle.

Die Spitze des startenden Flugzeugs bewegt sich im Modell entlang der Geraden mit der Gleichung

$\overrightarrow{x}=\pmatrix{-60\\-990\\0}+s\cdot\pmatrix{-20\\0\\7},$ $s\in\mathbb{R}$ .

Ermittle die Entfernung der Flugzeugspitze von der Kamera zum Zeitpunkt, zu dem sich die Spitze in der Höhe von $450 \, \text m$ befindet.

(7 BE)

$\blacktriangleright$ Gleichschenkligkeit nachweisen

Da das Dreieck $ABC$ im Punkt $C$ rechtwinklig sein soll, müssen die beiden Schenkel des Dreiecks die Seiten $\overline{AC}$ und $\overline{BC}$ sein. die Längen dieser beiden Seiten kannst du über die Vektorbeträge der zugehörigen Vektoren berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AC} &=\sqrt{24,5} \\[10pt] \overline{BC} &= \sqrt{24,5} \\[10pt] \end{array}$

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Beide Seiten $\overline{AC}$ und $\overline{BC}$ sind also gleich lang. Das Dreieck $ABC$ ist damit gleichschenklig.

$\blacktriangleright$ Rechtwinkligkeit nachweisen

Das Dreieck $ABC$ besitzt bei $C$ einen rechten Winkel, wenn die Seiten $\overline{AC}$ und $\overline{BC}$ orthogonal zueinander sind. Dies ist der Fall, wenn dies auf die zugehörigen Vektoren zutrifft. Das kannst du wiederum mithilfe ihres Skalarprodukts überprüfen:

$\overrightarrow{AC}\circ \overrightarrow{BC} = 0$

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Das Dreieck $ABC$ ist im Punkt $C$ also rechtwinklig.

$\blacktriangleright$ Gleichung in Koordinatenform ermitteln

Bezeichne die anderen beiden Eckpunkte der Seitenfläche mit $D$ und $E.$
Da die Seitenkanten der Prismen parallel zur $y$ -Achse verlaufen, ergeben sich die Koordinaten von $D$ und $E$ aus den Koordinaten von $A$ und $C$ durch eine Verschiebung in $y$ -Richtung um $140,0$ Einheiten:

$D(7\mid -140,0 \mid 4)$ und $E(3,5\mid -140,0 \mid 7,5)$

Mithilfe des Kreuzprodukts kannst du nun einen Normalenvektor von $E$ berechnen:

$\overrightarrow{n} = 490,0\cdot\pmatrix{1\\0\\1}$

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Es kann nun entweder der ursprüngliche oder der gekürzte Vektor verwendet werden. Mithilfe einer Punktprobe mit den Koordinaten von $E$ erhält man nun:

$d=11$

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Eine Gleichung der Ebene $E$ in Koordinatenform lautet:

$E:\, x+z = 11$

$\blacktriangleright$ Winkelgröße berechnen

1. Schritt: Koordinaten des Mittelpunkts bestimmen

Da das Prisma gerade ist, handelt es sich bei $ACED$ um ein Rechteck. Der Mittelpunkt dieses Rechtecks ist daher der Mittelpunkt der Diagonale $\overline{AE}.$ Seine Koordinaten können mithilfe der zugehörigen Formel bestimmt werden:

$\overrightarrow{OM} = \pmatrix{5,25 \\ -70,0 \\ 5,75}$

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2. Schritt: Geradengleichung aufstellen

Die Sichtlinie liegt auf der Geraden $s$ durch die beiden Punkte $M$ und $K.$ Diese Gerade kann mit folgender Gleichung beschrieben werden:

$s: ...$

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3. Schritt: Größe des Schnittwinkels berechnen

Der gesuchte Winkel entspricht dem Schnittwinkel $\alpha$ der Geraden $s$ und der Ebene $\epsilon.$ Mithilfe der zugehörigen Formel erhältst du:

$\alpha \approx 8,9^{\circ}$

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Die Sichtlinie schließt mit der Dachfläche $ACED$ einen Winkel mit einer Größe von ca. $8,9^{\circ}$ ein.

$\blacktriangleright$ Skizze anfertigen

Die Sichtlinie der Kamera in dem Moment, in dem sie die Flugzeugspitze erfassen kann, verläuft entlang einer Geraden, die in der Skizze unten eingezeichnet ist. Diese Gerade berührt die Dachkonstruktion in einem Punkt wie eine Tangente, da die Kamera ja nicht durch die Dachkonstruktion hindurch schauen kann.
Um die halbzylinderförmige Dachkonstruktion, die im Querschnitt ebenfalls in der Skizze dargestellt ist, in ihrem höchsten Punkt $H$ zu berühren, müsste die Gerade waagerecht verlaufen. Da die Position der Kamera aber die $z$ -Koordinate $1,5$ besitzt, liegt sie deutlich unter der höchsten Stelle des Dachs, wodurch diese Gerade nicht waagerecht verlaufen kann.
Der Punkt, in dem die Sichtlinie die Dachkonstruktion tangiert, ist also keiner der Punkte, die am hächsten über dem Boden des Gebäudes liegen, sondern ein anderer Punkt der Dachkonstruktion. Daher spielt die Höhe der höchsten Punkte keine Rolle bei der Ermittlung der gesuchten Höhe.

Abb. 1: Skizze

$\blacktriangleright$ Entfernung der Spitze zur Kamera ermitteln

Wenn sich die Spitze in einer Höhe von $450\,\text{m}$ befindet, beträgt die $z$ -Koordinate der Position der Flugzeugspitze $450.$ Für die $z$ -Koordinate der Flugzeugspitze gilt laut Geradengleichung:

$z = 7s$

Gleichsetzen liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 450 &=& 7s &\quad \scriptsize \mid\; :7 \\[5pt] \frac{450}{7} &=& s \end{array}$

Einsetzen in die Geradengleichung liefert:

$\overrightarrow{OS} = \pmatrix{-\frac{9420}{7} \\ -990 \\ 450}$

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Die gesuchte Entfernung ergibt sich nun zu:

$\overline{SK} \approx 1764,6$

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Zu dem Zeitpunkt, zu dem sich die Flugzeugspitze in einer Höhe von $450\,\text{m}$ befindet, beträgt ihre Entfernung zur Kamera ca. $1764,6\,\text{m}.$