Aufgabe 2B

Vor einer Wahl führen die drei Parteien $A$ , $B$ und $C$ verschiedene Umfragen unter Wahlberechtigten durch.

a) Partei $A$ führt eine Umfrage unter $400$ Personen durch. Die Zufallsgröße $X$ , die die Anzahl der Personen beschreibt, die Partei $A$ wählen wollen, soll als binomialverteilt angenommen werden.

Es wird angenommen, dass der Wähleranteil für Partei $A$ $18\,\%$ beträgt.

Bestimme

die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in der Umfrage mindestens $65$ Personen Partei $A$ wählen wollen.

das kleinste um den Erwartungswert von $X$ symmetrische Intervall, in dem das Ergebnis dieser Umfrage mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ liegt.

(8P)

b) Es wird eine Umfrage unter $1.000$ Wahlberechtigten durchgeführt. $34\,\%$ der Personen geben an, Partei $B$ wählen zu wollen, $12\,\%$ der Personen geben an, Partei $C$ wählen zu wollen. Es wird behauptet, dass die beiden Parteien $B$ und $C$ zusammen mindestens $50\,\%$ der Stimmen erreichen.

Untersuche mithilfe eines Vertrauensintervalls zur Sicherheitswahrscheinlichkeit von $95\,\%$ , ob diese Behauptung mit dem Ergebnis der Umfrage verträglich ist.

(5P)

c) Es werden $50$ gleich große Stichproben simuliert. Für diese werden jeweils die zugehörigen Vertrauensintervalle für die beiden Sicherheitswahrscheinlichkeiten $70\,\%$ und $99\,\%$ berechnet.

Die Abbildungen 1 und 2 zeigen jeweils die $50$ berechneten Vertrauensintervalle als Strecken übereinander.

Gib eine Interpretation der Sicherheitswahrscheinlichkeit $70\,\%$ im Hinblick auf den unbekannten Anteil $p$ der Grundgesamtheit an.

Entscheide, welche der beiden Abbildungen zur Sicherheitswahrscheinlichkeit $70\,\%$ und welche zur Sicherheitswahrscheinlichkeit $99\,\%$ gehört.

(4P)

Diagramm mit horizontalen Linien in Schwarz, das eine Verteilung oder Datenpunkte darstellt.

Abbildung 1:

$50$ Vertrauensintervalle

Grafik mit horizontalen Linien in einem Diagramm, das Werte zwischen 0.2 und 0.6 darstellt.

Abbildung 2:

$50$ Vertrauensintervalle

a) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Eine Partei $A$ führt eine Umfrage mit $400$ Personen durch. Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt und beschreibt die Anzahl der Personen, die die Partei $A$ wählen. Da davon ausgegangen wird, dass $18\,\%$ der Personen die Partei wählen, beträgt die Erfolgswahrscheinlichkeit $p=0,18$ .

Du sollst nun die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass mindestens $65$ Personen die Partei $A$ wählen. Gesucht ist also $P(X\geq65)$ . Dies kannst du über die Gegenwahrscheinlichkeit $P(X\geq65)=1-P(X\leq64)$ berechnen.

Das kannst du mit folgendem Befehl mit dem GTR berechnen:

2nd VARS (DISTR) B: Binomcdf

Anzeige einer Berechnung mit der Funktion

Anzeige eines Berechnungsergebnisses auf einem Taschenrechner mit binomialer kumulativer Verteilungsfunktion.

Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens $65$ Personen die Partei wählen wollen, beträgt etwa $83,5\,\%$ .

$\blacktriangleright$ Intervall angeben

Nun sollst du das kleinste um den Erwartungswert von $X$ symmetrische Intervall angeben, in dem das Ergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ liegt.

Dafür benötigst du die $\boldsymbol{\color{#87c800}{\sigma}}$ -Regel. Diese lautet:

$\begin{array}[t]{rll} P(\mu-1,96\sigma\leq X\leq\mu+1,96\sigma)&=&0,95 \end{array}$

Erwartungswert $\mu=n\cdot p$

Standardabweichung $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot q}$

Anzahl der Versuche $n$

Erfolgswahrscheinlichkeit $p$

Gegenwahrscheinlichleit $q=1-p$

Demnach liegt die Wahrscheinlichkeit für eine gewisse Zufallsgröße bei $95\,\%$ .

Berechne nun den Erwartungswert und die Standardabweichung. Setze dann die Werte in die Formel der $\sigma$ -Regel ein, um das kleinste symmetrische Intervall zu berechnen. Das Ergebnis kannst du mit dem GTR überprüfen.

Erwartungswert:

$\begin{array}[t]{rll} \mu&=&n\cdot p \\[5pt] &=&400\cdot 0.18\\[5pt] &=&72 \end{array}$

Standardabweichung:

$\begin{array}[t]{rll} \sigma&=&\sqrt{n\cdot p\cdot q} \\[5pt] &=&\sqrt{400\cdot 0,18\cdot (1-0,18)}\\[5pt] &=&7,68 \end{array}$

Setze nun die Werte in die Formel ein.

$\begin{array}[t]{rll} P(\mu-1,96\sigma\leq X\leq\mu+1,96\sigma)&=&0,95 \\[5pt] P(72-1,96\cdot7,68\leq X\leq72+1,96\cdot7,68)&=&0,95\\[5pt] P(57\leq X\leq87)&=&0,95 \end{array}$

Mit dem GTR kannst du dies überprüfen und schauen, ob es noch ein kleineres Intervall gibt.

Der GTR bestätigt das Ergebnis. Bei einem kleineren Intervall liegt die Wahrscheinlichkeit unter $95\,\%$ .

Das kleinste um den Erwartungswert symmetrische Intervall, in dem das Ergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ liegt, lautet $[57;87]$ .

b) $\blacktriangleright$ Behauptung untersuchen

Für ein Vertrauensintervall mit Sicherheitszuschlag von $95\,\%$ gilt folgendes:

$\begin{array}[t]{rlll} p-1,96\cdot\sqrt{\dfrac{p\cdot(1-p)}{n}}&\leq&h&\leq&p+1,96\cdot\sqrt{\dfrac{p\cdot(1-p)}{n}} \end{array}$

Das $h$ entspricht der Wahrscheinlichkeit die die Parteien $B$ und $C$ zusammen erreichen, also $h=0,34+0,12=0,46$ . Das $p$ müsste einen Wert von $0,5$ haben, damit beide Parteien $50\,\%$ der Stimmen erreichen und die Behauptung richtig ist.

Um die Grenzen des Intervalls zu berechnen, löst du folgende Gleichungen mit dem GTR nach $p$ auf. Die Anzahl $n$ der Wahlberechtigten beträt $1000$ .

$\begin{array}[t]{rll} h&\geq&p\pm1,96\cdot\sqrt{\dfrac{p\cdot(1-p)}{n}} \\[5pt] 0,46&=&p\pm1,96\cdot\sqrt{\dfrac{p\cdot(1-p)}{1000}} \end{array}$

Mathematische Gleichung auf einem Taschenrechner-Display mit Lösung und Variablen.

Mathematische Berechnung auf einem Taschenrechner mit Gleichung und Lösung.

Das Intervall lautet $[0,429;0,491]$ . Da die rechte Intervallgrenze kleiner als $0,5$ ist, erreichen die Parteien $B$ und $C$ zusammen nicht $50\,\%$ der Stimmen. Die Behauptung ist also falsch.

c) $\blacktriangleright$ Sicherheitswahrscheinlichkeit von $\boldsymbol{70\,\%}$ interpretieren

Nun sollst du eine Interpretation der Sicherheitswahrscheinlichkeit von $70\,\%$ im Hinblick auf den unbekannten Anteil $p$ der Grundgesamtheit angeben. Ein Vertrauensintervall der Sicherheitswahrscheinlichkeit von $70\,\%$ enthält in $70\,\%$ der Fälle den gesuchten Wert.

Hier lässt sich sagen, dass in $70\,\%$ der Fälle der unbekannte Anteil $p$ im Vertrauensintervall liegt. Bei einer Anzahl von $50$ Stichproben, erwarten wir also, dass $p$ in $50\cdot0,7=35$ Fällen im Intervall ist.

$\blacktriangleright$ Abbildungen zuordnen

Du hast zwei Abbildungen gegeben, in denen jeweils die Vertrauensintervalle abgebildet sind. Diese Abbildungen sollst du nun den Sicherheitswahrscheinlichkeiten von $70\,\%$ und $99\,\%$ zuordnen.

Je höher die Sicherheitswahrscheinlichkeit eines Vertrauensintervalls ist, desto größer ist das zugehörige Vertrauensintervall. Somit ist das Vertrauensintervall der Sicherheitswahrscheinlichkeit von $99\,\%$ größer als das Vertrauensintervall mit $70\,\%$ Sicherheitswahrscheinlichkeit.

Bei Abbildung 1 erkennst du, dass die Vertrauensintervalle deutlich größer sind, als bei Abbildung 2. Somit gehört Abbildung 1 zu der Sicherheitswahrscheinlichkeit von $99\,\%$ und Abbildung 2 zu der mit $70\,\%$ .