Aufgabe 2A

Bei einem 10 km-Lauf in Hannover wurden für $1879$ Teilnehmende die Zeiten in Minuten $(\text{min})$ gemessen. Die Tabelle in der Anlage stellt eine zugehörige Häufigkeitsverteilung der Zeiten in Klassen dar.

Gib mithilfe der Tabelle den Anteil der Teilnehmenden an, deren Zeit einer der Klassen $\text{V},$ $\text{VI}$ oder $\text{VII}$ angehört.
Gib einen möglichen Zeitbereich an, in dem $51\,\%$ aller gemessenen Zeiten liegen.
Berechne den arithmetischen Mittelwert der in Klassen zusammengefassten Zeiten.

(6 BE)

Die relativen Häufigkeiten der Tabelle werden im Folgenden als Wahrscheinlichkeiten verwendet. Es werden $32$ Teilnehmende zufällig ausgewählt und für jede dieser Personen überprüft, ob die Zeit, die sie für die Strecke benötigt hat, weniger als $51,5$ Minuten beträgt.
Begründe, dass man diese Auswahl und Überprüfung als binomialverteilten Zufallsversuch mit $n = 32$ und $p = 0,25$ auffassen kann.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter $32$ zufällig ausgewählten Teilnehmenden mindestens $6$ und höchstens $10$ Personen weniger als $51,5$ Minuten für die Strecke benötigt haben.

(6 BE)

Unabhängig vom Sachzusammenhang werden binomialverteilte Zufallsgrößen $X$ mit jeweils identischer Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ und unterschiedlicher Stichprobengröße $n$ betrachtet. Für jedes $n \geq 5$ gibt es eine Wahrscheinlichkeit $P(X \geq 5).$ Diese Wahrscheinlichkeiten sind in der Abbildung der Anlage grafisch dargestellt.
Begründe, dass der Graph der Wahrscheinlichkeiten für $n\to \infty$ die $n$ -Achse als Asymptote hat.
Für $n = 21$ nimmt $P(X = 5)$ seinen größten Wert an.
Bestimme diese Wahrscheinlichkeit.

(5 BE)

Material

Tabelle zu den Teilaufgaben a) und b)

Tabelle anzeigen

Klasse	Bereich der gemessenen Zeit in Minuten	Häufigkeit in Prozent	Klassenmitte in Minuten
$\text{I}$	ab $18,5$ und weniger als $32,0$	$0$	$25,25$
$\text{II}$	ab $32,0$ und weniger als $45,0$	$8$	$38,5$
$\text{III}$	ab $45,0$ und weniger als $51,5$	$17$	$48,25$
$\text{IV}$	ab $51,5$ und weniger als $57,5$	$26$	$54,5$
$\text{V}$	ab $57,5$ und weniger als $63,5$	$26$	$60,5$
$\text{VI}$	ab $63,5$ und weniger als $70$	$14$	$66,75$
$\text{VII}$	ab $70$ und weniger als $83,0$	$8$	$76,5$
$\text{VIII}$	ab $83,0$ und weniger als $96,5$	$1$	$89,75$

Graph zu Teilaufgabe c)

Abb. 1: Wahrscheinlichkeit $P(X=5)$ in Abhängigkeit von der Stichprobengröße $n$

Bildnachweise [nach oben]

[1]

$\blacktriangleright$ Anteil der Teilnehmenden angeben

$26\,\% + 14\,\% +8\,\% = 48\,\%$

Die Zeit von $48\,\%$ der Teilnehmenden liegt in einer der Klassen $\text{V},$ $\text{VI}$ oder $\text{VII}.$

$\blacktriangleright$ Zeitbereich angeben

Wähle Zeitbereiche aus der Tabelle so, dass die Summe der zugehörigen Häufigkeiten $51$ ergibt.
Im Bereich ab $32,0\,\text{min}$ und weniger als $57,5\,\text{min}$ liegen $51\,\%$ der gemessenen Zeiten.

$\blacktriangleright$ Arithmetischen Mittelwert berechnen

Verwende aus der Tabelle die Häufigkeiten in Prozent und die Klassenmitten in Minuten:

$...\approx 57,545$

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$\approx 57,545$

Der arithmetische Mittelwert der in Klassen zusammengefassten Zeiten beträgt ungefähr $57,5\,\text{min}.$

$\blacktriangleright$ Binomialverteilung begründen

Die benötigte Zeit wird nur dahingehend überprüft, ob sie unter $51,5$ Minuten liegt. Es gibt also bei jedem Teilnehmer, dessen Zeit überprüft wird nur zwei mögliche Ausgänge. Aus der Tabelle kann man entnehmen, dass $25\,\%$ aller Teilnehmenden eine Zeit unter $52,5$ Minuten benötigt haben. Ein zufällig ausgewählter Teilnehmende benötigt also mit einer Wahrscheinlichkeit von $p=0,25$ weniger als $52,5$ Minuten.
Auch wenn es sich streng genommen bei der Überprüfung von $32$ Teilnehmenden um Ziehen ohne Zurücklegen handelt, kann man doch bei der großen Grundgesamtheit von $1879$ Teilnehmenden von einer Bernoullikette der Länge $32$ und damit von einem binomialverteilten Zufallsversuch mit $n=32$ und $p=0,25$ sprechen.

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Betrachte die Zufallsgröße $X,$ die die Anzahl der Teilnehmenden mit einer Zeit unter $51,5$ Minuten unter den $32$ zufällig überprüften Teilnehmenden beschreibt. Diese kann wegen obiger Begründung als binomialverteilt mit $n=32$ und $p=0,25$ angenommen werden. Die Wahrscheinlichkeit kannst du daher mithilfe deines GTRs berechnen.

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ vars (distr) $\to$ B: binomcdf

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

Statistik: F5: DIST $\to$ F5: BINOM $\to$ F2: Bcd

$P(6\leq X \leq 10)\approx 0,693$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $69,3\,\%$ befinden sich unter den $32$ zufällig ausgewählten Teilnehmenden mindestens $6$ und höchstens $10$ Personen mit einer Zeit von weniger als $51,5$ Minuten.

$\blacktriangleright$ Asymptote begründen

Für größer werdende Werte von $n$ werden die zugehörigen Graphen immer breiter. Die Gesamtwahrscheinlichkeit $P(X_n\leq n)$ muss aber immernoch $100\,\%$ betragen. Daher wird der Graph flacher und die Einzelwahrscheinlichkeiten $P(X_n=k)$ kleiner. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $x$ den Wert $5$ annimmt, wird daher ebenfalls immer kleiner und nähert sich immer weiter dem Wert $0$ an.
Es gilt also $P(X=5)\to 0$ für $n\to \infty.$ Der Graph der Wahrscheinlichkeit $P(X=5)$ hat also für $n\to \infty$ die $n$ -Achse als Asymptote.

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen

Bekannt ist der Parameter $n=21$ der binomialverteilten Zufallsgröße $X.$ Außerdem weißt du, dass die größte Wahrscheinlichkeit bei einer binomialverteilten Zufallsgröße immer ein Wert in der Nähe des Erwartungswerts besitzt. Der Erwartungswert von $X$ ist also in etwa $5.$ Mit der Formel für den Erwartungswert $\mu$ einer binomialverteilten Zufallsgröße kannst du nun die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \mu &=& n\cdot p &\quad \scriptsize \mid\; \mu = 5, n=21 \\[5pt] 5&\approx& 21\cdot p &\quad \scriptsize \mid\;:21 \\[5pt] \frac{5}{21}&\approx & p \end{array}$

Mit diesen Werten kannst du nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(X=5)$ berechnen. Dazu kannst du entweder die Formel für die Binomialverteilung oder deinen GTR verwenden.

$P(X=5)\approx 0,201$

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