Aufgabe 2B

Eine Süßwarenfabrik stellt Pralinen her.

Die Tabelle zeigt Daten von Maschine $A$ und Maschine $B$ :

Pralinenmasse in Gramm	Maschine A: Absolute Häufigkeit	Maschine B: Absolute Häufigkeit
$8,3$	$1$	$1$
$8,4$	$3$	$1$
$8,5$	$6$	$6$
$8,6$	$11$	$13$
$8,7$	$16$	$16$
$8,8$	$13$	$15$
$8,9$	$7$	$7$
$9,0$	$2$	$0$
$9,1$	$1$	$1$

Gib für Maschine $A$ das arithmetische Mittel und die Standardabweichung der Pralinenmasse an.
Begründe ohne Berechnung des arithmetischen Mittels für Maschine $B$ , dass die arithmetischen Mittel für Maschine $A$ und $B$ gleich sind.

(4 BE)

Beschädigte Pralinen werden als Pralinen $2.$ Wahl angeboten. Ihr Anteil beträgt bei Maschine $A$ $18\,\%$ . Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von $150$ hergestellten Pralinen höchstens $20$ Pralinen $2.$ Wahl sind.
Berechne die Anzahl der Pralinen, die mindestens entnommen werden müssen, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine Praline $2$ . Wahl zu erhalten, größer ist als die Wahrscheinlichkeit, keine Praline $2$ . Wahl zu erhalten.

Für Maschine $B$ nimmt der Hersteller an, dass der Anteil, mit dem Pralinen $2$ . Wahl hergestellt werden, nur bei $11\,\%$ liegt. Eine Stichprobe hat ergeben, dass $42$ von $300$ Pralinen $2$ . Wahl sind. Untersuche mithilfe eines Vertrauensintervalls zur Sicherheitswahrscheinlichkeit von $95\,\%$ , ob die Annahme des Herstellers auf der Basis dieser Stichprobe angezweifelt werden sollte.

(13 BE)

Arithmetisches Mittel der Pralinenmasse für die Maschine $A$ :

Mittelwert: $\overline{x}=\dfrac{\text{Summe der Werte}}{\text{Anzahl der Werte}}$

$\overline{x}\approx 8,70$

Vollständige Lösung anzeigen

Das arithmetische Mittel der Pralinenmasse für die Maschine $A$ beträgt $\overline{x}\approx8,70$ .

Standardabweichung der Pralinenmasse für die Maschine $A$ :

$\sigma(X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2\cdot P(x_i)}$

$V(X)=0,0255$

Vollständige Lösung anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} \sigma(X)&=&\sqrt{0,0255} &\quad \\[5pt] &\approx&0,16 &\quad \\[5pt] \end{array}$

Die Standardabweichung der Pralinenmasse für die Maschine $A$ beträgt $\sigma(X)\approx0,16$ .

Arithmetisches Mittel der Pralinenmasse für die Maschine $B$ :

Die Gesamtzahl der Pralinen von Maschine $A$ und Maschine $B$ sind beide gleich.
Im Vergleich zu Maschine $A$ gibt es bei Maschine $B$ jeweils zwei Pralinen, die um $0,2\,\text{g}$ schwerer bzw. $0,2\,\text{g}$ leichter sind.

Daraus folgt, dass die arithmetischen Mittel für Maschine $A$ und $B$ gleich sind.

$X$ : Anzahl der Pralinen zweiter Wahl bei Maschine $A$
$p=0,18$
$n=150$
$X$ ist binomialverteilt mit $B_{150; 0,18}$ .

$P(X\leq 20)$ :

Die Wahrscheinlichkeit wird mit Hilfe eines GTRs berechnet.

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ vars (distr) $\to$ B: binomcdf

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

Statistik: F5: DIST $\to$ F5: BINOM $\to$ F2: Bcd

$P(X\leq 20)\approx 0,08= 8\,\%$

Die Wahrscheinlichkeit, dass von $150$ hergestellten Pralinen höchstens $20$ Pralinen $2.$ Wahl sind, beträgt ca. $8\,\%$ .

Berechne nun die Anzahl $n$ , sodass $P(X\geq1)\gt P(X=0)$ gilt.
$X$ ist binomialverteilt mit $B_{n; 0,18}$ .

$P(X\geq1)\gt P(X=0)$ :

$n \geq 4$

Vollständige Lösung anzeigen

Es müssen mindestens $4$ Pralinen entnommen werden, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine Praline $2.$ Wahl zu erhalten, größer ist als die Wahrscheinlichkeit, keine Praline $2.$ Wahl zu erhalten.

Annahme des Herstellers überprüfen:

Für den unbekannten Anteil $p$ der Pralinen $2.$ Wahl ergibt sich aus

$\,\bigg \vert \, \dfrac{42}{300}-p \,\bigg \vert \, \leq1,96 \cdot \sqrt{\dfrac{p\cdot (1-p)}{300}}$

das Vertrauensintervall $[0,105\, ; \, 0,183]$ .

Da das $95\,\%$ -Vertrauensintervall die $11\,\%$ überdeckt, sollte die Annahme des Herstellers nicht angezweifelt werden.