Aufgabe 1B

Die Entwicklung einer Bakterienart soll mit verschiedenen Modellen untersucht werden. Dabei beschreibt jeweils $t$ die Zeit in Stunden $(\text{h})$ nach Beobachtungsbeginn und die Funktion die Bakterienanzahl in Mengeneinheiten $(\text{ME}).$
In einem ersten Modell beschreibt die Funktion $f$ mit $f(t)= 10\cdot \mathrm e^{0,1\cdot t,}$ $t\in \mathbb{R},$ $t\geq 0,$ die Bakterienanzahl.

Berechne

die Bakterienanzahl zu Beginn und nach $10$ Stunden,
den Zeitpunkt, zu dem die Bakterienanzahl auf $100\,\text{ME}$ angewachsen ist,
auf Stunden genau den frühesten Zeitpunkt, zu dem die momentane Wachstumsgeschwindigkeit größer als $20\,\frac{\text{ME}}{\text{h}}$ ist.

Gegeben ist die Gleichung $\frac{f(11)-f(t)}{11-t} = f‘(10).$
Erläutere die Bedeutung der Lösung für $t$ mit $t \lt 11$ im Sachzusammenhang.

(14 BE)

In einem zweiten Modell wird davon ausgegangen, dass sich innerhalb der Population einige Bakterien vermehren und andere sterben. Die Bakterienanzahl wird dann mit einer Funktion $d$ mit $d(t) = 10\cdot \mathrm e^{(g-0,2)\cdot t},$ $t\in \mathbb{R},$ $t\geq 0,$ beschrieben. Der Parameter $g$ wird als Geburtenrate mit $0\lt g \leq 1$ gedeutet. $0,2$ ist eine konstante Sterberate.

Die Abbildung 1 der Anlage zeigt Graphen für die Fälle, dass die Geburtenrate einmal größer und einmal kleiner als die Sterberate $0,2$ ist.
Entscheide, welcher Graph zu welchem Fall gehört.
Die Geburtenrate sei $g=0,4.$
Zeige, dass die Bakterienanzahl, die zu Beginn vorhanden ist, nach $5\cdot \ln(10)$ Stunden auf den zehnfachen Wert angestiegen ist.
Der Wert für die Geburtenrate soll nun verändert werden.
Berechne einen Wert für $g$ so, dass sich die Bakterienanzahl zu Beginn nach $10\cdot \ln(10)$ Stunden verzehnfacht.

(8 BE)

Unabhängig vom Sachzusammenhang wird die Funktion $h$ mit $h(x)=\mathrm e^{-x^2+2\cdot x},$ $x\in \mathbb{R},$ betrachtet.
Ohne Nachweis kannst du verwenden: $h‘(x)= (2-2\cdot x)\cdot \mathrm e^{-x^2+2\cdot x},$ $x\in \mathbb{R}.$
Der Graph von $h$ ist in der Abbildung 2 des Materials dargestellt.
Begründe, mithilfe des Exponenten des Funktionsterms von $h$ die Symmetrie des Graphen von $h.$
Für $u\lt 1$ legen die Punkte $P_u(u\mid 0),$ $Q_u(u\mid h(u)),$ $R_u(2-u\mid h(u))$ und $S_u(2-u\mid 0)$ jeweils ein Rechteck fest.
Zeige, dass für den Flächeninhalt des Rechtecks gilt: $A(u) = (2-2\cdot u)\cdot \mathrm e^{-u^2+2\cdot u}.$
Begründe ohne weitere Rechnung, dass das Rechteck mit maximalem Flächeninhalt einen Eckpunkt besitzt, der einer der Wendepunkte des Graphen von $h$ ist.

(12 BE)

Material

Graphen zu Teilaufgabe b)

Abb. 1: $\text{I}$

Abb. 2: $\text{II}$

Graph zu Teilaufgabe c)

Abb. 3: Graph von $h$

Bildnachweise [nach oben]

[1]-[3]

$\blacktriangleright$ Bakterienanzahl berechnen

$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=& 10\cdot \mathrm e^{0,1\cdot 0} \\[5pt] &=& 10 \\[10pt] f(10)&=& 10\cdot \mathrm e^{0,1\cdot 10} \\[5pt] &\approx& 27,18 \end{array}$

Zu Beginn der Beobachtung beträgt die Bakterienanzahl $10\,\text{ME},$ nach $10$ Stunden ca. $27,18\,\text{ME}.$

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt berechnen

$\begin{array}[t]{rll} f(t) &=& 100 \\[5pt] 10\cdot \mathrm e^{0,1\cdot t}&=& 100 &\quad \scriptsize \mid\; :10 \\[5pt] \mathrm e^{0,1\cdot t}&=& 10 &\quad \scriptsize \mid\; \ln \\[5pt] 0,1\cdot t &=& \ln 10 &\quad \scriptsize \mid\;:0,1 \\[5pt] t&\approx& 23,03 \end{array}$

Nach ca. $23$ Stunden ist die Bakterienanzahl auf $100\,\text{ME}$ gewachsen.

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt mit gegebener Wachstumsgeschwindigkeit bestimmen

Die momentane Wachstumsgeschwindigkeit in $\frac{\text{ME}}{\text{h}}$ wird durch die erste Ableitungsfunktion $f‘$ beschrieben:

$f‘(t)= 10\cdot 0,1\cdot \mathrm e^{0,1\cdot t} = \mathrm e^{0,1\cdot t}$

Gleichsetzen liefert:

$\begin{array}[t]{rll} f‘(t) &=& 20 \\[5pt] \mathrm e^{0,1\cdot t} &=& 20 &\quad \scriptsize \mid\; \ln\\[5pt] 0,1\cdot t&=& \ln 20 &\quad \scriptsize \mid\; :0,1 \\[5pt] t &\approx& 29,96 \end{array}$

Die Funktion $f$ ist streng monoton wachsend. Frühestens nach $30$ Stunden ist die Wachstumsgeschwindigkeit größer als $20\,\frac{\text{ME}}{\text{h}}.$

$\blacktriangleright$ Bedeutung der Lösung im Sachzusammenhang erläutern

Der Differenzenquotient $\dfrac{f(11)-f(t)}{11-t}$ gibt die durchschnittliche Steigung des Graphen von $f$ im Intervall $[t;11]$ an. Dies entspricht im Sachzusammenhang der durchschnittlichen Wachstumsgeschwindigkeit der Bakterienanzahl von Zeitpunkt $t$ Stunden nach Beobachtungsbeginn bis $11$ Stunden nach Beobachtungsbeginn.
$f‘(10)$ beschreibt die Steigung des Graphen von $f$ zum Zeitpunkt $10$ Stunden nach Beobachtungsbeginn.

Mit der Gleichung wird also ein Zeitpunkt $t\lt 11$ so berechnet, dass im Intervall $[t;11]$ die durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit mit der momentanen Wachstumsgeschwindigkeit nach $10$ Stunden übereinstimmt.

$\blacktriangleright$ Graphen zuordnen

Wenn mehr Bakterien hinzukommen als sterben, wächst die Bakterianzahl und umgekehrt.
Der steigende Graph $\text{II}$ gehört also zu dem Fall, bei dem die Geburtenrate größer ist als die Sterberate. Graph $\text{I}$ gehört also zu dem Fall, in dem die Sterberate größer ist als die Geburtenrate.

$\blacktriangleright$ Anstieg zeigen

Für die Geburtenrate $g=0,4$ gilt:

$d(t)= 10\cdot \mathrm e^{(0,4-0,2)\cdot t} = 10\cdot \mathrm e^{0,2\cdot t}$

$\begin{array}[t]{rll} d(0) &=& 10 \\[10pt] d(5\cdot \ln(10))&=& 100 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Zu Beginn der Beobachtung sind $10\,\text{ME}$ vorhanden, nach $5\cdot \ln(10)$ Stunden sind bereits $100\,\text{ME}$ vorhanden, sodass die Bakteriananzahl auf das zehnfache angestiegen ist.

$\blacktriangleright$ Geburtenrate berechnen

$\begin{array}[t]{rll} d_g(t)&=& 10\cdot \mathrm e^{(g-0,2)\cdot t} \\[10pt] d_g(0)&=& 10\cdot \mathrm e^{(g-0,2)\cdot 0} \\[5pt] &=& 10 \\[10pt] \end{array}$

Nach $10\cdot\ln(10)$ Stunden soll die Bakterienanzahl also $100\,\text{ME}$ betragen.

$g=0,3$

Vollständige Lösung anzeigen

Bei einer Geburtenrate von $g=0,3$ verzehnfacht sich die Bakterianzahl zu Beginn in den ersten $10\cdot\ln(10)$ Stunden.

$\blacktriangleright$ Symmetrie begründen

Der Exponent der Funktion $h$ ist $-x^2+2\cdot x$ und beschreibt den Graphen einer nach unten geöffneten Parabel. Parabeln sind achsensymmetrisch zu einer Parallelen der $y$ -Achse durch den Scheitelpunkt.
Diese Symmetrie überträgt sich auf die Funktion $h,$ da gleiche Werte des Exponenten zu gleichen Funktionswerten von $h$ führen.
Der Graph von $h$ ist also ebenso achsensymmetrisch zur Parallelen der $y$ -Achse durch den Scheitelpunkt der Parabel.

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt zeigen

Die Seite $PS$ des Rechtecks liegt auf der $x$ -Achse. Ihre Länge ergibt sich also aus der Differenz der $x$ -Koordinaten der beiden Punkte $P$ und $S.$ Da $u\lt 1$ vorgegeben ist, also:

$a= 2-u -u = 2-2\cdot u$

Die zweite Seitenlänge des Rechtecks ergibt sich aus der Differenz der $y$ -Koordinaten von $Q$ und $P$ bzw. $R$ und $S:$

$b= h(u)-0 = h(u)$

Insgesamt ergibt sich also für den Flächeninhalt des Rechtecks:

$\begin{array}[t]{rll} A(u)&=& a\cdot b \\[5pt] &=& (2-2\cdot u) \cdot h(u) \\[5pt] &=& (2-2\cdot u)\cdot \mathrm e^{-u^2+2\cdot u} \end{array}$

$\blacktriangleright$ Eckpunkt des Rechtecks begründen

In der Aufgabenstellung ist $h‘(x)= (2-2\cdot x) \cdot \mathrm e^{-x^2+2\cdot x}$ angegeben. Dieser Term stimmt bis auf die Bezeichnung der Variablen mit dem Term für den Flächeninhalt überein. Es ist also $A(u)=h‘(u).$
Mit $h‘$ lassen sich also die Flächeninhalte der Rechtecke beschreiben. Der Flächeninhalt wird also dann maximal, wenn $h‘$ maximal wird. Der Graph von $h‘$ hat wiederum Hochpunkte an den Stellen, an denen der Graph von $h$ Wendepunkte besitzt. Wenn der Flächeninhalt also für einen Wert $u$ maximal wird, dann muss der Punkt $(u\mid h(u))$ ein Wendepunkt des Graphen von $h$ sein. Dies ist der Eckpunkt $Q_u$ des Rechtecks. Also ist der Eckpunkt $Q_u(u\mid h(u))$ ein Wendepunkt des Graphen von $h.$