Aufgabe 3A

Jeder Einwohner von Phantasia entscheidet sich monatlich neu für eine der Haarfarben rot $(r)$ , schwarz $(s)$ oder braun $(b)$ .

Die nebenstehende Übergangsmatrix $M$ beschreibt modellhaft dieses Wechselverhalten von einem Monat zum nächsten. Es wird vorausgesetzt, dass sich dieses Wechselverhalten nicht ändert.

Die Anteile der Bevölkerung mit den verschiedenen Haarfarben werden durch folgenden Verteilungsvektor beschrieben: $\vec{h}$ = $\begin{pmatrix}r\\s\\b\end{pmatrix}$ .

	$r$	$s$	$b$
	$\begin{pmatrix}0,5&0,25&0\\[2pt]0,5&0,5&0,5\\[2pt]0&0,25&0,5\end{pmatrix}$			r
$M=$				s
				b

a) Erläutere die Bedeutung aller Werte in der linken Spalte der Übergangsmatrix $M$ im Sachzusammenhang.

Angenommen, die Anteile der Bevölkerung mit den verschiedenen Haarfarben im Juni werden beschrieben durch: $\vec{h}_J$ = $\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ .

Bestimme die Bevölkerungsanteile mit roten, schwarzen bzw. braunen Haaren für den Monat September desselben Jahres.

Bestimme einen Verteilungsvektor so, dass die Bevölkerungsanteile von Monat zu Monat gleich bleiben.

(11P)

b) Ein anderes Wechselverhalten der Bevölkerung wird durch die nebenstehende Matrix $N$ beschrieben.

Entscheide für jeden der folgenden Fälle, ob eine Matrix $N$ angegeben werden kann:

Braunhaarige Einwohner haben im Folgemonat nie rote Haare.

Alle Einwohner werden langfristig rote Haare haben.

	$r$	$s$	$b$
	$\begin{pmatrix}u&0,5&0,6-w\\[2pt]1-u&0&2 \cdot w\\[2pt]0&0,5&0,4-w\end{pmatrix}$			r
$N=$				s
				b

(6P)

a) $\blacktriangleright$ Einträge der Matrix interpretieren

Erläutere die Werte in der linken Spalte der Übergangsmatrix $M$ im Sachzusammenhang. Nutze dazu die allgemeine Bedeutung der Übergangsmatrix und die Erklärungen zum Sachzusammenhang im Einleitungstext. Der Eintrag der $i$ -ten Zeile und $j$ -ten Spalte einer Übergangsmatrix gibt die Übergangsrate von Haarfarbe $j$ zu Haarfarbe $i$ an.

Hier ist nach der linken Spalte gefragt, also nach allen Übergängen von der Haarfarbe $(r)$ (rot).

$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$ Eintrag $\boldsymbol{m_{1,1}=0,5}$

Der Eintrag $m_{1,1} = 0,5$ gibt die Übergangsrate von $(r)$ nach $(r)$ an. Dies bedeutet im Sachzusammenhang, dass $50\,\%$ aller rothaarigen Bewohner im nächsten Monat wieder rothaarig sind und somit ihre Haarfarbe nicht ändern.

$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$ Eintrag $\boldsymbol{m_{2,1}=0,5}$

Der Eintrag $m_{2,1} = 0,5$ gibt die Übergangsrate von $(r)$ nach $(s)$ an. Dies bedeutet im Sachzusammenhang, dass $50\,\%$ aller rothaarigen Bewohner im nächsten Monat schwarzhaarig sind.

$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$ Eintrag $\boldsymbol{m_{3,1}=0}$

Der Eintrag $m_{3,1} = 0$ gibt die Übergangsrate von $(r)$ nach $(b)$ an. Dies bedeutet im Sachzusammenhang, dass kein rothaariger Bewohner im nächsten Monat braunhaarig sein wird.

$\blacktriangleright$ Bevölkerungsanteile im September berechnen

Im Juni werden die Anteile der Bevölkerung mit den verschiedenen Haarfarben mit dem Vektor $\overrightarrow{h_j}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ beschrieben. Um die Bevölkerungsanteile mit den jeweiligen Haarfarben für den nächsten Monat zu berechnen, multiplizierst du den Vektor $\overrightarrow{h_j}$ mit der Matrix $M$ . Allerdings willst du die Bevölkerungsanteile im September berechnen, also $3$ Monate später.

Es gilt daher:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{h_s} &=&M^3\cdot\overrightarrow{h_j} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}0,5&0,25&0\\0,5&0,5&0,5\\0&0,25&0,5\end{pmatrix}^3\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \end{array}$

Dies kannst du mit dem GTR berechnen. Definiere dazu zunächst die Matrix $M$ und den Vektor $\overrightarrow{h_j}$ .

Bildschirmansicht eines Berechnungsprogramms mit mathematischen Ausdrücken und Werten.

Im September haben $18,75\,\%$ der Bevölkerung rote Haare, $50\,\%$ schwarze und $31,25\,\%$ braune Haare.

$\blacktriangleright$ Verteilungsvektor $\boldsymbol{\overrightarrow{h}}$ bestimmen

Nun sollst du den Verteilungsvektor so bestimmen, dass die Bevölkerungsanteile jeden Monat gleich bleiben. Es ist somit nach einer stationären Verteilung ungleich dem Nullvektor gesucht, das heißt, eine Verteilung $\overrightarrow{h} = \begin{pmatrix}r\\s\\b\end{pmatrix}$ , die folgende Gleichung erfüllt:

$M \cdot \overrightarrow{h} = \overrightarrow{h}$

Stelle das aus dieser Gleichung resultierende lineare Gleichungssystem auf. Beachte außerdem, dass die Werte von $r$ , $s$ und $b$ zusammen $100\,\%$ , also 1, ergeben müssen.

Das lineare Gleichungssystem kannst du mit dem GTR lösen.

Aus $\begin{pmatrix}0,5&0,25&0\\0,5&0,5&0,5\\0&0,25&0,5\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}r\\s\\b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\\s\\b\end{pmatrix}$ erhältst du folgende Gleichungen.

$\begin{array}[t]{rll} (1)&0,5r&+&0,25s&+&0b&=&r \\[5pt] (2)&0,5r&+&0,5s&+&0,5b&=&s \\[5pt] (3)&0r&+&0,25s&+&0,5b&=&b \\[5pt] (4)&r&+&s&+&b&=&1 \end{array}$

Bringe nun alle Variablen auf die linke Seite der Gleichung. Anschließend kannst du das Gleichungssystem mit dem rref-Befehl mit dem GTR lösen.

Du erhältst folgendes Gleichungsystem:

$\begin{array}[t]{rll} (1)&-0,5r&+&0,25s&+&0b&=&0 \\[5pt] (2)&0,5r&-&0,5s&+&0,5b&=&0 \\[5pt] (3)&0r&+&0,25s&-&0,5b&=&0 \\[5pt] (4)&r&+&s&+&b&=&1 \end{array}$

Matrixdarstellung auf einem Taschenrechner mit Werten in einem 4x4-Raster.

Bildschirmdarstellung eines mathematischen Berechnungsprozesses mit einer Matrix in reduzierter Zeilenform.

Damit die Bevölkerungsanteile Monat für Monat gleich bleiben, muss der Verteilungsvektor $\overrightarrow{h}=\begin{pmatrix}0,25\\0,5\\0,25\end{pmatrix}$ lauten. Das heißt, dass je $25\,\%$ der Bevölkerung rote bzw. braune Haare und $50\,\%$ schwarze Haare haben müssen.

b) $\blacktriangleright$ Matrix $\boldsymbol{N}$ angeben

Bei dieser Teilaufgabe sollst du entscheiden, ob für folgende Fälle eine Matrx $N$ angegeben werden kann.

$N=\begin{pmatrix}u&0,5&0,6-w\\1-u&0&2w\\0&0,5&0,4-w\end{pmatrix}$

1. Fall

Die Matrix $N$ soll einen Fall beschreiben, dass braunhaarige Einwohner im Folgemonat nie rote Haare haben. Der Wechsel von braunen zu roten Haaren wird durch den Eintrag in der ersten Zeile der dritten Spalte beschrieben. Damit kein Wechsel stattfindet, muss der Wert gleich Null sein.

Dies bedeutet, dass der Wert für $w$ gleich $0,6$ ist. Überprüfst du die weiteren Einträge der dritten Spalte für $w=0,6$ , so steht in der zweiten Zeile der Wert $2\cdot0,6=1,2$ und in der dritten Zeile der Wert $0,4-0,6=-0,2$ .

In einer Matrix sind negative Werte und Werte größer $1$ nicht zulässig. Für diesen Fall kann demnach keine Matrix $N$ angegeben werden.

2. Fall

Nun soll der Fall beschrieben werden, dass langfristig alle Einwohner rote Haare haben. Das heißt, dass der Wert für $u$ in der ersten Zeile der ersten Spalte gleich $1$ sein muss. Dieser Eintrag gibt an, dass kein Wechsel von roten Haaren zu einer anderen Haarfarbe stattfindet.

Ist $u=1$ , so sind alle weiteren Einträge in der ersten Spalte gleich Null. Um eine zulässige Matrix $N$ anzugeben, kannst du das $w$ beliebig wählen. Achte jedoch darauf, dass keine negativen Werte und Werte größer $1$ in der Matrix stehen.

Wir wählen hier das Beispiel $w_1=0,2$ und $w_2=0,1$ .

$\boldsymbol{N_1}$ mit $\boldsymbol{w_1=0,2}$ :

$\begin{array}[t]{rll} N&=&\begin{pmatrix}u&0,5&0,6-w\\1-u&0&2w\\0&0,5&0,4-w\end{pmatrix} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}1&0,5&0,6-0,2\\1-1&0&2\cdot0,2\\0&0,5&0,4-0,2\end{pmatrix}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}1&0,5&0,4\\0&0&0,4\\0&0,5&0,2\end{pmatrix} \end{array}$

$\boldsymbol{N_2}$ mit $\boldsymbol{w_2=0,1}$ :

$\begin{array}[t]{rll} N&=&\begin{pmatrix}u&0,5&0,6-w\\1-u&0&2w\\0&0,5&0,4-w\end{pmatrix} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}1&0,5&0,6-0,1\\1-1&0&2\cdot0,1\\0&0,5&0,4-0,1\end{pmatrix}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}1&0,5&0,5\\0&0&0,2\\0&0,5&0,3\end{pmatrix} \end{array}$

Für diesen Fall kann eine Matrix angegeben werden.