Aufgabe 3B

Das Rechteck $OAEK$ stellt ein Tennisspielfeld dar. Die Koordinaten für die folgenden Punkte lauten:
$O(0 \mid 0 \mid 0),$ $A(27 \mid 0 \mid 0),$ $B(27 \mid 18 \mid 0),$ $C(27 \mid 39 \mid 0),$ $E(27 \mid 78 \mid 0),$ $F(27 \mid 39 \mid 3,5)$
und $M(13,5 \mid 39 \mid 3).$
Alle Koordinaten haben die Längeneinheit Fuß $\text{(ft)}$ . Das Netz ist an Pfosten befestigt, die durch die Strecken $\overline{CF}$ und $\overline{GH}$ dargestellt sind. Es hat an den Enden eine Höhe von $3,5 \,\text{ft}$ und fällt geradlinig ab, bis es in der Mitte $M$ nur noch eine Höhe von $3 \,\text{ft}$ hat. Der Boden wird durch die $xy$ -Ebene dargestellt.
Der Ball wird als punktförmig angenommen.

Grafik eines 3D-Koordinatensystems mit einer grünen Fläche zwischen den Punkten C, D, F, G.

Gib die Koordinaten der Punkte $D$ und $H$ an.
Berechne die Länge der Diagonalen des Spielfeldes.

(4 BE)

Bei einem Aufschlag wird der Ball im Punkt $P(13 \mid 0 \mid 10,4)$ getroffen und fliegt in Richtung $\overrightarrow{v} = \pmatrix{13\\58,5\\-10,4}.$
Er trifft im Punkt $Q(26 \mid 58,5 \mid 0)$ auf dem Boden auf. Es kann vorausgesetzt werden, dass der Ball das Netz überquert und dass die $x$ -Koordinate zu diesem Zeitpunkt größer als 13,5 ist. Die Flugbahn des Balls wird als geradlinig angenommen.

Bestimme die Koordinaten des Punktes, in dem der Ball sich über dem Netz befindet.
[Zur Kontrolle: $R \left( \frac{65}{3} \mid 39 \mid \frac{52}{15} \right)$ ]
Berechne die Höhe des Netzes an der Stelle, an der der Ball das Netz überquert.

(7 BE)

Spiegelt man die Gerade, die die Flugbahn des Balles beschreibt, an der $xy$ -Ebene, ergibt sich die Gerade $h$ . Die Gerade $h$ beschreibt die Flugbahn direkt nach dem Aufprall.
Bestimme eine Gleichung der Gerade $h$ .

(4 BE)

Im Punkt $S(k \mid 39 \mid 7), k \in \mathbb{R}$ , befindet sich eine Kamera. Sie zeichnet die Flugbahn des Balles von Punkt $P$ nach Punkt $Q$ auf.
Bestimme den Wert von $k$ so, dass die Kamera den gleichen Abstand zu Punkt $P$ und zu Punkt $Q$ hat.

(5 BE)

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$\overrightarrow{OD}= \overrightarrow{OC}+\overrightarrow{BC}= \pmatrix{27\\60\\0}$
Der Punkt $D$ hat die Koordinaten $(27 \mid 60 \mid 0).$

$\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{AO}=\pmatrix{0\\39\\3,5}$
Der Punkt $H$ hat die Koordinaten $(0 \mid 39 \mid 3,5).$

Für die Länge der Diagonalen ist $\mid \overrightarrow{OE}\mid$ gesucht, also $\, \left| \, \pmatrix{27\\78\\0} \,\right| \, = \sqrt{27^2+78^2} \approx 82,5.$
Die Diagonale ist ungefähr $82,5 \,\text{ft}$ lang.

Die Flugbahn des Balles folgt der Geraden $g: \overrightarrow{x}= \pmatrix{13\\0\\10,4}+s \cdot \pmatrix{13\\58,5\\-10,4}.$
Der Punkt $Z$ , an dem der Ball das Netz überquert, ist der Punkt auf $g$ , der die $y$ -Koordinate $39$ hat, da sich dort das Netz befindet.
Die fehlenden Koordinaten von $Z$ lassen sich durch folgende Gleichung ermitteln:

$\pmatrix{x\\39\\z}=\pmatrix{13\\0\\10,4}+s \cdot\pmatrix{13\\58,5\\-10,4}$

Aus der mittleren Zeile lässt sich $s=\dfrac{2}{3}$ ermitteln. Damit folgt dann $x=\dfrac{65}{3}$ und $y=\dfrac{52}{15}.$

Der Punkt $R$ , an dem der Ball das Netz überquert, hat die Koordinaten $\left(\dfrac{65}{3} \mid 39 \mid \dfrac{52}{15}\right).$

Die Koordinaten des Punktes $Z$ an der Oberkante des Netzes, der vom Ball überquert wird, sind gegeben durch $\left(\dfrac{65}{3} \mid 39 \mid z\right).$ Dabei gibt die $z$ -Koordinate die gesuchte Höhe an.
$\overrightarrow{FM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OF}=\pmatrix{-13,5\\0\\-0,5}$
Die Gerade $n: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{OF}+\overrightarrow{FM}$ $=\pmatrix{27\\39\\3,5}+ t \cdot \pmatrix{-13,5\\0\\-0,5}$ beschreibt die Oberkante des Netzes auf der gesuchten Seite des Feldes.
Die gesuchte Höhe kann durch die folgende Gleichung ermittelt werden:
$\pmatrix{\dfrac{65}{3}\\39\\z}=\pmatrix{27\\39\\3,5}+ t \cdot \pmatrix{-13,5\\0\\-0,5}$
Die erste Zeile liefert $t=\dfrac{32}{81},$ einsetzten in die dritte Zeile ergibt dann $z=\dfrac{535}{162}.$

Das Netz hat an der Stelle, an der es vom Ball überquert wird, eine Höhe von ungefähr $3,3\,\text{ft}.$

Aus der Aufgabenstellung ist bekannt, dass der Ball an dem Punkt $P(13 \mid 0 \mid 10,4)$ getroffen wird und am Punkt $Q(26 \mid 58,5 \mid 0)$ auf dem Boden auftritt.
Wenn der Punkt $P$ an der $xy$ -Ebene gespiegelt wird, ergibt sich der Punkt $\(P$ Die Koordinaten des Punktes $Q$ verändern sich durch die Spiegelung nicht, da dieser auf der $xy$ -Ebene liegt.

$\(\overrightarrow{P$
Die Gerade, die durch den Punkt $Q$ verläuft und die Flugbahn nach dem Aufprall beschreibt, ist gegeben durch $\(h: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{OQ}+ r \cdot \overrightarrow{P$ $=\pmatrix{26\\58,5\\0}+r \cdot \pmatrix{13\\58,5\\10,4}.$

$\overrightarrow{SP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OS}=\pmatrix{13-k\\-39\\3,4}$
Der Abstand von Punkt $P$ zur Kamera ist gegeben durch $\mid \overrightarrow{SP}\mid$ $= \sqrt{(13-k)^2+(-39)^2+3,4^2}$ $=\sqrt{k^2 -26k + 1701,56}$

$\overrightarrow{SQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OS}=\pmatrix{26-k\\19,5\\-7}$
Der Abstand von Punkt $Q$ zur Kamera ist gegeben durch $\mid \overrightarrow{SQ} \mid$ $=\sqrt{(26-k)^2+19,5^2+(-7)^2}$ $= \sqrt{k^2-52k+1105,25}$

Gesucht ist ein $k,$ so dass $\mid \overrightarrow{SP} \mid=\mid \overrightarrow{SQ} \mid$ gilt:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$k=-22,935$

Für $k=-22,935$ hat die Kamera den gleichen Abstand zu $Q$ wie zu $P.$

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