Aufgabe 3A

Diagramm mit den Begriffen Oberflächenschicht und Tiefenschicht, dargestellt in grauer Farbe.

Stehende Gewässer weisen eine Schichtung des Wassers auf. Modellhaft werden zwei Schichten unterschieden: die kalte Tiefenschicht und die warme Oberflächenschicht.

Durch unterschiedliche Vorgänge kommt es zu einem gewissen Austausch zwischen den Schichten, sodass sich die Schichtdicken verändern.

Diagramm mit Zuständen O und T sowie Übergangswahrscheinlichkeiten.

Für ein Gewässer beschreibt der nebenstehende Übergangsgraph die Übergänge zwischen den Schichten pro Zeiteinheit. Für diese Modellierung wird vorausgesetzt, dass sich diese Entwicklung in der beschriebenen Weise fortsetzen wird.

a) Stellen Sie den Austauschvorgang in einer Übergangsmatrix $M$ dar.
Erläutern Sie die Werte der ersten Zeile von $M$ im Sachzusammenhang.
Bestimmen Sie die Verteilung der Schichten nach fünf Zeiteinheiten auf Zentimeter genau, wenn zu Beginn beide Schichten 6 m dick sind.

(8P)

b) Im Laufe des Sommers stabilisiert sich die Schichtenverteilung.
Bestimmen Sie die Dicke der einzelnen Schichten eines 12 m tiefen Gewässers in der stationären Verteilung.

(4P)

c) In einem anderen Gewässer liegt ein anderes Übergangsverhalten vor. Zu Beginn sind beide Schichten unterschiedlich dick.
Erstellen Sie begründet ein Beispiel für eine Übergangsmatrix so, dass beide Schichten auf lange Sicht gleich dick werden.

(5P)

(17P)

a) $\blacktriangleright$ Übergangsmatrix bestimmen

Du sollst den Austauschvorgang in einer Übergangsmatrix $M$ darstellen. Auf der Diagonalen stehen die Anteile, die in der jeweiligen Schicht erhalten bleiben, die anderen Einträge geben die Anteile an, die in die jeweils andere Schicht übergehen. Trägst du die Oberflächenschicht in der ersten Zeile und Spalte ein und dementsprechend die Tiefenschicht in der zweiten Zeile und Spalte, so ergibt sich folgende Übergangsmatrix $M$ :

$M = \begin{pmatrix}0,9& 0,2\\ 0,1 & 0,8\end{pmatrix}$

$\blacktriangleright$ Werte der ersten Zeile von $\boldsymbol{M}$

Erläutere nun die Werte der ersten Zeile von $M$ im Sachzusammenhang. Der Eintrag $0,9$ der ersten Zeile gibt an, welcher Anteil in der Oberflächenschicht erhalten bleibt. Der Eintrag $0,2$ der ersten Zeile gibt an, welcher Anteil von der Tiefenschicht zur Oberflächenschicht hinzu kommt.

$\blacktriangleright$ Verteilung der Schichten nach fünf Zeiteinheiten

Du sollst die Verteilung der Schichten nach fünf Zeiteinheiten auf Zentimeter genau bestimmen, wenn zu Beginn beide Schichten 6 m dick sind.
Die Übergangsmatrix $M$ gibt die Übergänge pro Zeiteinheit an, das bedeutet, dass du die Matrix 5 mal mit sich selbst multiplizieren musst, um die Verteilung pro 5 Zeiteinheiten zu erhalten. Dies kannst du mit deinem CAS tun. Den Befehl für eine Matrix findest du unter

menu 7: Matrix und Vektor 1: Erstellen 1: Matrix

Gib dort zuerst die Anzahl der Spalten (2) und Zeilen (2) ein. Anschließend kannst du die Matrix potenzieren.
Jetzt musst du noch die Schichtdicke von je 6 m beachten, diese also mit der Verteilung pro 5 Zeiteinheiten multiplizieren. Du erhältst dann für die Verteilung nach 5 Zeiteinheiten:

$\begin{array}{rll} M^5\cdot \begin{pmatrix}6\\6\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}0,9& 0,2 \\ 0,1 & 0,8\end{pmatrix}^5 \cdot \begin{pmatrix}6\\6\end{pmatrix} &\\ &=&\begin{pmatrix}0,723& 0,555 \\ 0,277 & 0,445\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}6\\6\end{pmatrix} &\\ &=&\begin{pmatrix}7,66\\ 4,34\end{pmatrix}& \end{array}$

Mathematische Berechnungen in einer Softwareanwendung mit Matrizen und Ergebnissen.

Nach fünf Zeiteinheiten beträgt die Dicke der Oberflächenschicht $7,66 m$ und die der Tiefenschicht beträgt $4,34 m$ .

b) $\blacktriangleright$ Dicke der einzelnen Schichten bestimmen Im Laufe des Sommers stabilisiert sich die Schichtenverteilung. Bestimme die Dicke der einzelnen Schichten eines 12 m tiefen Gewässers in der stationären Verteilung. Dies ist eine Verteilung $\overrightarrow{s}$ , sodass folgende Gleichung gilt:

Dafür definiere:

$x$ : Dicke der Oberflächenschicht

$y$ : Dicke der Tiefenschicht

Insgesamt weißt du also, dass die folgenden zwei Bedingungen erfüllt sein müssen:

$\begin{array}{rll} M\cdot \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}&\\ \end{array}$
Das Gewässer soll insgesamt 12 cm tief sein. Die Dicken beider Schichten müssen also zusammen 12 cm ergeben.
$\Rightarrow x+y = 12$

Nutze diese Forderungen nacheinander aus. Du kannst hier mit dem CAS oder auch handschriftlich arbeiten.

$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: CAS

Die obige Gleichung kannst du mit dem solve-Befehl des CAS nach $x$ und $y$ lösen.
Du erhältst dann folgendes Ergebnis:

$x = 2\cdot c_1$ und $y =c_1$

Mathematische Berechnungen und Lösungen in einer Softwareanwendung.

$c_1$ ist dabei eine Konstante. Du hast nun zusätzlich die Forderung gegeben, dass das Gewässer insgesamt 12 cm tief sein soll. Die Dicken beider Schichten müssen also zusammen 12 cm ergeben. Daraus ergibt sich die folgende Gleichung mit Hilfe derer du $c_1$ und damit die endgültigen Zahlen für $x$ und $y$ berechnen kannst.

$\begin{array}{rll} 12&=&x+y&\scriptsize \\ 12&=&2\cdot c_1+c_1&\scriptsize \\ \end{array}$

Diese kannst du nun wieder mit dem solve-Befehl des CAS lösen. Dann erhältst du:

$c_1 = 4$

Setzt du dies nun in $x$ und $y$ ein, so erhältst du:

$x = 2\cdot 4 = 8$ und $y = 4$

$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Handschriftlich

Du erhältst folgendes Gleichungssystem für die Schichtdicken:

$\begin{array}{rll} M\cdot \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}&\\ \begin{pmatrix}0,9 & 0,2 \\ 0,1 & 0,8\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} &=&\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}&\\ \begin{pmatrix}0,9\cdot x + 0,2 \cdot y\\ 0,1 \cdot x + 0,8 \cdot y\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}& \end{array}$

$\begin{array}{lrcrl} (1)&x&=&0,9x&+&0,2y&&\\ (2)&y&=&0,1x&+&0,8y&& \end{array}$

Außerdem kannst du der Aufgabenstellung $x + y = 12$ entnehmen. Löse diese Gleichung nach $x$ auf und setze das Ergebnis in eine der beiden Zeilen des Gleichungssystems ein, um $y$ zu bestimmen:

$\begin{array}{rll} x+y&=&12&\\ x&=&12-y&\\ \end{array}$

Einsetzen in (2) ergibt:

$\begin{array}{rll} y&=&0,8 \cdot y + 0,1 \cdot (12-y)&\\ y&=&0,8 \cdot y + 1,2 -0,1 \cdot y&\\ y&=&0,7 \cdot y + 1,2&\scriptsize \mid\; - 0,7 \cdot y\\ 0,3 \cdot y &=& 1,2 &\scriptsize \mid\; : 0,3\\ y &=& 4 & \end{array}$

Für $x$ ergibt sich dann $x=8$ .

Die Oberflächenschicht ist somit 8 m dick, die Tiefenschicht ist 4 m dick.

c) $\blacktriangleright$ Übergangsmatrix bestimmen

In einem anderen Gewässer liegt ein anderes Übergangsverhalten vor. Zu Beginn sind beide Schichten unterschiedlich dick, doch auf lange Sicht sollen beide Schichten gleich dick werden. Das bedeutet, dass die Anteile, die ausgetauscht werden, gleich groß sein sollten. Also der Übergangsanteil von Oberflächenschicht in die Tiefenschicht entspricht dem Übergangsanteil von Tiefenschicht in die Oberflächenschicht. Die Übergangsmatrix ist somit symmetrisch zur Hauptdiagonalen und die Einträge auf der Hauptdiagonalen sind die gleichen. Es gibt viele Übergangsmatrizen, die das Übergangsverhalten beschreiben. Ein mögliches Beispiel ist gegeben durch:

$U = \begin{pmatrix}0,7 & 0,3 \\ 0,3 & 0,7\end{pmatrix}$

Mit $\boldsymbol{U}$ ergibt sich die entsprechende Verteilung.

a) $\blacktriangleright$ Übergangsmatrix bestimmen

$M = \begin{pmatrix}0,9& 0,2\\ 0,1 & 0,8\end{pmatrix}$

$\blacktriangleright$ Werte der ersten Zeile von $\boldsymbol{M}$

$\blacktriangleright$ Verteilung der Schichten nach fünf Zeiteinheiten

Keyboard 2D CALC

Gib dort zunächst die Einträge ein. Anschließend kannst du die Matrix potenzieren.
Jetzt musst du noch die Schichtdicke von je 6 m beachten, diese also mit der Verteilung pro 5 Zeiteinheiten multiplizieren. Du erhältst dann für die Verteilung nach 5 Zeiteinheiten:

Bildschirmfoto einer Software mit Berechnungen und Ergebnissen in einer interaktiven Benutzeroberfläche.

Nach fünf Zeiteinheiten beträgt die Dicke der Oberflächenschicht $7,66 m$ und die der Tiefenschicht beträgt $4,34 m$ .

Dafür definiere:

$x$ : Dicke der Oberflächenschicht

$y$ : Dicke der Tiefenschicht

Insgesamt weißt du also, dass die folgenden zwei Bedingungen erfüllt sein müssen:

$\begin{array}{rll} M\cdot \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}&\\ \end{array}$
Das Gewässer soll insgesamt 12 cm tief sein. Die Dicken beider Schichten müssen also zusammen 12 cm ergeben.
$\Rightarrow x+y = 12$

Nutze diese Forderungen nacheinander aus. Du erhältst folgendes Gleichungssystem für die Schichtdicken:

$\begin{array}{rll} M\cdot \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}&\\ \begin{pmatrix}0,9 & 0,2 \\ 0,1 & 0,8\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}&\\ \begin{pmatrix}0,9\cdot x + 0,2 \cdot y\\ 0,1 \cdot x + 0,8 \cdot y\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}&\\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}{lrcrl} (1)&x&=&0,9x&+&0,2y&&\\ (2)&y&=&0,1x&+&0,8y&& \end{array}$

Dieses kannst du nun entweder handschriftlich oder mit Hilfe deines CAS lösen.

$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: CAS

Das obige Gleichungssystem kannst du zusammen mit der Gleichung $x+y =12$ mit Hilfe des Befehls für ein LGS in deinem CAS lösen. Den Befehl für ein LGS findest du im Main-Menu unter

Keyboard 2D

Gibst du dort die drei Gleichungen und die Variablen ein und bestätigst anschließend mit EXE, so erhälst du folgendes Ergebnis:

$x = 8$ und $y =4$

Mathematische Gleichungen und Interaktivitätswerkzeug auf einem Bildschirm dargestellt.

$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Handschriftlich

Du erhältst folgendes Gleichungssystem für die Schichtdicken:

$\begin{array}{lrcrl} (1)&x&=&0,9x&+&0,2y&&\\ (2)&y&=&0,1x&+&0,8y&& \end{array}$

Außerdem kannst du der Aufgabenstellung $x + y = 12$ entnehmen. Löse diese Gleichung nach $x$ auf und setze das Ergebnis in eine der beiden Zeilen des Gleichungssystems ein, um $y$ zu bestimmen:

$\begin{array}{rll} x+y&=&12&\\ x&=&12-y&\\ \end{array}$

Einsetzen in (2) ergibt:

Für $x$ ergibt sich dann $x=8$ .

Die Oberflächenschicht ist somit 8 m dick, die Tiefenschicht ist 4 m dick.

c) $\blacktriangleright$ Übergangsmatrix bestimmen

$U = \begin{pmatrix}0,7 & 0,3 \\ 0,3 & 0,7\end{pmatrix}$

Mit $\boldsymbol{U}$ ergibt sich die entsprechende Verteilung.