Aufgabe 2A

In einem Bundesland wird die Bevölkerungsgruppe derjenigen, die im Jahr 2000 geboren wurden, im Hinblick auf Schulabschlüsse untersucht. In dieser Bevölkerungsgruppe beträgt der Anteil der Personen mit Abitur 36 %. Unter den Personen mit Abitur sind 54 % weiblich. 34 % der Bevölkerungsgruppe sind nicht weiblich und haben kein Abitur.

Weise nach, dass unter allen Personen ohne Abitur der Anteil derjenigen, die nicht weiblich sind, etwa 53 % beträgt.

(2 BE)

Stelle den Sachzusammenhang in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.

(3 BE)

Zur betrachteten Bevölkerungsgruppe gehören 27 000 Personen.
Ermittle, wie viele dieser Personen weiblich sind.

(3 BE)

Für eine Online-Befragung werden aus der betrachteten Bevölkerungsgruppe 100 Personen zufällig ausgewählt. Es soll davon ausgegangen werden, dass unter den ausgewählten Personen die Anzahl derjenigen mit Abitur binomialverteilt ist.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den ausgewählten Personen 30 mit Abitur sind.

(1 BE)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der ausgewählten Personen mit Abitur kleiner als der Erwartungswert dieser Anzahl ist.

(3 BE)

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der ausgewählten Personen mit Abitur im Intervall $[a; b]$ liegt, beträgt etwa 65 %.
Bestimme die Werte für $a$ und $b$ so, dass das Intervall symmetrisch um den Erwartungswert liegt.

(4 BE)

Aus der anfangs betrachteten Bevölkerungsgruppe werden $n$ Personen zufällig ausgewählt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich darunter mehr als 20 mit Abitur befinden, ist größer als 0 % und kleiner als 10 %.
Ermittle alle Werte, die für $n$ infrage kommen.

(4 BE)

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Lösung 2A

Der Anteil der Personen ohne Abitur beträgt $1-0,36=0,64,$ also $64\,\%.$
Da $34\,\%$ der Bevölkerungsgruppe nicht weiblich sind und kein Abitur haben, lässt sich ihr Anteil an allen Personen ohne Abitur wie folgt berechnen:
$\dfrac{0,34}{0,64} \approx 0,53$
Der gesuchte Anteil an Personen beträgt also $53\,\%.$

$A:$ Eine Person hat Abitur.
$W:$ Eine Person ist weiblich.

	$36\%$						$64\%$
		$A$				$\overline{A}$
$54\%$			$46\%$	$\quad$	$47\%$			$53\%$
	$W$	$\overline{W}$				$W$	$\overline{W}$

Der prozentuale Anteil an weiblichen Personen ist gegeben durch die Summe der Pfade des Baumdiagramms, bei denen die Person weiblich ist. Multipliziert mit der Gesamtanzahl an Personen ergibt dies den Anteil der weiblichen Personen in der Bevölkerungsgruppe.

$(0,36 \cdot 0,54 +0,64 \cdot 0,47)\cdot 27000$ $\approx 13400$

Von den $27000$ Personen sind etwa $13400$ weiblich.

Die Zufallsvariable $X$ beschreibt die Anzahl der ausgewählten Personen mit Abitur.
$X$ ist $B_{100;0,36}-$ verteilt.

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 5 $\to$ 5 $\to$ E: Binomial Cdf

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomial CDf

$P(X=30) \approx 0,04$
Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Personen genau $30$ mit Abitur sind, beträgt ungefähr $4\%.$

$X$ ist $F_{100;0,36}-$ verteilt.
Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsvariable ist gegeben durch $E=n \cdot p.$
$E(X)= 0,36 \cdot 100 = 36$
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl an augewählten Personen mit Abitur kleiner als $36$ ist.
$P(X \leq 35)\approx 0,46$
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt ungefähr $46\%.$

$X$ ist $F_{100;0,36}-$ verteilt.
Nach e) gilt $E(X)=36.$
Da das Intervall symmetrisch um den Erwarungswert liegen soll, sind seine Grenzen gegeben durch $a=36-z$ und $b=36+z.$
Bestimme nun $a$ und $b$ so, dass $P(a \leq X \leq b) \approx 0,65$ .
Für $z=4,$ also $a=32$ und $b=40,$ gilt:
$P(32 \leq X \leq 40)\approx 0,651$

Damit liefert das Intervall mit den Grenzen $a=32$ und $b=40$ die gesuchte Lösung.

$X$ ist $F_{100;0,36}-$ verteilt.
In der betrachteten Bevölkerungsgruppe beträgt der Anteil an Personen mit Abitur $36\%,$ also gilt $p=0,36.$
Gesucht ist ein $n,$ sodass $1-F_{n;0,36;20}$

$n=45: P(X \geq 21)\approx 0,09= 9\%$
$n=46: P(X \geq 21)\approx 0,11 =11\%$

Für $n$ kommen alle Werte mit $21 \leq n \leq 45$ infrage.

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