Pflichtteil

Aufgabe P1

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=2 \mathrm e^x-4.$

Berechne die Nullstelle von $f.$

(2 BE)

Bestimme eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Schnittpunkt mit der $y$ -Achse.

(3 BE)

Aufgabe P2

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x)=x^4-4 x^3.$

Niedersachsen Mathe Abi gA GTR 2023 Funktion f

Berechne den Wert des Integrals $\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\;\mathrm dx.$

(2 BE)

Beurteile, ob die folgende Aussage richtig ist:

Für die Abbildung wurde eine Längeneinheit auf der $x$ -Achse ebenso groß gewählt wie auf der $y$ -Achse.

(3 BE)

Aufgabe P3

Die Abbildung zeigt den Punkt $P$ und den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f.$

Der Graph von $f$ hat die einzigen Extrempunkte $(-1 \mid 1)$ und $(0 \mid 0).$

Niedersachsen Mathe Abi gA GTR 2023 Punkt P

Gegeben ist die Funktion $g$ mit $g(x)=2 \cdot f(x-3).$

Gib die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $g$ an.

(2 BE)

Der Graph einer Stammfunktion von $f$ verläuft durch den Punkt $P.$

Skizziere diesen Graphen in der Abbildung.

(3 BE)

Aufgabe P4

Bei einem Spielautomaten gewinnt man in $30 \,\%$ aller Spiele.

Es werden 10 Spiele gespielt. Die Anzahl der gewonnenen Spiele ist binomialverteilt.

Gib einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ereignis berechnet werden kann:

Es werden mindestens 2, aber weniger als 4 Spiele gewonnen.

(3 BE)

Der Einsatz für ein Spiel beträgt $1\,€.$ Gewinnt man ein Spiel, so werden $3\,€$ ausgezahlt.

Berechne den auf lange Sicht zu erwartenden Gewinn pro Spiel.

(2 BE)

Aufgabe P5

Gegeben sind die Gerade $g: \overrightarrow{x}=\pmatrix{2\\3\\-7}+s\cdot \pmatrix{1\\0\\5}$ mit $s \in \mathbb{R}$ sowie die Gerade $h$ durch die Punkte $A(4 \mid 0 \mid 0)$ und $B(6 \mid 0\mid b)$ mit einer reellen Zahl $b.$

Begründe, dass $A$ nicht auf $g$ liegt.

(1 BE)

Gib eine Gleichung der Ebene an, die $g$ und $A$ enthält.

(2 BE)

Bestimme den Wert für $b$ so, dass $g$ und $h$ parallel zueinander sind.

(2 BE)

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Lösung P1

Es soll gelten:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 0& \\[5pt] 2\mathrm e^x-4&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+4 \\[5pt] 2\mathrm e^x &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] \mathrm e^x &=& 2 &\quad \scriptsize \mid\; \ln(\,)\\[5pt] x&=& \ln(2) \end{array}$

1. Schritt: Koordinaten des Schnittpunkts bestimmen

Der Graph von $f$ schneidet die $y$ -Achse an der Stelle $x=0.$

$y$ -Koordinate berechnen:

$f(0)=2\mathrm e^0-4=-2$

Die Koordinaten des Schnittpunkts sind somit gegeben durch $S(0\mid -2).$

2. Schritt: Steigung $\boldsymbol{m}$ berechnen

Ableitung bestimmen:

$\(f$

An der Stelle $x=0$ gilt also:

$\(m=f$

3. Schritt: Tangentengleichung aufstellen

Einsetzen der Koordinaten von $S$ sowie der Steigung $m$ in die allgemeine Tangentengleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& m\cdot x+c& \\[5pt] -2&=& 2\cdot 0+c& \\[5pt] -2&=& c \end{array}$

Eine Gleichung der Tangente folgt also mit:

$y=2x-2$

Lösung P2

$\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\;\mathrm dx= -\dfrac{4}{5} \; [\text{FE}]$

Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 0& \\[5pt] x^4-4\cdot x^3&=& 0& \\[5pt] x^3\cdot (x-4)&=& 0& \\[5pt] \end{array}$

Die Nullstellen folgen also mit $x_1=0$ und $x_2=4.$

Durch Einsetzen eines beliebigen $x$ -Wertes kann die Aussage überprüft werden:

$f(3)=3^4-4\cdot 3^3=-27$

Der Punkt des Graphen mit der $x$ -Koordinate 3 liegt nicht neunmal so weit von der $x$ -Achse entfernt wie von der $y$ -Achse.

Somit ist die Aussage falsch.

Lösung P3

Der Graph von $g$ ergibt sich aus dem Graphen von $f$ durch Verschiebung um 3 Längeneinheiten in positive $x$ -Richtung und Streckung um den Faktor 2.