Aufgabe 1B

Grafische Darstellung einer Brücke über Wasser mit einem geschwungenen Bogen und Stützpfeilern.

Abb. 1

Die obenstehende Abbildung stellt den Entwurf für eine Brücke dar. Deren achsensymmetrisches Profil soll modellhaft in einem entsprechend gewählten Koordinatensystem beschrieben werden.
Die Funktion $f$ mit $f(x) = - \frac{1}{80}\cdot x^2 + 20,$ $x \in \mathbb{R},$ beschreibt für $- 40 \leq x \leq 40$ den unteren Brückenbogen. In den Punkten $P( - 40 \mid 0)$ und $Q(40\mid 0)$ endet der untere Brückenbogen jeweils in einem Stützlager.
Die Funktion $g$ mit $g(x) = \frac{1}{312.500}\cdot x^4- \frac{2}{125}\cdot x^2 + 25,$ $x \in \mathbb{R},$ beschreibt für $- 50 \leq x \leq 50$ den oberen Brückenbogen.
Alle Koordinaten haben die Einheit Meter $(\text{m}).$

Die Graphen der Funktionen $f$ und $g$ sind in der Anlage dargestellt.
Zeichne in die Abbildung 2 der Anlage das für die Modellierung genutzte Koordinatensystem ein.
Der untere Brückenbogen ist maximal $20\,\text{m}$ hoch.
Entscheide, ob das Verhältnis der maximalen Höhe des unteren Brückenbogens zu seiner Spannweite zwischen den Stützlagern kleiner als $\frac{1}{3}$ ist.
Weise nach, dass die Steigung des oberen Brückenbogens an seiner steilsten Stelle den Wert $65\,\%$ nicht überschreitet.
Zeige, dass die Modellierung des oberen Brückenbogens an der Stelle $x=-50$ knickfrei an eine Waagerechte anschließen kann.

(14 BE)

Im Rahmen einer Lichtshow soll das durch den oberen und den unteren Brückenbogen begrenzte Flächenstück zwischen den Stützlagern in drei Farben beleuchtet werden. Hierzu soll es parallel zur $y$ -Achse in drei Flächenstücke unterteilt werden. Für diese Unterteilung gibt es zwei Varianten:

Variante 1: Die Flächenstücke haben den gleichen Inhalt.
Variante 2: Die Flächenstücke sind gleich breit.

Untersuche, ob der Abstand der jeweils rechten Unterteilungsstellen für die beiden Varianten größer als ein Meter ist.

(9 BE)

Unabhängig vom Sachzusammenhang ist die Funktionenschar $p_a$ gegeben mit

$p_a(x) = a \cdot x^4 - 6 \cdot a \cdot x^2 + 1 ,$ $x \in \mathbb{R},$ $a \gt 0 .$

Die zweite Ableitung von $p_a$ ist gegeben durch $p_a‘‘(x)= 12\cdot a\cdot x^2-12\cdot a.$
Untersuche, für welche Werte von $a$ die zwei Wendepunkte von $p_a$ oberhalb der $x$ -Achse liegen.
Im Folgenden wird der zur $y$ -Achse symmetrische Graph einer ganzrationalen Funktion $q$ vom Grad $4$ betrachtet.
Die Abbildung 3 der Anlage zeigt einen Ausschnitt aus dem Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion $q‘.$
Begründe mit diesen Angaben die Anzahl der Extrempukte des zugehörigen vollständigen Graphen der Funktion $q.$

(11 BE)

Material

Graphen zu Teilaufgabe a)

Mathematische Grafik mit zwei Kurven und Punkten P, Q und f.

Abb. 2: Graphen von $f$ und $g$

Graph zu Teilaufgabe c)

Graph einer parabolischen Funktion mit Achsen x und y.

Abb. 3: Ausschnitt aus dem Graphen von $q‘$

Bildnachweise [nach oben]

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$\blacktriangleright$ Koordinatensystem einzeichnen

Grafik eines Koordinatensystems mit zwei Kurven und beschrifteten Punkten P, Q und g, f.

Abb. 1: Einzeichnen der Koordinatenachsen

$\blacktriangleright$ Verhältnis bestimmen

Der untere Brückenbogen ist maximal $20\,\text{m}$ hoch. Die Stützlager befinden sich in den Punkten $(-40\mid 0)$ und $(40\mid 0).$ Die Spannweite ist also $80\,\text{m}.$

$\frac{20\,\text{m}}{80\,\text{m}}= \frac{1}{4} \lt \frac{1}{3}$

Das Verhältnis zwischen der maximalen Höhe des unteren Brückenbogens und seiner Spannweite beträgt $\frac{1}{4}$ und ist damit kleiner als $\frac{1}{3}.$

$\blacktriangleright$ Steigung an der steilsten Stelle bestimmen

Der obere Brückenbogen wird durch den Graphen der Funktion $g$ beschrieben. Die Stelle des Graphen von $g$ mit der steilsten Steigung ist die Stelle, an der die erste Ableitung $g‘$ ihr Maximum annimmt.
Für die erste Ableitungsfunktion ergibt sich folgende Gleichung:

$\begin{array}[t]{rll} g‘(x)&=& \frac{4}{312.500}\cdot x^3 -\frac{2\cdot 2}{125}\cdot x \\[5pt] &=& \frac{1}{78.125} \cdot x^3 -\frac{4}{125}\cdot x \end{array}$

Mithilfe des Graphik-Menüs des GTRs ergibt sich:

Der Graph von $g‘$ besitzt einen Hochpunkt mit den Koordinaten $H(-28,87\mid 0,62).$

Graph einer mathematischen Funktion mit Achsen und Werten.

Abb. 2: 2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 4: maximum

Die steilste Steigung besitzt der Graph von $g$ also an der Stelle $x\approx -28,87.$ Dort beträgt die Steigung ca. $62\,\%.$ Damit überschreitet der obere Brückenbogen den Wert von $65\,\%$ an seiner steilsten Stelle nicht.

$\blacktriangleright$ Knickfreien Anschluss überprüfen

Für einen knickfreien Übergang an der Stelle $x=-50$ muss die Steigung des Graphen von $g$ der Steigung einer Waagerechten entsprechen, also $g‘(-50)=0$ sein.

Mit dem Graphik-Menü des GTRs ergibt sich:

$g‘(-50)=0$

Graph einer mathematischen Funktion auf einem Taschenrechner-Display.

Abb. 3: 2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 2: zero

Ein knickfreier Übergang in eine Waagerechte ist also möglich.

$\blacktriangleright$ Abstand der rechten Unterteilungsstellen berechen

1. Schritt: Unterteilungsstellen bei Variante 1 bestimmen

Bei Variante 1 sollen die drei Flächenstücke gleich groß sein. Die Gesamtgröße der Fläche, die beleuchtet werden soll, kann mithilfe eines Integrals über der Differenzenfunktion $g-f$ in den Grenzen $-40$ und $40$ berechnet werden.
Mithilfe des Graphik-Menüs des GTRs ergibt sich:

$A\approx 381,74$

Vollständige Lösung anzeigen

Grafische Darstellung eines Integrals mit blauer Fläche und mathematischen Angaben auf einem Taschenrechner.

Abb. 4: 2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 7

Die Größe der einzelnen Flächenstücke ist demnach:

$381,74\cdot \frac{1}{3} \approx 127,25$

Der Inhalt der rechten Fläche kann dann mithilfe eines Integrals in Abhängigkeit der rechten Unterteilungsstelle $b$ dargestellt werden. Durch Gleichsetzen ergibt sich folgende Gleichung, die mit dem Grpahik-Menü des GTRs gelöst werden kann:

$b\approx 13,21$

Vollständige Lösung anzeigen

Graph einer mathematischen Funktion mit einer roten Linie und Koordinatenachsen.

Abb. 5: 2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 2: zero

Bei der ersten Variante befindet sich die rechte Unterteilungsstelle bei $x \approx 13,21.$

2. Schritt: Unterteilungsstellen bei Variante 2 bestimmen

Bei der zweiten Variante sind die drei Flächenstücke gleich breit. Die gesamte Breite der Fläche beträgt $2\cdot 40\,\text{m} = 80\,\text{m}.$

$80\cdot \frac{1}{3} \approx 26,67$

Die rechte Unterteilungsstelle befindet sich demnach bei $40- 26,67 = 13,33.$ Der gesuchte Abstand beträgt also weniger als einen Meter.

$\blacktriangleright$ Parameterwerte bestimmen

Für einen Wendepunkt von $p_a$ mit der $x$ -Koordinate $x_W$ muss das notwendige Kriterium für Wendestellen $p_a‘‘(x_W)=0$ erfüllt sein. Der Term der zweiten Ableitungsfunktion $p_a‘‘$ ist in der Aufgabenstellung vorgegeben. Es ergibt sich also folgende Gleichung:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& -1 \\[5pt] x_2&=& 1 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Bei beiden handelt es sich um Wendestellen, da in der Aufgabenstellung vorgegeben ist, dass es zwei Wendepunkte gibt. Die zugehörigen $y$ -Koordinaten lauten:

$\begin{array}[t]{rll} p_a(-1)&=& -5a +1 \\[10pt] p_a(1)&=& -5a+1 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Beide Wendepunkte haben also die gleiche $y$ -Koordinate und liegen oberhalb der $x$ -Achse, wenn diese positiv ist:

$\frac{1}{5}\gt a$

Vollständige Lösung anzeigen

Da $a\gt 0$ schon vorgegeben ist, gilt:

Für alle $a\in \mathbb{R}$ mit $0\lt a \lt \frac{1}{5}$ liegen die beiden Wendepunkte von $p_a$ oberhalb der $x$ -Achse.

$\blacktriangleright$ Anzahl der Extrempunkte begründen

Bei $q$ handelt es sich um eine ganzrationale Funktion vierten Grades, deren Graph symmetrisch zur $y$ -Achse ist. Bei der ersten Ableitung $q‘$ handelt es sich demnach um eine ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Graph punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist.

Der Abbildung kann man entnehmen, dass der Graph von $q‘$ einen Hochpunkt im vierten Quadranten besitzt. Aufgrund der Symmetrie muss er also einen Tiefpunkt im zweiten Quadranten besitzen. Da der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades maximal zwei Extrempunkte besitzen kann, sind dies die einzigen beiden Extrempunkte.
Daraus lässt sich schließen, dass $q‘$ drei Nullstellen mit Vorzeichenwechsel besitzen muss. Solche Nullstellen sind exakt die Extremstellen der Ausgangsfunktion $q.$ Der Graph von $q$ hat also genau drei Extrempunkte.

Bildnachweise [nach oben]

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$\blacktriangleright$ Koordinatensystem einzeichnen

Abb. 1: Einzeichnen der Koordinatenachsen

$\blacktriangleright$ Verhältnis bestimmen

Der untere Brückenbogen ist maximal $20\,\text{m}$ hoch. Die Stützlager befinden sich in den Punkten $(-40\mid 0)$ und $(40\mid 0).$ Die Spannweite ist also $80\,\text{m}.$

$\frac{20\,\text{m}}{80\,\text{m}}= \frac{1}{4} \lt \frac{1}{3}$

Das Verhältnis zwischen der maximalen Höhe des unteren Brückenbogens und seiner Spannweite beträgt $\frac{1}{4}$ und ist damit kleiner als $\frac{1}{3}.$

$\blacktriangleright$ Steigung an der steilsten Stelle bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} g‘(x)&=& \frac{4}{312.500}\cdot x^3 -\frac{2\cdot 2}{125}\cdot x \\[5pt] &=& \frac{1}{78.125} \cdot x^3 -\frac{4}{125}\cdot x \end{array}$

Mithilfe des Graphik-Menüs des GTRs ergibt sich:

Der Graph von $g‘$ besitzt einen Hochpunkt mit den Koordinaten $H(-28,87\mid 0,62).$

Graphische Darstellung einer mathematischen Funktion mit Koordinaten und Maximalwerten.

Abb. 2: F5 (G-Solv) $\to$ F2: MAX

$\blacktriangleright$ Knickfreien Anschluss überprüfen

Für einen knickfreien Übergang an der Stelle $x=-50$ muss die Steigung des Graphen von $g$ der Steigung einer Waagerechten entsprechen, also $g‘(-50)=0$ sein.

Mit dem Graphik-Menü des GTRs ergibt sich:

$g‘(-50)=0$

Grafik einer mathematischen Funktion mit Koordinatensystem und einer blauen Kurve.

Abb. 3: F5 (G-Solv) $\to$ F6: $\triangleright$ $\to$ F1: Y-CAL

Ein knickfreier Übergang in eine Waagerechte ist also möglich.

$\blacktriangleright$ Abstand der rechten Unterteilungsstellen berechen

1. Schritt: Unterteilungsstellen bei Variante 1 bestimmen

$A\approx 381,74$

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Grafische Darstellung einer mathematischen Funktion mit einem roten Diagramm und Achsenbeschriftungen.

Abb. 4: F5 (G-Solv) $\to$ F6: $\triangleright$ $\to$ F3 $\to$ F1

Die Größe der einzelnen Flächenstücke ist demnach:

$381,74\cdot \frac{1}{3} \approx 127,25$

$b\approx 13,21$

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Mathematische Gleichung auf einem Bildschirm mit einer Lösung von 13.21043425.

Abb. 5: F2: Polynomgleichung $\to$ F4: 5

Bei der ersten Variante befindet sich die rechte Unterteilungsstelle bei $x \approx 13,21.$

2. Schritt: Unterteilungsstellen bei Variante 2 bestimmen

Bei der zweiten Variante sind die drei Flächenstücke gleich breit. Die gesamte Breite der Fläche beträgt $2\cdot 40\,\text{m} = 80\,\text{m}.$

$80\cdot \frac{1}{3} \approx 26,67$

Die rechte Unterteilungsstelle befindet sich demnach bei $40- 26,67 = 13,33.$ Der gesuchte Abstand beträgt also weniger als einen Meter.

$\blacktriangleright$ Parameterwerte bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& -1 \\[5pt] x_2&=& 1 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Bei beiden handelt es sich um Wendestellen, da in der Aufgabenstellung vorgegeben ist, dass es zwei Wendepunkte gibt. Die zugehörigen $y$ -Koordinaten lauten:

$\begin{array}[t]{rll} p_a(-1)&=& -5a +1 \\[10pt] p_a(1)&=& -5a+1 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Beide Wendepunkte haben also die gleiche $y$ -Koordinate und liegen oberhalb der $x$ -Achse, wenn diese positiv ist:

$\frac{1}{5}\gt a$

Vollständige Lösung anzeigen

Da $a\gt 0$ schon vorgegeben ist, gilt:

Für alle $a\in \mathbb{R}$ mit $0\lt a \lt \frac{1}{5}$ liegen die beiden Wendepunkte von $p_a$ oberhalb der $x$ -Achse.

$\blacktriangleright$ Anzahl der Extrempunkte begründen

Bildnachweise [nach oben]

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