Aufgabe 2A

Betrachtet wird ein Glücksrad mit zwei Sektoren. Beim Drehen dieses Glücksrads wird der Sektor „Stern“ mit einer Wahrscheinlichkeit von 40 % angezeigt.

Ein einfaches, grafisches Bild einer Uhr mit einem gelben Stern.

a) Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der Ergebnisse „Stern“, wenn das Rad dreimal gedreht wird.
Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ an.
Die Zufallsgröße $Y$ beschreibt die Anzahl der Ergebnisse „Stern“, wenn das Rad 90-mal gedreht wird.
Bestimmen Sie den Erwartungswert von $Y$ .
Erläutern Sie, wie man ohne weitere Berechnungen die Wahrscheinlichkeiten für $Y=30$ , $Y=33$ und $Y=36$ bei 90 Drehungen vergleichen kann.

(9P)

b) Ein Glücksrad steuert die Bewegung einer Spielfigur auf dem unten abgebildeten Spielfeld nach folgenden Regeln:

Zeigt das Rad „Stern“, so wird die Figur um ein Feld nach rechts gerückt.
Zeigt das Rad nicht „Stern“, so wird die Figur um ein Feld nach links gerückt.
Ist eines der beiden Zielfelder erreicht, so ist das Spiel beendet.
Das Glücksrad wird bei einem Spiel höchstens sechsmal gedreht.

Ziel

Start

Ziel

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Figur nach vier Schritten eines der Zielfelder erreicht.
Der Term $0,6^{6}+0,4^{4}+k\cdot 0,6\cdot0,4^{5}$ gibt die Wahrscheinlichkeit an, eines der Zielfelder zu erreichen.
Bestimmen Sie begründet den Wert für $k$ .

(8P)

(17P)

a) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeitsverteilung von $\boldsymbol{X}$ angeben

Deine Aufgabe ist es, die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen $X$ anzugeben. Der Aufgabenstellung kannst du dabei entnehmen, dass $X$ die Anzahl der Ergebnisse „ Stern “, beschreibt, wenn das Glücksrad dreimal gedreht wird.
Überlege dir nun, welche Arten der Wahrscheinlichkeitsverteilungen du kennst. Wähle anschließend die passende aus und gib die entsprechenden Parameter an. Gib anschließend die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Wahrscheinlichkeiten an, also $P(X=0)$ , $P(X=1)$ , $P(X=2)$ und $P(X=3)$ .

Du kennst beispielsweise die Binomialverteilung. Diese kommt häufig im Zusammenhang mit der Anzahl des Auftretens eines bestimmten Ereignisses vor.
Damit eine Zufallsvariable als binomialverteilt angenommen werden kann, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:

Das betrachtete Merkmal darf nur zwei verschiedene Ausprägungen besitzen.
Die Wahrscheinlichkeiten für diese Ausprägungen müssen in jedem Durchgang gleich bleiben (Ziehen mit Zurücklegen).

Überprüfe nun, ob $X$ diese Bedingungen erfüllt. Ist dies der Fall, so ist $X$ binomialverteilt.

zwei Ausprägungen

In diesem Fall beschreibt $X$ , wie oft das Ergebnis „Stern“, in drei Runden auftritt. Das heißt, dass hier nur die beiden Ausprägungen „Stern“, und „Stern“, betrachtet werden. Diese Bedingung ist also erfüllt.

gleiche Wahrscheinlichkeit

Bei jedem Dreh bleibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass „Stern“, gedreht wird gleich groß. Daher ist auch diese Bedingung erfüllt.
Die Zufallsvariable $X$ ist also binomialverteilt.
Eine Zufallsvariable ist immer mit zwei Parametern binomialverteilt:

$n$ ist der Stichprobenumfang.
$p$ ist die Wahrscheinlichkeit des Merkmals das betrachtet wird.

In unserem Fall ist $n =3$ , weil dreimal gedreht wird, und $p = 40 % = 0,4$ , da die Wahrscheinlichkeit dafür, dass „Stern“, gedreht wird $40 %$ beträgt.

Berechne nun noch die elemantaren Wahrscheinlichkeiten. Dies kannst du mit Hilfe der Formel für die Binomialverteilung oder mit deinem GTR tun. Die entsprechende Formel lautet:

$P(X=k) = \binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$

$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Formel für die Binomialverteilung

Setzt du hier $n = 3$ und $p = 0,4$ , sowie nacheinander $k = 0$ , $k =1$ , $k=2$ und $k =3$ ein, so erhältst du:

$\begin{array}{rll} P(X=0)&=&\binom{3}{0}\cdot 0,4^0\cdot (0,6)^{3}&\scriptsize \\ &\approx&0,216&\scriptsize\\ &=&21,6\,\%&\scriptsize \\ \end{array}$

$\begin{array}{rll} P(X=1)&=&\binom{3}{1}\cdot 0,4^1\cdot (0,6)^{2}&\scriptsize \\ &\approx&0,432&\scriptsize \\ &=&43,2\,\%&\scriptsize \ \\ \end{array}$

$\begin{array}{rll} P(X=2)&=&\binom{3}{2}\cdot 0,4^2\cdot (0,6)^{1}&\scriptsize \\ &\approx&0,288&\scriptsize \\ &=&28,8\,\%&\scriptsize \\ \end{array}$

$\begin{array}{rll} P(X=3)&=&\binom{3}{3}\cdot 0,4^3\cdot (0,6)^{0}&\scriptsize \\ &\approx&0,064&\scriptsize \\ &=&6,4\,\%&\scriptsize \\ \end{array}$

$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR

Hierzu kannst du den Binompdf-Befehl deines GTR verwenden. Diesen findest du unter

2ND VARS(DISTR) A: Binompdf

Dort musst du die entsprechenden Parameter eingeben. In dem ersten Bild ist dies beispielhaft für $k=0$ dargestellt.

Bildschirmansicht einer statistischen Berechnung mit binomialer Wahrscheinlichkeit und Ergebnissen.

Du erhältst dann:

$P(X=0) = 21,6\,\%$ , $P(X=1) = 43,2\,\%$ , $P(X=2) = 28,8\,\%$ und $P(X=3) = 6,4\,\%$

Die Zufallsvariable $X$ ist binomialverteilt mit den Parametern $n =3$ und $p = 0,4$ . Dabei gilt:

$P(X=0) = 21,6\,\%$ , $P(X=1) = 43,2\,\%$ , $P(X=2) = 28,8\,\%$ und $P(X=3) = 6,4\,\%$

$\blacktriangleright$ Erwartungswert von $\boldsymbol{Y}$ bestimmen

Hier sollst du nun den Erwartungswert einer neuen Zufallsvariablen $Y$ bestimmen. Der Aufgabenstellung kannst du dabei entnehmen, dass $Y$ die Anzahl der Ergebnisse „Stern“, beschreibt, wenn 90-mal gedreht wird. Aus den gleichen Gründen wie oben, kann auch $Y$ als binomialverteilt angenommen werden mit den Parametern $n = 90$ und $p = 0,4$ .
Den Erwartungswert $\mu$ einer binomialverteilten Zufallsvariablen kannst du mit Hilfe folgender Formel berechnen:

$\mu = n\cdot p$

Da du $n = 90$ und $p = 0,4$ kennst, kannst du hier einfach einsetzen:

$\begin{array}{rll} \mu&=&n\cdot p&\scriptsize n = 90; p = 0,4 \\ &=&90\cdot 0,4&\scriptsize \\ &=&36&\scriptsize \\ \end{array}$

Der Erwartungswert der Zufallsvariablen $Y$ beträgt $\mu = 36$ .

$\blacktriangleright$ Vergleich der drei Wahrscheinlichkeiten

Nun sollst du angeben, wie man die drei Wahrscheinlichkeiten für $Y= 30$ , $Y= 33$ und $Y= 36$ vergleichen kann ohne diese zu berechnen.
Da du bisher nur die Wahrscheinlichkeitsverteilung und den Erwartungswert von $Y$ kennst, muss dieser Vergleich mit Hilfe dieser Informationen stattfinden. Dabei kann dir die folgende Information helfen:

Ist eine Zufallsvariable $X$ binomialverteilt mit dem Erwartungswert $\mu$ , so liegt das Maximum der Verteilung bei $\mu$ . Das heißt $P(X =\mu)$ ist größer als alle anderen Wahrscheinlichkeiten $P(X=k)$ , wenn $k \neq \mu$ gilt.
Je weiter andere Werte für $k$ von $\mu$ abweichen, desto kleiner ist auch die Wahrscheinlichkeit $P(X = k)$ .

Diese Information kannst du nun mit Hilfe von $\mu = 36$ auf die gegebene Problemstellung übertragen.

Da $Y$ binomialverteilt ist und für den Erwartungswert $\mu = 36$ gilt, ist $P(Y= 36)$ das Maximum. Da $30$ stärker vom Erwartungswert $\mu = 36$ abweicht, als $33$ muss $P(Y = 30)$ kleiner sein als $P(Y = 33)$ . Damit gilt insgesamt:

$P(Y= 30) < P(Y= 33) < P(Y = 36)$ .

b) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

In diesem Aufgabenteil ist dir nun das folgende Spielfeld gegeben:

Ziel

Start

Ziel

Auf diesem Feld soll sich eine Spielfigur befinden. Diese startet auf dem Feld „Start“, und bewegt sich in jedem Schritt ein Feld weiter. Dabei wird sie von einem Glücksrad, wie dem aus Aufgabenteil a), gesteuert. Wird „ Stern“, gedreht, so bewegt sich die Figur ein Feld nach rechts. Andernfalls bewegt sie sich nach links. Das Spiel ist beendet, wenn die Figur eines der beiden Felder „Ziel“, erreicht hat oder sechsmal gedreht wurde.

Du sollst nun die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass nach $4$ Schritten eines der beiden „Ziel“-Felder erreicht ist.
Überlege dir dazu zunächst welche Möglichkeiten es geben kann, damit die Figur nach vier Schritten auf einem „Ziel“-Feld steht und was dementsprechend mit dem Glücksrad gedreht werden muss.

Zählst du die Felder, die die Spielfigur mindestens nach rechts bewegt werden muss damit es das rechte „Ziel“-Feld erreicht, so erhältst du, dass dies mindestens $4$ sein müssen.

Das linke „Ziel“-Feld kann die Figur erst nach mindestens $6$ Schritten nach links erreichen.

In unserem Fall sollen genau $4$ Schritte gespielt werden. Mit $4$ Schritten kann die Figur nur das rechte „ Ziel“-Feld erreichen.
Dies geschieht auch nur, wenn bei jedem der vier Schritte das Glücksrad so gedreht wird, dass die Figur nach rechts bewegt wird.

Insgesamt suchst du also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Glücksrad viermal hintereinander „ Stern“, zeigt. Diese kannst du mit Hilfe der Pfadregeln berechnen. Mit $p = 0,4$ ergibt sich:

$P(RRRR)= p^4 = 0,4^4 \approx 0,0256 = 2,56\,\%$ .

Die Wahrscheinlichkeit dafür, ein „Ziel“-Feld in vier Schritten zu erreichen, beträgt ca. $0,0256 = 2,56\,\%$ .

$\blacktriangleright$ Wert für $\boldsymbol{k}$ bestimmen

Dir ist hier der folgende Term gegeben:

$0,6^{6}+0,4^{4}+k\cdot 0,6\cdot0,4^{5}$

Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass dieser die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass innerhalb der maximal sechs Schritte ein „Ziel“-Feld erreicht wird.

Deine Aufgabe ist es nun den Wert des Parameters $k$ begründet zu bestimmen.

Mache dir dazu erst einmal klar, welche Bedeutung die einzelnen Summanden des Terms haben und betrachte anschließend den Summanden, der das $k$ enthält.
Der Term besteht aus drei Summanden:

$0,6^{6}$ $+$ $0,4^{4}$ $+$ $k\cdot 0,6\cdot0,4^{5}$

Der Summand $0,6^{6}$ entspricht $(1-p)^6$ . Dies beschreibt genau die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei $6$ Versuchen sechs mal „nicht Stern“, gedreht wird, also der Wahrscheinlichkeit dafür, dass im Spiel alle sechs Schritte ausgenutzt werden und die Spielfigur sechsmal hintereinander nach links bewegt wird. Dieser Summand beschreibt also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Spielfigur das linke „Ziel“-Feld erreicht.

Der Summand $0,4^{4}$ beschreibt dementsprechend die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Spielfigur nach vier Schritten, also auf direktem Weg, das rechte „Ziel“-Feld erreicht.

Da das Spiel spätestens dann beendet ist, wenn sechs Schritte gemacht wurden, gibt es noch die Möglichkeit, dass die Spielfigur erst ein Feld nach links und anschließend fünf Felder nach rechts bewegt wird. Genauso kann sie zuerst ein Feld nach rechts, dann ein Feld nach links und wieder vier Felder nach rechts bewegt werden usw. Insgesamt ergeben sich so die möglichen Abfolgen von Links- und Rechtsbewegungen mit:

$$ LRRRRR \hspace{3cm} RLRRRR \hspace{3cm} RRLRRR \hspace{3cm} RRRLRR $$

Insgesamt sind dies vier Möglichkeiten, bei denen die Figur jeweils ein Feld nach links und fünf Felder nach rechts bewegt wird und so das rechte „Ziel“-Feld in sechs Schritten erreicht.

Die Wahrscheinlichkeit für jeweils eine dieser Möglichkeiten wird durch $0,6\cdot0,4^{5}$ beschrieben. $k$ beschreibt also die Anzahl dieser Möglichkeiten, die hier mit vier gegeben ist. Daher muss $k = 4$ gelten.

a) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeitsverteilung von $\boldsymbol{X}$ angeben

Das betrachtete Merkmal darf nur zwei verschiedene Ausprägungen besitzen.
Die Wahrscheinlichkeiten für diese Ausprägungen müssen in jedem Durchgang gleich bleiben (Ziehen mit Zurücklegen).

Überprüfe nun, ob $X$ diese Bedingungen erfüllt. Ist dies der Fall, so ist $X$ binomialverteilt.

zwei Ausprägungen

gleiche Wahrscheinlichkeit

$n$ ist der Stichprobenumfang.
$p$ ist die Wahrscheinlichkeit des Merkmals das betrachtet wird.

In unserem Fall ist $n =3$ , weil dreimal gedreht wird, und $p = 40 % = 0,4$ , da die Wahrscheinlichkeit dafür, dass „Stern“, gedreht wird $40 %$ beträgt.

Berechne nun noch die elemantaren Wahrscheinlichkeiten. Dies kannst du mit Hilfe der Formel für die Binomialverteilung oder mit deinem GTR tun. Die entsprechende Formel lautet:

$P(X=k) = \binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$

$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Formel für die Binomialverteilung

Setzt du hier $n = 3$ und $p = 0,4$ , sowie nacheinander $k = 0$ , $k =1$ , $k=2$ und $k =3$ ein, so erhältst du:

$\begin{array}{rll} P(X=0)&=&\binom{3}{0}\cdot 0,4^0\cdot (0,6)^{3}&\scriptsize \\ &\approx&0,216&\scriptsize\\ &=&21,6\,\%&\scriptsize \\ \end{array}$

$\begin{array}{rll} P(X=1)&=&\binom{3}{1}\cdot 0,4^1\cdot (0,6)^{2}&\scriptsize \\ &\approx&0,432&\scriptsize \\ &=&43,2\,\%&\scriptsize \ \\ \end{array}$

$\begin{array}{rll} P(X=2)&=&\binom{3}{2}\cdot 0,4^2\cdot (0,6)^{1}&\scriptsize \\ &\approx&0,288&\scriptsize \\ &=&28,8\,\%&\scriptsize \\ \end{array}$

$\begin{array}{rll} P(X=3)&=&\binom{3}{3}\cdot 0,4^3\cdot (0,6)^{0}&\scriptsize \\ &\approx&0,064&\scriptsize \\ &=&6,4\,\%&\scriptsize \\ \end{array}$

$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: GTR

Hierzu kannst du den Binompdf-Befehl deines GTR verwenden. Diesen findest du im STAT-Menü unter

F5: DIST F5: BINM A: F1: Bpd

Dort musst du die entsprechenden Parameter eingeben. In dem linken Bild ist dies beispielhaft für $k=0$ dargestellt.

Grafische Darstellung einer Binomialverteilung mit verschiedenen Wahrscheinlichkeiten und Einstellungen.

Du erhältst dann:

$P(X=0) = 21,6\,\%$ , $P(X=1) = 43,2\,\%$ , $P(X=2) = 28,8\,\%$ und $P(X=3) = 6,4\,\%$

Die Zufallsvariable $X$ ist binomialverteilt mit den Parametern $n =3$ und $p = 0,4$ . Dabei gilt:

$P(X=0) = 21,6\,\%$ , $P(X=1) = 43,2\,\%$ , $P(X=2) = 28,8\,\%$ und $P(X=3) = 6,4\,\%$

$\blacktriangleright$ Erwartungswert von $\boldsymbol{Y}$ bestimmen

$\mu = n\cdot p$

Da du $n = 90$ und $p = 0,4$ kennst, kannst du hier einfach einsetzen:

$\begin{array}{rll} \mu&=&n\cdot p&\scriptsize n = 90; p = 0,4 \\ &=&90\cdot 0,4&\scriptsize \\ &=&36&\scriptsize \\ \end{array}$

Der Erwartungswert der Zufallsvariablen $Y$ beträgt $\mu = 36$ .

$\blacktriangleright$ Vergleich der drei Wahrscheinlichkeiten

Diese Information kannst du nun mit Hilfe von $\mu = 36$ auf die gegebene Problemstellung übertragen.

$P(Y= 30) < P(Y= 33) < P(Y = 36)$ .

b) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

In diesem Aufgabenteil ist dir nun das folgende Spielfeld gegeben:

Ziel

Start

Ziel

Zählst du die Felder, die die Spielfigur mindestens nach rechts bewegt werden muss damit es das rechte „Ziel“-Feld erreicht, so erhältst du, dass dies mindestens $4$ sein müssen.

Das linke „Ziel“-Feld kann die Figur erst nach mindestens $6$ Schritten nach links erreichen.

$P(RRRR)= p^4 = 0,4^4 \approx 0,0256 = 2,56\,\%$ .

Die Wahrscheinlichkeit dafür, ein „Ziel“-Feld in vier Schritten zu erreichen, beträgt ca. $0,0256 = 2,56\,\%$ .

$\blacktriangleright$ Wert für $\boldsymbol{k}$ bestimmen

Dir ist hier der folgende Term gegeben:

$0,6^{6}+0,4^{4}+k\cdot 0,6\cdot0,4^{5}$

Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass dieser die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass innerhalb der maximal sechs Schritte ein „Ziel“-Feld erreicht wird.

Deine Aufgabe ist es nun den Wert des Parameters $k$ begründet zu bestimmen.

Mache dir dazu erst einmal klar, welche Bedeutung die einzelnen Summanden des Terms haben und betrachte anschließend den Summanden, der das $k$ enthält.
Der Term besteht aus drei Summanden:

$0,6^{6}$ $+$ $0,4^{4}$ $+$ $k\cdot 0,6\cdot0,4^{5}$

Der Summand $0,4^{4}$ beschreibt dementsprechend die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Spielfigur nach vier Schritten, also auf direktem Weg, das rechte „Ziel“-Feld erreicht.

$$ LRRRRR \hspace{3cm} RLRRRR \hspace{3cm} RRLRRR \hspace{3cm} RRRLRR $$

Insgesamt sind dies vier Möglichkeiten, bei denen die Figur jeweils ein Feld nach links und fünf Felder nach rechts bewegt wird und so das rechte „Ziel“-Feld in sechs Schritten erreicht.