Aufgabe 2C

Betrachtet wird die Gruppe der in Deutschland lebenden Personen, die eine Pkw-Fahrerlaubnis haben. $47,5\,\%$ dieser Personen interessieren sich für den Kauf eines Elektroautos, $43,4 \,\%$ kaufen in Bioläden ein, $34,7 \,\%$ interessieren sich nicht für den Kauf eines Elektroautos und kaufen nicht in Bioläden ein.

Der beschriebene Sachverhalt wird in einer Vierfeldertafel dargestellt. Dazu werden die folgenden Ereignisse betrachtet:

$B:$

Eine Person mit Pkw-Fahrerlaubnis kauft in Bioläden ein.

$E:$

Eine Person mit Pkw-Fahrerlaubnis interessiert sich für den Kauf eines Elektroautos.

Fülle die Vierfeldertafel vollständig aus.

(3 BE)

	$E$	$\overline{E}$	Gesamt
$B$
$\overline{B}$
Gesamt

Beurteile die Gültigkeit der folgenden Aussage:
In der betrachteten Gruppe interessieren sich unter denjenigen, die in Bioläden einkaufen, mehr als die Hälfte für den Kauf eines Elektroautos.

(2 BE)

Aus der betrachteten Gruppe werden 30 Personen zufällig ausgewählt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens zwei Drittel der ausgewählten Personen am Kauf eines Elektroautos nicht interessiert sind.

(3 BE)

Unter den Elektroautos eines Herstellers weisen $30 \;\%$ mindestens eines der beiden Ausstattungsmerkmale $A$ bzw. $B$ auf; $10 \,\%$ der Elektroautos dieses Herstellers weisen das Merkmal $A$ auf. Das abgebildete Baumdiagramm stellt den Sachverhalt dar. Die beiden Merkmale treten bei den Elektroautos des Herstellers unabhängig voneinander auf.

ni abi ga gtr 2022 aufgabe 2c baumdiagramm

Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass ein zufällig ausgewähltes Elektroauto des Herstellers keines der beiden Merkmale aufweist.

(1 BE)

Ermittle den im Baumdiagramm genannten Anteil $x.$
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes Elektroauto des Herstellers das Merkmal $B$ aufweist.

(4 BE)

Beschreibe im Sachzusammenhang ein Zufallsexperiment, bei dem die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit dem Term $1-10 \cdot 0,3 \cdot 0,7^{9}-0,7^{10}$ berechnet werden kann.
Gib dieses Ereignis an.

(3 BE)

Zehn Elektroautos des Herstellers werden nacheinander betrachtet.
Ermittle, wie viele Autos mit dem Merkmal $A$ sich unter diesen zehn Autos mindestens befinden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $90 \,\%$ von den ersten drei betrachteten Autos mindestens eines das Merkmal $A$ aufweist.

(4 BE)

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	$E$	$\overline{E}$	Gesamt
$B$	$25,6 \%$	$17,8\%$	$43,4\%$
$\overline{B}$	$21,9 \%$	$34,7\%$	$56,6\%$
Gesamt	$47,5\%$	$52,5\%$	$100\%$

Die Aussage ist richtig, da $25,6 \%$ größer ist als $17,8 \%$ .

$X$ : Anzahl der Personen mit Pkw-Fahrerlaubnis, die nicht am Kauf eines Elektroautos interessiert sind
$X$ ist binomialverteilt mit $n=30, p=0,525.$

$P(X \geq 20) \approx 0,084$

$0,7$

$x=1-\dfrac{0,7}{0,9}=\dfrac{2}{9}$

Da die Merkmale $A$ und $B$ unabhängig voneinander auftreten, gilt:

$P(B)=P(B \mid \bar{A})=\frac{2}{9}$

Zufallsexperiment: Zehn Elektroautos des Herstellers werden zufällig ausgewählt.

Ereignis: „Unter den zufällig ausgewählten Elektroautos weisen mindestens zwei eines der beiden Merkmale A und B auf."

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich über das Gegenereignis berechnen. Dieses lautet: Die ersten drei von zehn betrachteten Autos weisen nicht das Merkmal A auf.

gesuchte Anzahl: $k$

Aus $1-\dfrac{10-k}{10} \cdot \dfrac{9-k}{9} \cdot \dfrac{8-k}{8}$ $\geq 0,9$ folgt $k \geq 5$

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