Aufgabe 1A

In einem Krankenhaus muss das Operationsbesteck sterilisiert werden. Es wird nach klassischer Definition als steril bezeichnet, wenn sich keine lebenden Erreger mehr darauf befinden. Die Sterilisation mit heißem Wasserdampf kann näherungsweise durch die Funktion $N$ mit $N(t) = N_0 \cdot e^{- k \cdot t}$ modelliert werden. Hierbei bezeichnet $N(t)$ die Anzahl der noch lebenden Erreger, $N_0$ die Anzahl der zu Beginn lebenden Erreger, $t$ die Zeit in Minuten $\text{(min)}$ nach Beginn des Sterilisationsprozesses und $k$ eine positive Konstante in $\frac{1}{\text{min}}.$

Auf einem Operationsbesteck befinden sich $1.000.000$ lebende Erreger, die durch eine Dampfsterilisation mit $k = 0,25$ abgetötet werden sollen.
Bestimme die Anzahl der $30$ Minuten nach dem Beginn der Dampfsterilisation noch lebenden Erreger.
Berechne auf Minuten genau den frühesten Zeitpunkt, zu dem sich auf dem Operationsbesteck weniger als $100$ lebende Erreger befinden.
Beurteile die Eignung des Modells im Hinblick auf die klassische Definition von „steril“.
Der Wert für die Konstante $k$ soll nun verändert werden.
Berechne den Wert für $k$ so, dass auf dem Operationsbesteck nach $15$ Minuten noch $25\,\%$ der Erreger leben.

(12 BE)

Untersuche, wie sich eine Verdoppelung von $N_0$ auf die Änderungsrate von $N$ auswirkt.
Als Maß für die Widerstandsfähigkeit der Erreger wird der sogenannte D-Wert verwendet. Er gibt die Zeit an, wie lange ein Sterilisationsprozess auf die Erreger einwirken muss, um eine Reduzierung auf ein Zehntel ihrer aktuellen Anzahl zu erreichen.
Zeige, dass für den D-Wert gilt:

$D=\dfrac{\ln\left(10 \right)}{k}$

Vergleiche die Bedeutung von $N(30)$ und $\displaystyle\int_{0}^{30}N‘(t)\;\mathrm dt$ im Sachzusammenhang.

(12 BE)

Unabhängig vom Sachzusammenhang wird die Funktion $f$ mit $f(x)= \dfrac{10}{1+9\cdot \mathrm e^{-2\cdot x}},$ $x\in\mathbb{R},$ betrachtet. Ohne Nachweis kannst du verwenden, dass der Graph von $f$ punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt ist.
Die Abbildung in der Anlage zeigt den Graphen von $f$ mit der Wendestelle $x_W.$
Gegeben ist folgende Gleichung:

Gleichung anzeigen

Zeichne die zu den beiden Integralen gehörigen Flächenstücke in die Abbildung der Anlage ein.
Erläutere ausgehend davon die Richtigkeit der obigen Gleichung.

(10 BE)

Material

Anlage - Graph zu Teilaufgabe c)

Graph einer Funktion mit Achsenbeschriftung und asymptotischem Verhalten.

Abb. 1: Graph von $f$

Bildnachweise [nach oben]

[1]

$\blacktriangleright$ Anzahl der noch lebenden Erreger berechnen

Aus der Aufgabenstellung ergibt sich:

$N_0= 1.000.000$ und $k=0,25$

Die Anzahl der nach $t$ Minuten seit Beobachtungsbeginn noch lebenden Bakterien wird daher durch folgende Funktion beschrieben:

$N(t)= 1.000.000 \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot t}$

Gesucht ist also $N(30):$

$N(30)\approx 553$

Vollständige Lösung anzeigen

$30$ Minuten nach Beginn der Sterilisation leben noch ca. $553$ Erreger.

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt berechnen

Es ist das kleinste $x$ gesucht mit $N(t) \lt 100.$ Mit dem Define-Befehl und dem solve-Befehl des CAS ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} N(t)&=&100\\[5pt] t &\approx& 36,8 \end{array}$

Mathematische Gleichung und Berechnung in einem Software-Interface. Ergebnis für x.

Abb. 1: Gleichung mit dem CAS lösen

Da der Bestand der Erreger stetig fällt, ist also $37$ Minuten nach Beginn der Sterilisation der erste Zeitpunkt auf Minuten gerundet, zu dem weniger als $100$ Erreger übrig sind.

$\blacktriangleright$ Eignung des Modells beurteilen

Bei $N$ handelt es sich um eine Exponentialfunktion der Form $N(t)= a\cdot \mathrm e^{b\cdot t}.$ Diese kann für $a\neq 0$ keine Nullstelle besitzen. Es gibt also keinen Wert für $t,$ für den $N(t)=0$ oder $N(t)\lt 0$ gilt. Es kann nach diesem Modell also streng genommen keinen Zeitpunkt geben, zu dem keine lebenden Erreger mehr existieren.
Nach der klassischen Definition ist der Zustand „steril“ erst erreicht, wenn keine lebenden Erreger mehr vorhanden sind. Dieser kann nach dem Modell nicht erreicht werden.
Da Erreger aber nur in ganzzahliger Anzahl vorkommen können, kann man zum Beispiel davon ausgehen, dass ab dem ersten Zeitpunkt $t$ mit $N(t)\lt 1,$ oder einer noch niedrigeren Schranke für einen Sicherheitsabschlag, keine lebenden Erreger mehr vorhanden sind. Streng genommen wäre das Modell so aber nicht geeignet, da sich kein sicherer Zeitpunkt bestimmen lässt, zudem definitiv kein lebender Erreger mehr übrig ist.

$\blacktriangleright$ Wert für $\boldsymbol{k}$ berechnen

Es soll gelten $N(15)= 0,25\cdot 1.000.000:$

$0,092\approx k$

Vollständige Lösung anzeigen

Für $k\approx 0,092$ leben nach $15$ Minuten noch ca. $25\,\%$ der Erreger.

$\blacktriangleright$ Auswirkung der Verdopplung untersuchen

Für die Änderungsrate ergibt sich folgende Funktionsgleichung:

$N‘(t)=...$

Vollständige Lösung anzeigen

Bei verdoppeltem Anfangsbestand $N_0$ ergibt sich:

$N‘(t)= 2\cdot N‘(t)$

Vollständige Lösung anzeigen

Bei Verdopplung des Anfangsbestands verdoppelt sich also auch die Änderungsrate zu jedem Zeitpunkt $t.$

$\blacktriangleright$ Formel für den D-Wert zeigen

Der D-Wert ist der Wert $t=D,$ für den zum ersten mal $N(D) \lt \frac{1}{10}\cdot N_0$ ist. Gleichsetzen liefert:

$\begin{array}[t]{rll} N(D)&=& \frac{1}{10}\cdot N_0 \\[5pt] ... \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

$\blacktriangleright$ Bedeutung der Werte im Sachzusammenhang vergleichen

Da $N$ die Anzahl der Erreger beschreibt, beschreibt der Wert $N(30)$ die Anzahl der Erreger $30$ Minuten nach Sterilisationsbeginn.

Der Wert $\displaystyle\int_{0}^{30}N‘(t)\;\mathrm dt$ beschreibt dagegen die Abnahme des Bestandes in den ersten $30$ Minuten, also wie viele Erreger in den ersten $30$ Minuten abgetötet wurden.

Die beiden Werte unterscheiden sich also um den Summanden des Anfangsbestands der Erreger.

$\blacktriangleright$ Flächenstücke einzeichnen

Grafik mit einer Kurve und schattierten Bereichen, die mathematische Konzepte darstellt.

Abb. 2: Einzeichnen der Flächenstücke

$\blacktriangleright$ Richtigkeit der Gleichung erläutern

Der Graph von $f$ besitzt zwei waagerechte Asymptoten, die $x$ -Achse und die Gerade zu $y = 10.$
Zudem ist in der Aufgabenstellung angegeben, dass der Graph von $f$ punktsymmetrisch zum Wendepunkt ist.

Aufgrund dieser beiden Eigenschaften ergibt die Differenz des Rechtecks, das von der Gerade $y=10,$ der $x$ -Achse und den Geraden zu $x=x_W$ und $x = x_W-a$ eingeschlossen wird, und der Fläche $A_1$ eine Fläche der Größe $A_2.$

Die Flächen $A_1$ und $A_2$ können also zu einem Rechteck zusammengesetzt werden, das die Seitenlängen $10$ und $a$ und demnach den Flächeninhalt $10\cdot a$ besitzt.

Die Summe der beiden Flächeninhalte, die durch die angegebenen Integrale berechnet werden können, ergibt demnach $10\cdot a.$

Bildnachweise [nach oben]

[1],[2]

$\blacktriangleright$ Anzahl der noch lebenden Erreger berechnen

Aus der Aufgabenstellung ergibt sich:

$N_0= 1.000.000$ und $k=0,25$

Die Anzahl der nach $t$ Minuten seit Beobachtungsbeginn noch lebenden Bakterien wird daher durch folgende Funktion beschrieben:

$N(t)= 1.000.000 \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot t}$

Gesucht ist also $N(30):$

$N(30)\approx 553$

Vollständige Lösung anzeigen

$30$ Minuten nach Beginn der Sterilisation leben noch ca. $553$ Erreger.

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt berechnen

Es ist das kleinste $x$ gesucht mit $N(t) \lt 100.$ Mit dem Define-Befehl und dem solve-Befehl des CAS ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} N(t)&=&100\\[5pt] t &\approx& 36,8 \end{array}$

Mathematische Gleichung und Lösung in einer Softwareanwendung.

Abb. 1: Gleichung lösen mit dem CAS

Da der Bestand der Erreger stetig fällt, ist also $37$ Minuten nach Beginn der Sterilisation der erste Zeitpunkt auf Minuten gerundet, zu dem weniger als $100$ Erreger übrig sind.

$\blacktriangleright$ Eignung des Modells beurteilen

$\blacktriangleright$ Wert für $\boldsymbol{k}$ berechnen

Es soll gelten $N(15)= 0,25\cdot 1.000.000:$

$0,092\approx k$

Vollständige Lösung anzeigen

Für $k\approx 0,092$ leben nach $15$ Minuten noch ca. $25\,\%$ der Erreger.

$\blacktriangleright$ Auswirkung der Verdopplung untersuchen

Für die Änderungsrate ergibt sich folgende Funktionsgleichung:

$N‘(t)=...$

Vollständige Lösung anzeigen

Bei verdoppeltem Anfangsbestand $N_0$ ergibt sich:

$N‘(t)= 2\cdot N‘(t)$

Vollständige Lösung anzeigen

Bei Verdopplung des Anfangsbestands verdoppelt sich also auch die Änderungsrate zu jedem Zeitpunkt $t.$

$\blacktriangleright$ Formel für den D-Wert zeigen

Der D-Wert ist der Wert $t=D,$ für den zum ersten mal $N(D) \lt \frac{1}{10}\cdot N_0$ ist. Gleichsetzen liefert:

$\begin{array}[t]{rll} N(D)&=& \frac{1}{10}\cdot N_0 \\[5pt] ... \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

$\blacktriangleright$ Bedeutung der Werte im Sachzusammenhang vergleichen

Da $N$ die Anzahl der Erreger beschreibt, beschreibt der Wert $N(30)$ die Anzahl der Erreger $30$ Minuten nach Sterilisationsbeginn.

Der Wert $\displaystyle\int_{0}^{30}N‘(t)\;\mathrm dt$ beschreibt dagegen die Abnahme des Bestandes in den ersten $30$ Minuten, also wie viele Erreger in den ersten $30$ Minuten abgetötet wurden.

Die beiden Werte unterscheiden sich also um den Summanden des Anfangsbestands der Erreger.

$\blacktriangleright$ Flächenstücke einzeichnen

Abb. 2: Einzeichnen der Flächenstücke

$\blacktriangleright$ Richtigkeit der Gleichung erläutern

Die Flächen $A_1$ und $A_2$ können also zu einem Rechteck zusammengesetzt werden, das die Seitenlängen $10$ und $a$ und demnach den Flächeninhalt $10\cdot a$ besitzt.

Die Summe der beiden Flächeninhalte, die durch die angegebenen Integrale berechnet werden können, ergibt demnach $10\cdot a.$

Bildnachweise [nach oben]

[1],[2]