Aufgabe 2B

Eine Fluggesellschaft setzt auf einer bestimmten Flugstrecke immer Flugzeuge des gleichen Typs mit $320$ Sitzplätzen ein. Kunden der Fluggesellschaft, die einen Flug für diese Strecke gebucht haben, treten diesen erfahrungsgemäß mit einer Wahrscheinlichkeit von $5\,\%$ nicht an. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der Passagiere, die den Flug nicht antreten.

Für ein Flugzeug dieses Typs sind für einen zufällig ausgewählten Flug auf dieser Strecke $320$ Tickets verkauft worden. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in diesem Flugzeug

genau $12$ Plätze frei bleiben,
mindestens $10$ aber höchstens $16$ Plätze frei bleiben.

(5 BE)

Um Flugzeuge besser auszulasten, ist die Fluggesellschaft auf der betrachteten Strecke dazu übergegangen, für ihre Flüge mehr Tickets zu verkaufen als Plätze vorhanden sind. Passagiere, die nicht mit dem gebuchten Flugzeug transportiert werden können, werden von der Fluggesellschaft entschädigt. Betrachtet werden zufällig ausgewählte Flüge, für die jeweils $368$ Tickets verkauft worden sind. Begründe, dass der Term

$\binom{368}{30}\cdot 0,05^{30}\cdot 0,95^{338}$

die Wahrscheinlichkeit dafür beschreibt, dass genau $18$ Personen von der Fluggesellschaft entschädigt werden müssen.

Auf der betrachteten Strecke wollen $321$ Personen den Flug antreten. Die Passagiere werden von der Fluggesellschaft angesprochen, ob sie den Flug freiwillig später antreten würden. Passagiere entscheiden sich unabhängig voneinander mit einer Wahrscheinlichkeit von $15\,\%$ für einen späteren Flug.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Mitarbeiter genau $10$ Passagiere ansprechen muss, um einen Passagier zu finden, der freiwillig später fliegt.

(7 BE)

Auf einer anderen Strecke fliegen Flugzeuge mit $240$ Plätzen. Betrachtet werden zufällig ausgewählte Flüge, für die jeweils $264$ Tickets verkauft worden sind. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei dieser Überbuchung mindestens eine Person nicht transportiert werden kann, beträgt $12,5\,\%.$ Bestimme einen Näherungswert für die Wahrscheinlichkeit $p,$ mit der Kunden, die einen Flug auf dieser Strecke gebucht haben, diesen auch tatsächlich antreten.

(5 BE)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten berechnen

Betrachtet wird die Zufallsgröße $X$ aus der Aufgabenstellung. Diese kann als binomialverteilt angenommen werden, da die angegebene Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Passagier den Flug nicht antritt für jede Person gilt, unabhängig davon, wie viele der anderen Personen den Flug nicht antreten. Für die entsprechenden Parameter gilt $n= 320$ und $p= 0,05.$

Mit den Befehlen für die Binomialverteilung des CAS ergeben sich dann folgende Wahrscheinlichkeiten:

$\begin{array}[t]{rll} &P(X= 12)\\[5pt] \approx& 6,57\,\% \\[10pt] &P(10\leq X \leq 16)\\[5pt] \approx&52,64\,\% \\[5pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Dialogfenster für die Berechnung einer Binomialverteilung mit Eingabefeldern.

Abb. 1: menu $\to$ 5: Wahrscheinlichkeit $\to$ 5: Verteilung $\to$ D: Binomial Pdf

Eingabemaske für eine binomiale Verteilung mit verschiedenen Parametern.

Abb. 2: menu $\to$ 5: Wahrscheinlichkeit $\to$ 5: Verteilung $\to$ E: BinomialCdf

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $6,57\,\%$ bleiben genau $12$ Plätze frei.
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $52,64\,\%$ bleiben mindestens $10$ aber höchstens $16$ Plätze frei.

$\blacktriangleright$ Bedeutung des Terms begründen

Der Term gibt die Wahrscheinlichkeit $P(Y = 30)$ an, wobei $Y$ die Anzahl der Personen beschreibt, die ihren Flug bei $368$ gebuchten Tickets nicht antreten.
Der Term gibt also die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass bei $368$ Buchungen genau $30$ Passagiere ihren Flug nicht antreten. Es wären demnach immernoch $18$ Passagiere, die nicht in das Flugzeug passen und entschädigt werden müssen.

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Genau der zehnte Passagier muss derjenige sein, der freiwillig später fliegt. Unter den ersten neun Passagieren darf also keiner freiwillig später fliegen.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich daher mithilfe der Pfadmultiplikationsregel zu:

$... \approx 3,47\,\%$

Vollständige Lösung anzeigen

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $3,47\,\%$ muss ein Mitarbeiter genau zehn Passagiere befragen, um einen Passagier zu finden, der freiwillig später fliegt.

$\blacktriangleright$ Näherungswert für die Wahrscheinlichkeit berechnen

Betrachtet wird die Zufallsgröße $Z,$ die die Anzahl der $264$ Passagiere beschreibt, die den Flug tatsächlich antreten möchten.
$Z$ kann als binomialverteilt mit $n=264$ und unbekanntem $p$ angenommen werden.

Bekannt ist, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine Person nicht transportiert werden kann, $12,4\,\%$ beträgt.
Mindestens eine Person kann genau dann nicht transportiert werden, wenn $Z \geq 241$ ist, da das Flugzeug nur $240$ Plätze hat. Es ergibt sich also folgende Gleichung:

$\begin{array}[t]{rll} P(Z \geq 241)&=& 12,5\,\% \\[5pt] ... \\[5pt] P(Z\leq 240)&=&87,5\,\% \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Mithilfe des BinomialCDf-Befehls des CAS, kann der zugehörige Graph der Wahrscheinlichkeit $P(Z\leq 240)$ in Abhängigkeit von $p$ gemeinsam mit der Gerade $y=0,875$ im Grafik- und Tabellen-Menü des CAS angezeigt werden.
Mit der Trace-Funktion ergibt sich $p\approx 0,8889.$

Für die Wahrscheinlichkeit, mit der Kunden, die einen Flug auf der Strecke gebucht haben, diesen auch antreten, ergibt sich der Näherungswert $p\approx 0,8889 = 88,89\,\%.$

Mathematische Grafiken mit Funktionen f1 und f2 auf einem Koordinatensystem.

Abb. 3: 8: Graph analysieren $\to$ 4: Schnittpunkt

Bildnachweise [nach oben]

[1]-[3]

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten berechnen

Mit den Befehlen für die Binomialverteilung des CAS ergeben sich dann folgende Wahrscheinlichkeiten:

$\begin{array}[t]{rll} &P(X= 12)\\[5pt] \approx& 6,57\,\% \\[10pt] &P(10\leq X \leq 16)\\[5pt] \approx&52,64\,\% \\[5pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Dialogfenster für die Berechnung der binomischen Wahrscheinlichkeitsverteilung mit Eingabefeldern.

Abb. 1: Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ BinomialPDf

Dialogfenster für die Berechnung der binomialen kumulativen Verteilungsfunktion mit Eingabefeldern.

Abb. 2: Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ BinomialCDf

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $6,57\,\%$ bleiben genau $12$ Plätze frei.
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $52,64\,\%$ bleiben mindestens $10$ aber höchstens $16$ Plätze frei.

Screenshot einer Software mit Berechnungen zur binomialen Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Abb. 3: Ergebnisse

$\blacktriangleright$ Bedeutung des Terms begründen

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

$... \approx 3,47\,\%$

Vollständige Lösung anzeigen

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $3,47\,\%$ muss ein Mitarbeiter genau zehn Passagiere befragen, um einen Passagier zu finden, der freiwillig später fliegt.

$\blacktriangleright$ Näherungswert für die Wahrscheinlichkeit berechnen

$\begin{array}[t]{rll} P(Z \geq 241)&=& 12,5\,\% \\[5pt] ... \\[5pt] P(Z\leq 240)&=&87,5\,\% \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Mithilfe des BinomialCDf-Befehls des CAS, kann der zugehörige Graph der Wahrscheinlichkeit $P(Z\leq 240)$ in Abhängigkeit von $p$ im Grafik- und Tabellen-Menü des CAS angezeigt werden.
Mit der Trace-Funktion ergibt sich $p\approx 0,8889.$

Grafische Darstellung einer binomialen kumulativen Verteilungsfunktion in einer Softwareanwendung.

Abb. 4: Suchen des $x$ -Werts mit $y\approx 0,875$

Für die Wahrscheinlichkeit, mit der Kunden, die einen Flug auf der Strecke gebucht haben, diesen auch antreten, ergibt sich der Näherungswert $p\approx 0,8889 = 88,89\,\%.$

Bildnachweise [nach oben]

[1]-[4]