Pflichtteil 1

Aufgabe P1

Eine Funktion $f$ ist gegeben durch $f(x)=x^2-6x, \; x \in \mathbb{R}.$

Gib die Koordinaten des Scheitelpunktes an.

(2 BE)

Bestimme eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P(-2 \mid f(-2)).$

(3 BE)

Aufgabe P2

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = x^3-x.$

Einer der folgenden Graphen I, II und III stellt $f$ dar. Gib die Graphen an, die dafür nicht infrage kommen, und begründe deine Angabe.

Graph einer mathematischen Funktion mit den Achsen x und y.

Graf einer mathematischen Funktion mit x- und y-Achse, zeigt eine grüne Kurve.

Graph einer Funktion mit x- und y-Achse, zeigt eine steigende Kurve.

(2 BE)

Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ und die $x$ -Achse einschließen.

(3 BE)

Aufgabe P3

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \mathrm{e}^x + 1.$

Bestimme: $\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\;\mathrm dx.$

(3 BE)

Der Graph der Funktion $g$ kann aus dem Graphen von $f$ durch Spiegeln an der $y$ -Achse und Verschieben um $3$ in positive $y$ -Richtung erzeugt werden.
Gib einen Funktionsterm von $g$ an.

(2 BE)

Aufgabe P4

Gegeben sind die Punkte $A(5 \mid 0 \mid a)$ und $B (2 \mid 4 \mid 5)$ . Der Koordinatenursprung wird mit $O$ bezeichnet.

Bestimme denjenigen Wert von $a$ , für den $A$ und $B$ den Abstand $5$ haben.

(3 BE)

Ermittle denjenigen Wert von $a$ , für den das Dreieck $OAB$ im Punkt $B$ rechtwinklig ist.

(2 BE)

Aufgabe P5

Die Abbildung zeigt einen Quader sowie die Ortsvektoren der Eckpunkte $A, B$ und $D$ . Die Grundfläche $OABC$ ist quadratisch.

3D-Würfel mit Koordinatenachsen und Vektoren in einem kartesischen Koordinatensystem.

Beschreibe die Lage des Punkts, zu dem der Ortsvektor $\dfrac{1}{2} \cdot \left (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} \right)$ gehört.

(1 BE)

Der Punkt $P$ hat den Ortsvektor $\dfrac{1}{2} \overrightarrow{b} + \overrightarrow{d}.$

Zeichne $P$ in die Abbildung ein.

(1 BE)

Begründe, dass der Wert des Terms $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{OP}$ nur von der Seitenlänge der Grundfläche abhängt.

(3 BE)

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Lösung P1

Der Graph der Funktion hat die Form einer nach oben geöffneten Parabel. Der Scheitelpunkt entspricht somit dem Tiefpunkt des Graphen.

1. Schritt: Ableitungen bestimmen

$\(f$

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

3. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(f$

4. Schritt: $y$ -Koordinate bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} f(3)&=&3^2 - 6 \cdot 3 & \\[5pt] &=& -9 \end{array}$

Die Koordinaten des Scheitelpunkts ergeben sich zu $S(3 \mid -9).$

Die allgemeine Tangentengleichung lautet $y=mx+b.$

$y$ -Koordinate von $P$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} f(-2)&=& (-2)^2-6 \cdot (-2)& \\[5pt] &=& 16 \end{array}$

Steigung $m$ an der Stelle $x=-2$ bestimmen:

$\(\begin{array}[t]{rll} m&=& f$

Einsetzen der Koordinaten von $P$ in die allgemeine Tangentengleichung ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} 16&=& -10 \cdot (-2) +b&\quad \scriptsize \mid\; -20 \\[5pt] -4&=& b \end{array}$

Somit gilt $b=-4$ und die Tangentengleichung im Punkt $P$ folgt mit $y = -10x -4.$

Lösung P2

Graph II kommt nicht in Frage, da $x^3 \leq x$ für $x \in [0;1]$ und somit im gegebenen Intervall $x^3-x \leq 0$ . Im Intervall $[0,1]$ liegt der Graph II jedoch über der $x$ -Achse.

Graph III kommt nicht infrage, da die Steigung des Graphen von $f$ für $-0,5 \leq x \leq 0,5$ nicht konstant ist.

Die Fläche, die der Graph von $f$ und die $x$ -Achse einschließen, liegt im Intervall $[-1;1].$ Da der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist, wird der Flächeninhalt der Fläche wie folgt berechnet:

$2\displaystyle\int_{-1}^{0} (x^3 -x)\;\mathrm dx$ $= 2 \left[\dfrac{1}{4}x^4 - \dfrac{1}{2} x^2 \right]_{-1}^0$ $= -2\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}\right)$ $= \dfrac{1}{2}\,[\text{FE}]$

Lösung P3

$\displaystyle\int_{0}^{1}\mathrm{e}^x+1\;\mathrm dx= \left[\mathrm{e}^x + x\right]_0^1$ $= \mathrm{e}+1-(1+0)$ $=\mathrm{e}$

$g(x) = \mathrm{e}^{-x}+4$

Lösung P4

$d(A,B)$ $=\sqrt{(5-2)^2+(0-4)^2+(a-5)^2}$ $=\sqrt{25+(a-5)^2}$

Es soll gelten $d(A,B)=5$ , also
$5 = \sqrt{25+(a-5)^2}$
$25=25+(a-5)^2$
$0=(a-5)^2$
$0=a^2-10a+25$

Mit der pq-Formel gilt $x=5\pm\sqrt{25-25}=5.$

Für $a=5$ hat $A$ den Abstand 5 von $B.$

Damit das Dreieck im Punkt $B$ eine rechten Winkel hat, muss $\overrightarrow{OB}$ senkrecht zu $\overrightarrow{AB}$ sein, also $\overrightarrow{OB} \circ \overrightarrow{AB} =0$

$\overrightarrow{AB} = (2-5|4-0|5-a)$ $=(-3|4|5-a)$
$\overrightarrow{OB}= (2|4|5)$

$\overrightarrow{OB} \circ \overrightarrow{AB}$ $= -3 \cdot 2 + 4 \cdot 4 + (5-a) \cdot 5$ $= 35-5a$
Für $a=7$ ist $\overrightarrow{OB} \circ \overrightarrow{AB} =0$ und das Dreieck $OAB$ damit im Punkt $B$ rechtwinklig.

Lösung P5

Der Punkt liegt auf halber Strecke zwischen den Punkten $O$ und $C.$

3D-Darstellung eines Würfels mit markierten Punkten und Vektoren in einem Koordinatensystem.

Der Wert von $\overrightarrow{b}$ hängt von den Seitenlängen der Grundfläche ab, denn es gilt der Zusammenhang $\overrightarrow{b}= \overline{OA}+\overline{AB}$ , wobei $\overline{OA}$ und $\overline{AB}$ die Seiten der Grundfläche sind.

Weiter gilt $\overrightarrow{b} \circ\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{b} \circ \left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{b} + \overrightarrow{d}\right)$ $= \dfrac{1}{2}\overrightarrow{b}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\overrightarrow{d}.$

Da $\overrightarrow{b}$ orthogonal zu $\overrightarrow{d}$ steht, gilt $\overrightarrow{b} \circ \overrightarrow{d}=0.$ Daraus folgt $\overrightarrow{b} \circ \overrightarrow{OP}= \dfrac{1}{2}\overrightarrow{b} \circ \overrightarrow{b}$ und somit hängt der Wert von $\overrightarrow{b} \circ \overrightarrow{OP}$ nur von der Seitenlänge der Grundfläche ab.

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