Pflichtteil

Aufgabe P1

Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit $f(x)= 3\cdot x,$ $x\in \mathbb{R},$ und $g(x)=-3\cdot x^2 +9\cdot x,$ $x\in\mathbb{R}.$
In der nebenstehenden Abbildung sind die Graphen der beiden Funktionen dargestellt.

Gib die Schnittstellen der Graphen von $f$ und $g$ an.

(1 BE)

Die $x$ -Achse, der Graph von $f$ und der Graph von $g$ schließen ein Flächenstück ein.
Berechne den Inhalt dieses Flächenstücks.

(4 BE)

Graf mit zwei Kurven in einem Koordinatensystem, dargestellt in grauer Farbe.

Abb. 1

Aufgabe P2

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit

$f(x)=2\mathrm e^{-\frac{1}{2}x}.$

Für die erste Ableitungsfunktion $\(f$ von $f$ gilt

$\(f$

Graph einer fallenden Funktion mit Achsen und Gitter.

Abb. 2

Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ in seinem Schnittpunkt mit der $y$ -Achse.

(2 BE)

Zeichne in die Abbildung ein Flächenstück ein, das vom Graphen von $f,$ der $x$ -Achse, der $y$ -Achse, sowie einer zur $y$ -Achse parallelen Geraden eingeschlossen wird und dessen Flächeninhalt etwa $1,5$ beträgt.
Gib einen Term an, mit dem der Inhalt des von dir eingezeichneten Flächenstücks berechnet werden kann.

(3 BE)

Aufgabe P3

In einer Urne $U_1$ befinden sich vier rote und zwei gelbe Kugeln, in einer Urne $U_2$ zwei rote, eine gelbe und eine blaue Kugel.

Eine der beiden Urnen wird zufällig ausgewählt. Anschließend wird daraus zweimal hintereinander jeweils eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt.
Gib einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmt werden kann, dass beide entnommenen Kugeln rot sind.

(2 BE)

Eine der beiden Urnen wurde zufällig ausgewählt; aus dieser wurde eine Kugel zufällig entnommen. Die entnommene Kugel ist gelb oder blau.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die entnommene Kugel aus der Urne $U_1$ stammt.

(3 BE)

Aufgabe P4

Gegeben sind die Punkte $A(-2\mid 1\mid -2),$ $B(1\mid 2\mid -1)$ und $C(1\mid 1\mid 4)$ sowie für eine reelle Zahl $d$ der Punkt $D(d\mid 1\mid 4).$

Zeige, dass $A,$ $B$ und $C$ Eckpunkte eines Dreiecks sind.
Gib eine Gleichung der Ebene an, in der dieses Dreieck liegt.

(3 BE)

Das Dreieck $ABD$ ist im Punkt $B$ rechtwinklig.
Ermittle den Wert von $d.$

(2 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1],[2]

Aufgabe P1

$\blacktriangleright$ Schnittstellen angeben

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 0 \\[5pt] x_2&=& 2 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Schnittstellen der beiden Graphen sind $x_1= 0$ und $x_2=2.$

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen

Die beschriebene Fläche setzt sich aus zwei Teilflächen zusammen:

Das Dreieck mit den Eckpunkten $(0\mid f(0)),$ $(2\mid 0)$ und $(2\mid f(2)).$
Die Fläche unter dem Graphen von $g$ im Bereich von $a = 2$ bis zur zweiten Nullstelle von $g.$

Es ist $f(0)=0$ und $f(2)=3\cdot 2 = 6.$ Das Dreieck ist rechtwinklig, wobei die beiden Katheten $a= 6$ und $b= 2$ Längeneinheiten lang sind.

$\begin{array}[t]{rll} A_{1}&=& \frac{1}{2}\cdot 6\cdot 2\\[5pt] &=& 6 \end{array}$

Die Nullstellen von $g$ ergeben sich zu:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 0 \\[5pt] x_2&=& 3 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Flächeninhalt der zweiten Fläche kann daher mit folgendem Integral berechnet werden:

$A_2 = 3,5$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Gesamtflächeninhalt ergibt sich zu:

$A= 6+ 3,5 = 9,5$

Der Inhalt des angegebenen Flächenstücks beträgt $9,5$ Flächeneinheiten.

Aufgabe P2

$\blacktriangleright$ Tangentengleichung bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=&2\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}\cdot 0} \\[5pt] &=&2\cdot 1 \\[5pt] &=&2 \end{array}$

Der Graph von $f$ schneidet die $y$ -Achse im Punkt $S(0\mid 2).$
Gesucht ist also eine Gerade $t: \, y = m\cdot x +b,$ die durch den Punkt $S$ mit der gleichen Steigung wie der Graph von $f$ in diesem Punkt verläuft.

$\begin{array}[t]{rll} f‘(0)&=&-\mathrm e^{-\frac{1}{2}\cdot 0} \\[5pt] &=& -1 \end{array}$

Die Steigung der Tangente beträgt also $m = -1.$ Eine Punktprobe mit $S$ liefert:

$2 = b$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Gleichung der Tangente $t$ an den Graphen von $f$ in seinem Schnittpunkt $S(0\mid 2)$ mit der $y$ -Achse lautet:
$t: \, y = -x +2$

$\blacktriangleright$ Flächenstück einzeichnen

Graph mit einer Kurve und einem grünen Rechteck im Bereich zwischen x=0 und x=1.

Abb. 1: $A\approx 1,5$

$\blacktriangleright$ Term angeben

Der Inhalt der Fläche zwischen einem Funktionsgraphen und der $x$ -Achse im Intervall $[a,b]$ kann mit einem Integral berechnet werden.

$A\approx \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\;\mathrm dx$

Aufgabe P3

$\blacktriangleright$ Term angeben

Da es sich um ein Ziehen mit Zurücklegen handelt, ist die Wahrscheinlichkeit für eine rote Kugel in jedem Zug gleich. Geht man davon aus, dass beide Urnen mit gleicher Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$ ausgewählt werden, folgt mit der Pfadadditionsregel und der Pfadmultiplikationsregel:

$P(r-r) =$ $\frac{1}{2}\cdot \left(\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2\right)$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide Kugeln rot sind, kann mit folgendem Term berechnet werden: $\frac{1}{2}\cdot \left(\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2\right).$

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Mit dem Satz von Bayes ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit, dass die Urne $U_1$ gewählt wurde, wenn die Kugel gelb oder blau ist, wie folgt:

$P_{g,b}(U_1) = 0,4$

Vollständige Lösung anzeigen

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $40\,\%$ stammt eine gezogene Kugel die blau oder gelb, also nicht rot, ist aus Urne $U_1.$

Aufgabe P4

Zeigen, dass die Punkte ein Dreieck bilden

Die drei Punkte $A,$ $B$ und $C$ sind nur dann nicht die Eckpunkte eines Dreiecks, wenn sie auf einer Geraden liegen. Das ist genau dann der Fall, wenn die beiden Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ linear abhängig sind.

Es muss also ein $a\in \mathbb{R}$ geben, sodass gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}&=& a\cdot \overrightarrow{AC} & \\[5pt] \pmatrix{3\\1\\1}&=& a\cdot \pmatrix{3\\0\\6} & \\[5pt] \end{array}$

Da $1\neq0$ ist, sind die beiden Vektoren also nicht linear abhängig.

Somit sind die Punkte $A$ , $B$ und $C$ Eckpunkte eines Dreiecks.

Ebenengleichung angeben

$E: \quad \overrightarrow{x}= \overrightarrow{OA}+s \cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AC}$

Vollständige Ebenengleichung anzeigen

Das Dreieck $ABD$ ist genau dann rechtwinklig im Punkt $B,$ wenn die beiden an $B$ angrenzenden Dreiecksseiten und damit auch die zugehörigen Verbindungsvektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BD}$ orthogonal zueinander verlaufen.

Es muss also gelten:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{BD}&=& 0 \\[5pt] \pmatrix{3\\1\\1}\circ \pmatrix{d-1\\-1\\ 5}&=& 0 \\[5pt] \end{array}$

Auflösen nach $d$ ergibt nun:

Rechenweg anzeigen

$d= -\dfrac{1}{3}$

Für $d=-\dfrac{1}{3}$ ist das Dreieck $ABD$ somit rechtwinklig im Punkt $B.$

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[1]