Aufgabe 1A

Der Sprung eines Fallschirmspringers soll in drei Phasen modelliert werden. In Phase A, beginnend zum Zeitpunkt $t_{0}=0$ , wird der Springer bei geschlossenem Fallschirm immer schneller. In Phase B fällt er aufgrund des Luftwiderstandes mit konstanter Sinkgeschwindigkeit. Mit Öffnen des Fallschirms soll Phase C beginnen, in der der Fallschirm den Springer zunächst deutlich abbremst, so dass er schließlich eine zum Landen geeignete nahezu konstante Sinkgeschwindigkeit erreicht. Während des gesamten Sprungs werden die Höhe in Metern über dem Boden und die Zeit in Sekunden gemessen.

a) In Phase B soll der Fallschirmsprung durch die Funktion $h_B$ mit $h_{B}(t)=1.500-50\cdot t$ modelliert werden.
Bestimmen Sie die Sinkgeschwindigkeit des Fallschirmspringers in Phase B.
Die Höhe des Fallschirmspringers in Phase A soll näherungsweise durch eine quadratische Funktion $h_{A}$ mit $h_A(t)=a\cdot t^{2}+b\cdot t+c$ modelliert werden. Diese soll zum Zeitpunkt $t_{1}=8\,\text{s}$ stetig und differenzierbar an $h_{B}$ anschließen. Ihr Graph soll durch den Punkt $(4\mid1.250)$ verlaufen.
Bestimmen Sie mithilfe dieser Informationen die Funktionsgleichung für $h_A$ .

(11P)

b) Abbildung 1 der Anlage zeigt die Höhe $h$ des Springers in Abhängigkeit von der Zeit $t$ .
Geben Sie die Grenzen der Phasen A, B und C näherungsweise an, indem Sie diese in der Abbildung 1 markieren und die Abschnitte beschriften.
In der Abbildung 2 der Anlage ist der Graph der Sinkgeschwindigkeit $h‘$ in Abhängigkeit von der Zeit $t$ für die Phase C dargestellt.
Beschreiben Sie die Bewegung des Fallschirmspringers in Phase C anhand des Graphen der Sinkgeschwindigkeit $h‘$ .
Skizzieren Sie in diesem Koordinatensystem den Graphen der Sinkgeschwindigkeit $h‘$ in Abhängigkeit von der Zeit $t$ für die Phasen A und B.

(9P)

c) Nach 16 Sekunden öffnet der Springer den Fallschirm und leitet damit die Phase C ein.
Die Höhe in dieser Phase soll durch $h_{C}$ mit $h_{C}(t)=\frac{45}{2}\cdot\mathrm{e}^{-2\cdot t+32}-5\cdot t+757,5$ modelliert werden.
Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem der Springer den Boden erreicht, und dessen Landegeschwindigkeit.
Der Graph von $h_{C}$ schließt stetig und differenzierbar an den Graphen von $h_{B}$ an.
Weisen Sie nach, dass die Modellierungen für die Phasen B und C an der Anschlussstelle bei $t_{2}=16\,\text{s}$ in ihrer zweiten Ableitung nicht übereinstimmen.
Erläutern Sie, wie sich diese fehlende Übereinstimmung im Graphen für die Sinkgeschwindigkeit bemerkbar macht.
Betrachtet wird jetzt noch einmal der Übergang zwischen den Phasen A und B.
Untersuchen Sie, ob es eine quadratische Funktion gibt, die in ihrer zweiten Ableitung mit der zweiten Ableitung von $h_{B}$ übereinstimmt.

(14P)

(34P)

Material

Anlage: Graphen zur Modellierung eines Fallschirmsprungs zu Teilaufgabe b)

Abbildung 1 (nicht maßstabsgetreu)

Grafik mit mehreren Kurven, die eine Funktion h(t) über der Zeit t darstellen.

Abbildung 2 (nicht maßstabsgetreu)

Grafische Darstellung von Linien in schwarz-weiß, die verschiedene Muster und Formen bilden.

a) $\blacktriangleright$ Sinkgeschwindigkeit bestimmen

In Phase B wird der Fallschirmsprung durch die Funktion $h_B$ mit $h_{B}(t)=1.500-50\cdot t$ modelliert.
Du sollst die Sinkgeschwindigkeit des Fallschirmspringers in Phase B bestimmen. Diese kannst du mithilfe der ersten Ableitung bestimmen:

$h_{B}‘(t) = -50$

Die Sinkgeschwindigkeit des Fallschirmspringers in Phase B beträgt also $50 m/s$ .

$\blacktriangleright$ Quadratische Funktion für Höhe des Fallschirmspringers in Phase A bestimmen

Die Höhe des Fallschirmspringers in Phase A soll näherungsweise durch eine quadratische Funktion $h_{A}$ mit $h_A(t)=a\cdot t^{2}+b\cdot t+c$ modelliert werden. Diese soll zum Zeitpunkt $t_{1}=8\,\text{s}$ stetig und differenzierbar an $h_{B}$ anschließen. Das bedeutet, dass die beiden Funktionen für $t_1 = 8$ den gleichen Funktionswert haben, es gilt also $h_{A}(8) = h_{B}(8)$ :

$h_{A}(8) = h_{B}(8)= 1500 - 50 \cdot 8 = 1500 - 400 = 1100$

Der Graph von $h_A$ verläuft also durch den Punkt $(8\mid1.100)$ . Der Übergang soll stetig und differenzierbar sein, das bedeutet, dass die Funktionen die gleiche Steigung für $t_1$ haben müssen, es gilt also $h_{A}‘(8) = h_{B}‘(8)$ :

$h_{A}‘(8) = h_{B}‘(8) = -50$ mit $h_A‘(t) = 2\cdot a\cdot t + b$

Für die Ableitung von $h_A$ gilt also $h_A‘(8)=-50$ . Der Graph soll außerdem durch den Punkt $(4\mid1.250)$ verlaufen.
Du hast nun 3 Bedingungen um den Funktionsterm für $h_A$ bestimmen zu können.

1. Bedingung: $1.100=h_A(8)$
2. Bedingung: $1.250=h_A(4)$
3. Bedingung: $-50=h_A‘(8)$

Definiere die Funktion $h_A$ und $h_A‘$ in deinem CAS und stelle ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und den unbekannten Parameter $a$ , $b$ und $c$ auf.

Den entsprechenden Befehl findest du in deinem CAS unter:

menu 3 7 1

Mathematische Berechnungen und Gleichungen auf einem Taschenrechner-Display.

Gib die oben genannten 3 Bedingungen an und bestätige mit Enter.

Das CAS liefert dir folgendes Resultat:

$a=-\frac{25}{8}$
$b=0$
$c=1.300$

Die Funktionsgleichung für $h_A$ ist gegeben durch $h_A(t) = -\frac{25}{8}\cdot t^2 + 1.300$ .

b) $\blacktriangleright$ Grenzen der Phasen einzeichnen

Du sollst in Abbildung 1 die Grenzen der Phasen A, B und C näherungsweise einzeichnen. Diese Abbildung der Anlage zeigt die Höhe $h$ des Springers in Abhängigkeit von der Zeit $t$ . Du kennst die Funktionen der Phase A und der Phase B. Phase A wird durch eine quadratische Funktion beschrieben und Phase B durch eine Gerade, dementsprechend prüfe den Graphen in Abbildung 1 auf Übergänge von einer quadratischen Funktion in eine Gerade und den Übergang von der Geraden in eine andere Funktion. Du erhältst dann folgende Abbildung:

Diagramm mit Kurvenverlauf in verschiedenen Phasen (A, B, C) in Bezug auf die Zeit t.

$\blacktriangleright$ Bewegung des Fallschirmspringers in Phase C

Betrachte hierzu die Abbildung 2. Zu Beginn von Phase C steigt der Graph von $h‘$ schnell, das bedeutet, dass der Fallschirmspringer stark abgebremst wird. Der Betrag der Sinkgeschwindigkeit nimmt stark ab. Dann wird der Graph wesentlich flacher und bleibt nahezu konstant, das bedeutet, dass die Sinkgeschwindigkeit dann nahezu konstant bleibt.
Skizziere jetzt in das Koordinatensystem von Abbildung 2 den Graphen der Sinkgeschwindigkeit $h‘$ in Abhängigkeit von der Zeit $t$ für die Phasen A und B ein. Für Phase A ist die Sinkgeschwindigkeit durch die Ableitung von $h_A$ gegeben, $h_A‘(t) = -\frac{25}{4}t$ . Das ist also eine Gerade, deren Graph durch den Ursprung verläuft und eine negative Steigung besitzt. Für Phase B ist die Sinkgeschwindigkeit konstant $-50$ (vergleiche Aufgabenteil a). Der Graph der Sinkgeschwindigkeit ist dann gegeben durch:

Diagramm mit mehreren Kurven, die verschiedene Funktionen in einem Koordinatensystem darstellen.

c) $\blacktriangleright$ Zeitpunkt der Landung berechnen

Nach 16 Sekunden öffnet der Springer den Fallschirm und leitet damit die Phase C ein.
Die Höhe in dieser Phase wird durch $h_{C}(t)=\frac{45}{2}\cdot\mathrm{e}^{-2\cdot t+32}-5\cdot t+757,5$ modelliert.

Du sollst den Zeitpunkt, zu dem der Springer den Boden erreicht, bestimmen. Dieser Zeitpunkt entspricht gerade der Nullstelle von $h_C$ .
Du kannst also die Funktion $h_C$ im CAS definieren und mit Hilfe des solve-Befehls auf Nullstellen untersuchen. Diesen findest du unter

menu 3 1

Mathematische Gleichung und Berechnung auf einem grafischen Taschenrechner.

Die Nullstelle ist gegeben durch $t_{NS} = 151,5$ , somit ist der Zeitpunkt der Landung nach $151,5 Sekunden$ .

$\blacktriangleright$ Landegeschwindigkeit berechnen zum Zeitpunkt $\boldsymbol{t_{NS} = 151,5}$ berechnen

Außerdem sollst du dessen Landegeschwindigkeit zum Zeitpunkt $t_{NS} = 151,5$ berechnen.

Dazu kannst du den Wert $t_{NS} = 151,5$ in den Term der Ableitung von $h_C$ einsetzen.

Die Ableitung erhältst du über folgende Befehlsfolge:

menu 4 1

Screenshot eines mathematischen Berechnungsprogramms mit Gleichungen und Ergebnissen.

Das CAS liefert dir, dass die Landegeschwindigkeit ungefähr $5 m/s$ beträgt.

$\blacktriangleright$ Übereinstimmen der 2. Ableitungen

Der Graph von $h_{C}$ schließt stetig und differenzierbar an den Graphen von $h_{B}$ an. Die zweite Ableitung von $h_C$ ist gegeben durch $h_{C}\;‘‘(t)=90\cdot\mathrm{e}^{-2\cdot t+32}$ .
Du sollst nun nachweisen, dass die Modellierungen für die Phasen B und C an der Anschlussstelle bei $t_{2}=16\,\text{s}$ in ihrer zweiten Ableitung nicht übereinstimmen. Berechne dafür die 2. Ableitung von $h_B$ :

$h_B‘ (t) = -50$ $\quad$ $h_B‘‘ (t) = 0$

Setze jetzt in beide Ableitungen $t_2 = 16$ ein:

$\begin{array}{rll} h_B‘‘ (16)&=&0&\\ h_C‘‘ (16)&=&90& \end{array}$

Die zweiten Ableitungen von $h_B$ und $h_C$ stimmen nicht überein, die fehlende Übereinstimmung hat einen Knick im Graphen der Sinkgeschwindigkeit zur Folge.

$\blacktriangleright$ Übergang zwischen Phasen A und B

Du sollst untersuchen, ob es eine quadratische Funktion gibt, die in ihrer zweiten Ableitung mit der zweiten Ableitung von $h_{B}$ übereinstimmt. Leite dafür die allgemeine Form von $h_A$ aus Aufgabenteil a) zweimal ab:

$\begin{array}{rll} h_A(t)&=&a\cdot t^2 + b\cdot t +c&\\ h_A‘(t)&=&2\cdot a\cdot t + b&\\ h_A‘‘(t)&=&2\cdot a& \end{array}$

Die zweite Ableitung von $h_B$ ist gegeben durch $h_B‘‘(t) = 0$ . Setze nun $h_B‘‘(t) = h_A‘‘(t)$ :

$\begin{array}{rll} h_B‘‘(t)&=&h_A‘‘(t)&\\ 0&=&2\cdot a&\scriptsize \scriptsize\mid\; : 2\\ 0&=&a& \end{array}$

Für $a=0$ stimmen die zweiten Ableitung überein, doch dann ist $h_A$ keine quadratische Funktion mehr (der Teil mit $x^2$ wird eliminiert). Somit existiert keine solche quadratische Funktion.