Aufgabe 1B

Grafische Darstellung einer Brücke über Wasser mit einem geschwungenen Bogen und Stützpfeilern.

Abb. 1

Die obenstehende Abbildung stellt den Entwurf für eine Brücke dar. Deren achsensymmetrisches Profil soll modellhaft in einem entsprechend gewählten Koordinatensystem beschrieben werden.
Die Funktion $f$ mit $f(x) = - \frac{1}{80}\cdot x^2 + 20,$ $x \in \mathbb{R},$ beschreibt für $- 40 \leq x \leq 40$ den unteren Brückenbogen. In den Punkten $P( - 40 \mid 0)$ und $Q(40\mid 0)$ endet der untere Brückenbogen jeweils in einem Stützlager.
Die Funktion $g$ mit $g(x) = \frac{1}{312.500}\cdot x^4- \frac{2}{125}\cdot x^2 + 25,$ $x \in \mathbb{R},$ beschreibt für $- 50 \leq x \leq 50$ den oberen Brückenbogen.
Alle Koordinaten haben die Einheit Meter $(\text{m}).$

Die Graphen der Funktionen $f$ und $g$ sind in der Anlage dargestellt.
Zeichne in die Abbildung 2 der Anlage das für die Modellierung genutzte Koordinatensystem ein.
Der untere Brückenbogen ist maximal $20\,\text{m}$ hoch.
Entscheide, ob das Verhältnis der maximalen Höhe des unteren Brückenbogens zu seiner Spannweite zwischen den Stützlagern kleiner als $\frac{1}{3}$ ist.
Weise nach, dass die Steigung des oberen Brückenbogens an seiner steilsten Stelle den Wert $65\,\%$ nicht überschreitet.
Zeige, dass die Modellierung des oberen Brückenbogens an der Stelle $x=-50$ knickfrei an eine Waagerechte anschließen kann.

(14 BE)

Im Rahmen einer Lichtshow soll das durch den oberen und den unteren Brückenbogen begrenzte Flächenstück zwischen den Stützlagern in drei Farben beleuchtet werden. Hierzu soll es parallel zur $y$ -Achse in drei Flächenstücke unterteilt werden. Für diese Unterteilung gibt es zwei Varianten:

Variante 1: Die Flächenstücke haben den gleichen Inhalt.
Variante 2: Die Flächenstücke sind gleich breit.

Untersuche, ob der Abstand der jeweils rechten Unterteilungsstellen für die beiden Varianten größer als ein Meter ist.

(9 BE)

Unabhängig vom Sachzusammenhang ist die Funktionenschar $p_a$ gegeben mit

$p_a(x) = a \cdot x^4 - 6 \cdot a \cdot x^2 + 1 ,$ $x \in \mathbb{R},$ $a \gt 0 .$

Die zweite Ableitung von $p_a$ ist gegeben durch $p_a‘‘(x)= 12\cdot a\cdot x^2-12\cdot a.$
Untersuche, für welche Werte von $a$ die zwei Wendepunkte von $p_a$ oberhalb der $x$ -Achse liegen.
Im Folgenden wird der zur $y$ -Achse symmetrische Graph einer ganzrationalen Funktion $q$ vom Grad $4$ betrachtet.
Die Abbildung 3 der Anlage zeigt einen Ausschnitt aus dem Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion $q‘.$
Begründe mit diesen Angaben die Anzahl der Extrempukte des zugehörigen vollständigen Graphen der Funktion $q.$

(11 BE)

Material

Graphen zu Teilaufgabe a)

Mathematische Grafik mit zwei Kurven und Punkten P, Q und f.

Abb. 2: Graphen von $f$ und $g$

Graph zu Teilaufgabe c)

Graph einer parabolischen Funktion mit Achsen x und y.

Abb. 3: Ausschnitt aus dem Graphen von $q‘$

Bildnachweise [nach oben]

[1]-[3]

$\blacktriangleright$ Koordinatensystem einzeichnen

Grafik eines Koordinatensystems mit zwei Kurven und beschrifteten Punkten P, Q und g, f.

Abb. 1: Einzeichnen der Koordinatenachsen

$\blacktriangleright$ Verhältnis bestimmen

Der untere Brückenbogen ist maximal $20\,\text{m}$ hoch. Die Stützlager befinden sich in den Punkten $(-40\mid 0)$ und $(40\mid 0).$ Die Spannweite ist also $80\,\text{m}.$

$\frac{20\,\text{m}}{80\,\text{m}}= \frac{1}{4} \lt \frac{1}{3}$

Das Verhältnis zwischen der maximalen Höhe des unteren Brückenbogens und seiner Spannweite beträgt $\frac{1}{4}$ und ist damit kleiner als $\frac{1}{3}.$

$\blacktriangleright$ Steigung an der steilsten Stelle bestimmen

Der obere Brückenbogen wird durch den Graphen der Funktion $g$ beschrieben. Die Stelle des Graphen von $g$ mit der steilsten Steigung ist die Stelle, an der die erste Ableitung $g‘$ ihr Maximum annimmt.

1. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden

Im CAS können mit dem Define-Befehl und dem Ableitungsbefehl die Ableitungen von $g$ definiert werden.
Mit dem solve-Befehl kann dann das notwendige Kriterium $g‘‘(x)=0$ für Extremstellen von $g‘$ angewendet werden um alle möglichen Extremstellen zu bestimmen.

$\begin{array}[t]{rll} g‘‘(x)&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;CAS \\[5pt] x_1&=& \dfrac{-50\cdot \sqrt{3}}{3}\\[5pt] x_2&=& \dfrac{50\cdot \sqrt{3}}{3}\\[5pt] \end{array}$

Mathematische Gleichungen und Ableitungen in einem Dokument.

Abb. 2: menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung

2. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen

$\begin{array}[t]{rll} g‘‘‘\left( -\dfrac{50\cdot \sqrt{3}}{3}\right)&\lt & 0 \\[5pt] g‘‘‘\left( \dfrac{50\cdot \sqrt{3}}{3}\right)&\gt & 0 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Mit dem hinreichenden Kriterium für Extremstellen zeigt sich, dass es sich bei $x_1 = -\frac{50\cdot \sqrt{3}}{3}$ um eine Maximalstelle und bei $x_2 = \frac{50\cdot \sqrt{3}}{3}$ um eine Minimalstelle handelt.

$g‘\left( -\frac{50\cdot \sqrt{3}}{3}\right) \approx 0,62$

Mathematische Formeln und Berechnungen in einem Dokument.

Abb. 3: Berechnung mit dem CAS

Die steilste Steigung besitzt der Graph von $g$ also an der Stelle $x\approx -\dfrac{50\cdot \sqrt{3}}{3}.$ Dort beträgt die Steigung ca. $62\,\%.$ Damit überschreitet der obere Brückenbogen den Wert von $65\,\%$ an seiner steilsten Stelle nicht.

$\blacktriangleright$ Knickfreien Anschluss überprüfen

Für einen knickfreien Übergang an der Stelle $x=-50$ muss die Steigung des Graphen von $g$ der Steigung einer Waagerechten entsprechen, also $g‘(-50)=0$ sein.
Mit dem CAS ergibt sich:

$g‘(-50)=0$

Ein knickfreier Übergang in eine Waagerechte ist also möglich.

$\blacktriangleright$ Abstand der rechten Unterteilungsstellen berechen

1. Schritt: Unterteilungsstellen bei Variante 1 bestimmen

Bei Variante 1 sollen die drei Flächenstücke gleich groß sein. Die Gesamtgröße der Fläche, die beleuchtet werden soll, kann mithilfe eines Integrals über der Differenzenfunktion $g-f$ in den Grenzen $-40$ und $40$ berechnet werden.

Mithilfe des CAS ergibt sich:

$A= \dfrac{143.152}{375}$

Vollständige Lösung anzeigen

Mathematische Berechnungen und Formeln in einer Software-Anwendung.

Abb. 4: menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral

Die Größe der einzelnen Flächenstücke ist demnach:

$\dfrac{143.152}{375} \cdot \frac{1}{3} =\dfrac{143.152}{1.125}$

Der Inhalt der rechten Fläche kann dann mithilfe eines Integrals in Abhängigkeit der rechten Unterteilungsstelle $b$ dargestellt werden.
Durch Gleichsetzen ergibt sich folgende Gleichung, die mit dem solve-Befehl des CAS gelöst werden kann:

$b\approx 13,21$

Vollständige Lösung anzeigen

Mathematische Gleichung mit Integralberechnung und Lösung für b in einem Software-Fenster.

Abb. 5: Gleichung lösen mit dem CAS

Bei der ersten Variante befindet sich die rechte Unterteilungsstelle bei $x \approx 13,21.$

2. Schritt: Unterteilungsstellen bei Variante 2 bestimmen

Bei der zweiten Variante sind die drei Flächenstücke gleich breit. Die gesamte Breite der Fläche beträgt $2\cdot 40\,\text{m} = 80\,\text{m}.$

$80\cdot \frac{1}{3} \approx 26,67$

Die rechte Unterteilungsstelle befindet sich demnach bei $40- 26,67 = 13,33.$ Der gesuchte Abstand beträgt also weniger als einen Meter.

$\blacktriangleright$ Parameterwerte bestimmen

Für einen Wendepunkt von $p_a$ mit der $x$ -Koordinate $x_W$ muss das notwendige Kriterium für Wendestellen $p_a‘‘(x_W)=0$ erfüllt sein. Der Term der zweiten Ableitungsfunktion $p_a‘‘$ ist in der Aufgabenstellung vorgegeben. Es ergibt sich also folgende Gleichung:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& -1 \\[5pt] x_2&=& 1 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Bei beiden handelt es sich um Wendestellen, da in der Aufgabenstellung vorgegeben ist, dass es zwei Wendepunkte gibt. Die zugehörigen $y$ -Koordinaten lauten:

$\begin{array}[t]{rll} p_a(-1)&=& -5a +1 \\[10pt] p_a(1)&=& -5a+1 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Beide Wendepunkte haben also die gleiche $y$ -Koordinate und liegen oberhalb der $x$ -Achse, wenn diese positiv ist:

$\frac{1}{5}\gt a$

Vollständige Lösung anzeigen

Da $a\gt 0$ schon vorgegeben ist, gilt:

Für alle $a\in \mathbb{R}$ mit $0\lt a \lt \frac{1}{5}$ liegen die beiden Wendepunkte von $p_a$ oberhalb der $x$ -Achse.

$\blacktriangleright$ Anzahl der Extrempunkte begründen

Bei $q$ handelt es sich um eine ganzrationale Funktion vierten Grades, deren Graph symmetrisch zur $y$ -Achse ist. Bei der ersten Ableitung $q‘$ handelt es sich demnach um eine ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Graph punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist.

Der Abbildung kann man entnehmen, dass der Graph von $q‘$ einen Hochpunkt im vierten Quadranten besitzt. Aufgrund der Symmetrie muss er also einen Tiefpunkt im zweiten Quadranten besitzen. Da der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades maximal zwei Extrempunkte besitzen kann, sind dies die einzigen beiden Extrempunkte.
Daraus lässt sich schließen, dass $q‘$ drei Nullstellen mit Vorzeichenwechsel besitzen muss. Solche Nullstellen sind exakt die Extremstellen der Ausgangsfunktion $q.$ Der Graph von $q$ hat also genau drei Extrempunkte.

Bildnachweise [nach oben]

[1]-[5]

$\blacktriangleright$ Koordinatensystem einzeichnen

Abb. 1: Einzeichnen der Koordinatenachsen

$\blacktriangleright$ Verhältnis bestimmen

Der untere Brückenbogen ist maximal $20\,\text{m}$ hoch. Die Stützlager befinden sich in den Punkten $(-40\mid 0)$ und $(40\mid 0).$ Die Spannweite ist also $80\,\text{m}.$

$\frac{20\,\text{m}}{80\,\text{m}}= \frac{1}{4} \lt \frac{1}{3}$

Das Verhältnis zwischen der maximalen Höhe des unteren Brückenbogens und seiner Spannweite beträgt $\frac{1}{4}$ und ist damit kleiner als $\frac{1}{3}.$

$\blacktriangleright$ Steigung an der steilsten Stelle bestimmen

1. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden

$\begin{array}[t]{rll} g‘‘(x)&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;CAS \\[5pt] x_1&=& \dfrac{-50\cdot \sqrt{3}}{3}\\[5pt] x_2&=& \dfrac{50\cdot \sqrt{3}}{3}\\[5pt] \end{array}$

Mathematische Funktionen und Ableitungen in einer Softwareanwendung.

Abb. 2: Anwendung des notwendigen Kriteriums mit dem CAS

2. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen

$\begin{array}[t]{rll} g‘‘‘\left( -\dfrac{50\cdot \sqrt{3}}{3}\right)&\lt & 0 \\[5pt] g‘‘‘\left( \dfrac{50\cdot \sqrt{3}}{3}\right)&\gt & 0 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

$g‘\left( -\frac{50\cdot \sqrt{3}}{3}\right) \approx 0,62$

Mathematik-Diagramm mit verschiedenen Gleichungen und Berechnungen.

Abb. 3: Berechnung von Funktionswerten mit dem CAS

$\blacktriangleright$ Knickfreien Anschluss überprüfen

Für einen knickfreien Übergang an der Stelle $x=-50$ muss die Steigung des Graphen von $g$ der Steigung einer Waagerechten entsprechen, also $g‘(-50)=0$ sein.
Mit dem CAS ergibt sich:

$g‘(-50)=0$

Mathematiksoftware mit Eingabefeld und Befehlen, zeigt Berechnung für d1g(-50) an.

Abb. 4: Steigung mit dem CAS berechnen

Ein knickfreier Übergang in eine Waagerechte ist also möglich.

$\blacktriangleright$ Abstand der rechten Unterteilungsstellen berechen

1. Schritt: Unterteilungsstellen bei Variante 1 bestimmen

Mithilfe des CAS ergibt sich:

$A= \dfrac{143.152}{375}$

Vollständige Lösung anzeigen

Mathematische Software zeigt eine Funktion und ein Integral.

Abb. 5: Keyboard $\to$ Math2

Die Größe der einzelnen Flächenstücke ist demnach:

$\dfrac{143.152}{375} \cdot \frac{1}{3} =\dfrac{143.152}{1.125}$

$b\approx 13,21$

Vollständige Lösung anzeigen

Mathematische Gleichung in einem interaktiven Programm zur Lösung von Integralen und Variablen.

Abb. 6: Gleichung mit dem CAS lösen

Bei der ersten Variante befindet sich die rechte Unterteilungsstelle bei $x \approx 13,21.$

2. Schritt: Unterteilungsstellen bei Variante 2 bestimmen

Bei der zweiten Variante sind die drei Flächenstücke gleich breit. Die gesamte Breite der Fläche beträgt $2\cdot 40\,\text{m} = 80\,\text{m}.$

$80\cdot \frac{1}{3} \approx 26,67$

Die rechte Unterteilungsstelle befindet sich demnach bei $40- 26,67 = 13,33.$ Der gesuchte Abstand beträgt also weniger als einen Meter.

$\blacktriangleright$ Parameterwerte bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& -1 \\[5pt] x_2&=& 1 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Bei beiden handelt es sich um Wendestellen, da in der Aufgabenstellung vorgegeben ist, dass es zwei Wendepunkte gibt. Die zugehörigen $y$ -Koordinaten lauten:

$\begin{array}[t]{rll} p_a(-1)&=& -5a +1 \\[10pt] p_a(1)&=& -5a+1 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Beide Wendepunkte haben also die gleiche $y$ -Koordinate und liegen oberhalb der $x$ -Achse, wenn diese positiv ist:

$\frac{1}{5}\gt a$

Vollständige Lösung anzeigen

Da $a\gt 0$ schon vorgegeben ist, gilt:

Für alle $a\in \mathbb{R}$ mit $0\lt a \lt \frac{1}{5}$ liegen die beiden Wendepunkte von $p_a$ oberhalb der $x$ -Achse.

$\blacktriangleright$ Anzahl der Extrempunkte begründen

Bildnachweise [nach oben]

[1]-[6]