Aufgabe 2A

In einer Urne befinden sich Kugeln, $35 \%$ der Kugeln sind mit „+1“ beschriftet, $25 \%$ mit „+2“, die übrigen mit „-3.“

$100$ -mal nacheinander wird jeweils eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt.
Berechne die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
$E1$ : Mehr als $30$ und weniger als $45$ der entnommenen Kugeln sind mit " $+1$ " beschriftet.
$E2$ : Die ersten drei entnommenen Kugeln sind mit " $+1$ " beschriftet.
Zeige, dass die Anzahl der in der Urne insgesamt enthaltenen Kugeln kleiner als $100$ sein kann.

(6 BE)

Unter Verwendung der Urne wird ein Spiel durchgeführt. Dabei wird zweimal nacheinander jeweils eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt. Die Zahlen auf den entnommenen Kugeln werden addiert. Ist das Ergebnis positiv, gewinnt der Spieler den Wert der Summe als Betrag in Euro, ist das Ergebnis negativ, verliert er den entsprechenden Betrag.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Spieler bei einem Spiel mehr als $3$ Euro gewinnt.
Ermittle für einen Spieler mithilfe eines Baumdiagramms oder einer Wahrscheinlichkeitsverteilung den durchschnittlichen Verlust pro Spiel.

(6 BE)

Die Anzahl der in der Urne tatsächlich enthaltenen Kugeln ist $n$ . In die Urne werden zwei zusätzliche Kugeln gelegt, eine davon ist mit „+1“ beschriftet, die andere mit „+2“.
Anschließend wird eine Kugel zufällig entnommen.
Begründe, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die entnommene Kugel mit „+1“ beschriftet ist, durch den Term $\dfrac{0,35\text n+1}{\text n+2}$ angegeben wird.
Durch das Hinzufügen der Kugeln nimmt sowohl die Wahrscheinlichkeit dafür zu, dass die entnommene Kugel mit „+1“ beschriftet ist, als auch die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die entnommene Kugel mit „+2“ beschriftet ist.

Entscheide, für welche der beiden Wahrscheinlichkeiten die Zunahme größer ist.

(5 BE)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse berechnen

Betrachte die Zufallsgröße $X,$ die die zufällige Anzahl der gezogenen Kugeln beschreibt, die mit $+1$ beschriftet sind. Da die Kugeln mit Zurücklegen gezogen werden, ist $X$ binomialverteilt mit $n=100$ und $p=0,35.$

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 5 $\to$ 5 $\to$ E: Binomial Cdf

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomial CDf

Mit dem CAS ergibt sich:

$P(E_1)\approx 80,24\,\%$

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Für $E_2$ verwendest du die Pfadmultiplikationsregel:

$\begin{array}[t]{rll} P(E_2) &=& 0,35\cdot 0,35\cdot 0,35 \\[5pt] &\approx& 0,0428 \\[5pt] &=& 4,28\,\% \end{array}$

$\blacktriangleright$ Anzahl der Kugeln zeigen

Die Wahrscheinlichkeiten der drei Kugelarten sind:

$P(+1) = \frac{35}{100}$
$P(+2) = \frac{25}{100}$
$P(-3) = \frac{40}{100}$

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Diese drei Brüche kann man jeweils beispielsweise mit $5$ kürzen:

$P(+1) = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}$
$P(+2) = \frac{25}{100} = \frac{5}{20}$
$P(-3) = \frac{40}{100} = \frac{8}{20}$

Es können also beispielsweise auch nur $20$ Kugeln in der Urne sein. Davon wären dann $7$ mit $+1$ beschriftet, $5$ mit $+2$ und $8$ mit $-3.$ Die relativen Häufigkeiten wären dann wie angegeben.

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen

Der Spieler gewinnt nur dann mehr als $3\,€,$ wenn beide Kugeln mit $+2$ beschriftet sind.

$P(4\,€) = 6,25\,\%$

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Mit einer Wahrscheinlichkeit von $6,25\,\%$ gewinnt der Spieler mehr als $3\,€.$

$\blacktriangleright$ Durchschnittlichen Verlust ermitteln

Bezeichne mit $E$ den zufälligen Ertrag des Spielers. Dieser kann folgende Werte mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten annehmen:

$\begin{array}[t]{rll} P(E=2)&=& 0,1225 \\[10pt] P(E=3)&=& 0,175 \\[10pt] P(E=4)&=& 0,0625 \\[10pt] P(E=-2)&=& 0,28 \\[10pt] P(E=-1)&=& 0,2 \\[10pt] P(E=-6)&=& 0,16 \\[10pt] \end{array}$

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Der durchschnittliche Verlust pro Spiel entspricht dem Erwartungswert von $E:$

$E(E)=-0,7$

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Pro Spiel macht der Spieler durchschnittlich also $0,70\,€$ Verlust.

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit begründen

Die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Kugel mit $+1$ zu ziehen lässt sich berechnen, indem die Anzahl der Kugeln mit $+1$ durch die Gesamtanzahl der Kugeln in der Urne dividiert wird.

$0,35$ ist der ursprüngliche Anteil der Kugeln mit $+1.$ Mit $0,35n$ wird daher die ursprüngliche Anzahl der Kugeln mit $+1$ in der Urne berechnet.
Dazu kommt nun eine zusätzliche Kugel mit $+1.$ Mit $0,35n+1$ wird daher die neue Anzahl der Kugeln in der Urne berechnet, die mit $+1$ beschriftet sind.

Diese Anzahl wird durch die neue Gesamtzahl der Kugeln dividiert. Da insgesamt zwei Kugeln ergänzt wurden beträgt diese neue Gesamtzahl $n+2.$ Insgesamt entsteht so der angegebene Term, indem die neue Anzahl der Kugeln mit $+1$ durch die neue Gesamtanzahl dividiert wird.

$\blacktriangleright$ Entscheiden, welche Zunahme größer ist

Die Wahrscheinlichkeit für eine Kugel mit „+1“ wird durch folgenden Term beschrieben:

$P(+1) = \dfrac{0,35n +1}{n+2}$

Analog dazu gilt für eine Kugel mit „+2“:

$P(+2) = \dfrac{0,25n +1}{n+2}$

Für die entsprechenden Zunahmen gilt:

$\begin{array}[t]{rll} d_1 &=& \dfrac{0,35n +1}{n+2} - 0,35 \\[5pt] &=& \dfrac{0,35n +1 -0,35(n+2)}{n+2} \\[5pt] &=& \dfrac{0,3}{n+2} \\[10pt] d_2 &=& \dfrac{0,25n +1}{n+2} - 0,25 \\[5pt] &=& \dfrac{0,25n +1 -0,25(n+2)}{n+2} \\[5pt] &=& \dfrac{0,5}{n+2} \\[10pt] \end{array}$

Die Zunahme der Wahrscheinlichkeit ist also für die Kugeln mit „+2“ größer.