Wahlaufgaben 2

Aufgabe R1

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=\dfrac{1}{2}\cdot x^2.$ Die Abbildung zeigt den Graphen von $f$ sowie die Tangente $t$ an den Graphen von $f$ im Punkt $(4\mid f(4))$ .

Gib anhand der Abbildung eine Gleichung der Tangente $t$ an.

(1 BE)

Weise nach, dass für jeden Wert $u\in\mathbb{R}$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(u\mid f(u))$ die $y$ -Achse im Punkt $(0\mid -f(u))$ schneidet.

(4 BE)

Aufgabe R2

In einem Betrieb werden Geräte hergestellt, von denen jedes mit einer Wahrscheinlichkeit von $90\,\%$ fehlerfrei ist. Eine Kontrolle identifiziert ein fehlerfreies Gerät mit einer Wahrscheinlichkeit von $99\,\%$ . Dagegen wird ein fehlerhaftes Gerät mit einer Wahrscheinlichkeit von $5\,\%$ ebenfalls als fehlerfrei eingestuft.

Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Gerät fehlerfrei ist und als fehlerfrei eingestuft wird, $89,1\,\%$ beträgt.

(2 BE)

Formuliere eine Aussage im Sachzusammenhang, die sich in Verbindung mit der Gleichung $0,891 + 0,1 \cdot 0,05 = 0,896$ aus der folgenden Ungleichung ergibt:

$\sum_{k=90}^{100} \binom{100}{k} \cdot 0,896^k \cdot 0,104^{100-k} \gt 0,5.$

(3 BE)

Aufgabe R3

Betrachtet wird das Quadrat, das folgende Eigenschaften besitzt:

Das Quadrat liegt in der $x_1 x_2$ -Ebene.
Ein Eckpunkt liegt im Koordinatenursprung.
Der Schnittpunkt der Diagonalen des Quadrats liegt auf der Geraden $g$ mit $\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}, \lambda \in \mathbb{R}$ , und auf der Geraden $h$ mit $\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \mu \in \mathbb{R}$ .

Gib die Koordinaten des Schnittpunkts der Diagonalen an und berechne den Flächeninhalt des Quadrats.

(5 BE)

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Lösung R1

Die Tangente $t,$ gegeben durch die Gleichung $y=mx+n,$ hat eine positive Steigung, einen $y$ -Achsenabschnitt von $n=-8$ und schneidet die $x$ -Achse bei $2.$ Für die Steigung $m$ folgt somit:

$m=\dfrac{0-(-8)}{2-0}=\dfrac{8}{2}=4$

Somit ergibt sich die Gleichung $y=4x-8.$

Die allgemeine Gleichung der Tangente ist gegeben durch $y=mx+n.$ Für die Ableitung von $f(x)$ gilt:

$\(f$

Somit folgt $f(u)=\frac{1}{2}u^2$ und $\(m=f$ Einsetzen der Koordinaten des Punktes $\left(u \; \bigg \vert\, \frac{1}{2}u^2\right),$ an dem die Tangente den Graphen berührt, in die Gleichung der Tangente liefert somit:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& u\cdot x + n &\quad \scriptsize \; \bigg \vert\, \; \left(u\mid \frac{1}{2}u^2\right) \\[5pt] \dfrac{1}{2}u^2&=& u\cdot u + n &\quad \scriptsize \; \bigg \vert\, \;-u^2 \\[5pt] -\dfrac{1}{2}u^2&=& n \end{array}$

Somit gilt $n=-\frac{1}{2}u^2=-f(u)$ und die Tangente schneidet die $y$ -Achse damit im Punkt $(0\mid-f(u)).$

Lösung R2

Aus der Aufgabenstellung folgt:

Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät fehlerfrei ist: $P (\text{fehlerfrei})=0,90$

Wahrscheinlichkeit, dass ein fehlerfreies Gerät als fehlerfrei eingestuft wird: $P (\text { erkannt } \mid \text { fehlerfrei }) =0,99$

$P(\text { fehlerfrei und erkannt })=0,891$

Rechenweg anzeigen

Die erste Gleichung beschreibt die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass ein Gerät als fehlerfrei eingestuft wird, unabhängig davon, ob es tatsächlich fehlerfrei ist oder nicht.

Die zweite Gleichung beschreibt somit die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stichprobe von 100 Geräten mindestens 90 Geräte als fehlerfrei erkannt werden.

„Da ein kleiner Anteil fehlerhafter Geräte ebenfalls als fehlerfrei eingestuft wird, ist es wahrscheinlicher, dass mindestens $90\,\%$ der Geräte aus der Stichprobe von 100 Geräten als fehlerfrei erkannt werden, als dass weniger als die erwarteten $90\,\%$ der Geräte als fehlerhaft eingestuft werden.“

Alternative Lösung:

"Mit einer Wahrscheinlichkeit von über $50\,\%$ werden in einer Stichprobe von 100 Geräten mindestens 90 Geräte als fehlerfrei erkannt werden, da ein kleiner Anteil fehlerhafter Geräte ebenfalls als fehlerfrei eingestuft wird."

Lösung R3

Schnittpunkt der Geraden

$\pmatrix{1\\1\\0}+\lambda\cdot \pmatrix{2\\3\\0}=\pmatrix{0\\4\\3}+\mu\cdot \pmatrix{-1\\0\\1}$

Aus der zweiten Zeile folgt:

$\begin{array}[t]{rll} 1+3\lambda&=& 4 \quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] 3\lambda&=& 3 \quad \scriptsize \mid\;:3 \\[5pt] \lambda&=& 1 \end{array}$

Damit lässt sich der Schnittpunkt der beiden Geraden wie folgt berechnen:

$\overrightarrow{OS}=\pmatrix{1\\1\\0}+1\cdot \pmatrix{2\\3\\0}=\pmatrix{3\\4\\0}$

Der Schnittpunkt der Diagonalen hat die Koordinaten $S(3\mid 4\mid 0).$

Flächeninhalt des Quadrats

$|\overrightarrow{O M}|=\sqrt{3^2+4^2}=5$

Das Quadrat wird durch die Diagonalen in vier gleichseitige rechtwinklige Dreiecke, die jeweils zwei benachbarte Eckpunkte sowie den Schnittpunkt der Diagonalen als Eckpunkte besitzen, geteilt.

Da ein Eckpunkt im Koordinatenursprung liegt und die Dreiecke kongruent zueinander sind, folgt für den Flächeninhalt des Quadrats:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& 4\cdot A_{\text{Dreieck}}& \\[5pt] &=& 4\cdot \left(\dfrac{1}{2} \cdot 5^2\right) & \\[5pt] &=& 50\,\text{[FE]} \end{array}$

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