Aufgabe 1B

Für einen Tag wird die in einen Stausee zufließende Wassermenge betrachtet. Die momentane Zuflussrate wird durch die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = 0,005x^3-0,18x^2+1,55x+2$ für $0 \leq x \leq 24$ beschrieben.
Dabei gibt $x$ die Zeit nach Beobachtungsbeginn in Stunden $(\text{h})$ und $f(x)$ die Zuflussrate des Wassers in 1000 Kubikmeter pro Stunde $\left(1000\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\right)$ an.
Der Stausee verfügt auch über einen künstlichen Wasserablauf. Gehe zunächst davon aus, dass der Ablauf am Tag der Beobachtung geschlossen ist.
Die Abbildung stellt den Graphen der Funktion $f$ dar.

Diagramm mit einer Kurve, die eine Funktion in einem Koordinatensystem darstellt. Achsen sind beschriftet.

Gib $f(2)$ an und interpretiere den Wert im Sachzusammenhang.
Begründe mithilfe des Graphen von $f$ , dass der Wasserstand im Stausee ständig ansteigt.

(4 BE)

Berechne die Länge des Zeitraums, in dem die Zuflussrate geringer als $1000 \dfrac{\text{m}^3}{\text{h}}$ ist.

(3 BE)

Bestimme die maximale Zuflussrate im Beobachtungszeitraum.

(3 BE)

Bestimme die Zeitpunkte, an denen die Zuflussrate:

am stärksten abnimmt.
am stärksten zunimmt.

(5 BE)

Untersuche, ob es eine Zuflussrate gibt, die sich eine Stunde später verdoppelt hat.

(3 BE)

Vereinfacht wird die Form des Stausees als Quader mit einer Länge von $1000 \,\text{m}$ und einer Breite von $200 \,\text{m}$ angenommen.
Berechne den Anstieg der Wasserhöhe innerhalb der 24 Stunden.

(4 BE)

Von Beobachtungsbeginn bis zum Zeitpunkt $t$ ist eine bestimmte Wassermenge zugeflossen. In den folgenden drei Stunden fließt noch einmal genauso viel Wasser dazu.
Berechne den Zeitpunkt $t$ .

(4 BE)

Bei dem künstlichen Wasserablauf können konstante Abflussraten eingestellt werden.

6 Stunden nach Beobachtungsbeginn wird der Ablauf geöffnet.
Bestimme die Abflussrate des Stausees so, dass sich 24 Stunden nach Beobachtungsbeginn genauso viel Wasser im Stausee befindet wie zu Beobachtungsbeginn.

(4 BE)

Der Wasserablauf wird zu Beobachtungsbeginn mit einer Abflussrate von $2000 \frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ geöffnet.
Begründe auch mithilfe einer Skizze und ohne Rechnung, dass etwa zum Zeitpunkt $14,3 \,\text{h}$ die Wassermenge im Stausee maximal ist.

(5 BE)

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Lösung 1B

$f(2)= 4,42$
Nach zwei Stunden beträgt die Zuflussrate des Wassers $4420 ~ \dfrac{\, \text{m}^3}{\,\text{h}}.$

Der Graph von $f$ gibt die Zuflussrate des Wassers an. Da $f(x)\gt 0$ für $0 \leq x \leq 24$ ist, fließt immer mehr Wasser dazu und der Wasserstand des Stausees steigt ständig an.

$f(x)=1$

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keyboard $\to$ Math1 $\to$ $\{^{\Box}_{\Box}$

Der Graph von $f$ schneidet die Gerade $y=1$ in den Punkten $x_1 = 16,6$ und $x_2 = 20.$
Da $f(x)\lt 1$ für $16,6 \lt x \lt 20,$ ist die Zuflussrate in diesem Zeitraum kleiner als $1000 ~ \dfrac{\,\text{m}^3}{\,\text{h}}.$
Die Länge des Zeitraums in Stunden ist also $20-16,6 = 3,4.$

Die maximale Zuflussrate ist durch das Maximum der Funktion $f$ gegeben.

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Analyse $\to$ Grafische Lösung $\to$ Maximum

Die maximale Zuflussrate ist also nach $5,6$ Stunden mit $5900 ~ \dfrac{\,\text{m}^3}{\,\text{h}}$ gegeben.

Der Graph der Ableitungsfunktion beschreibt die Änderung der Zuflussrate.
Die Zuflussrate nimmt also zu dem Zeitpunkt am stärksten ab, an dem der Graph von $\(f$ ein Minimum hat.

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menu $\to$ 6: Graph analysieren $\to$ 2: Minimum

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Analyse $\to$ Grafische Lösung $\to$ Maximum

Dies ist an der Stelle $x_0=12$ der Fall, die Zuflussrate nimmt also nach zwölf Stunden am meisten ab.

Analog nimmt die Zuflussrate zu dem Zeitpunkt am meisten zu, an dem der Graph von $\(f$ im Intervall $[0;24]$ maximal ist.
Der Graph von $\(f$ nimmt im Intervall $[0;24]$ den größten Wert an den Intervallgrenzen an, wie dem Graphen von $f$ entnommen werden kann. An den Zeitpunkten $x_1=0$ und $x_2=24$ nimmt die Zuflussrate am stärksten zu.

Gesucht ist eine Lösung der Gleichung $2\cdot f(x) = f(x+1).$ Da sich die Graphen dieser beiden Funktionen im Intervall $[0,23]$ jedoch nicht schneiden, existiert keine Lösung.
Es existiert also keine Zuflussrate, die sich eine Stunde später verdoppelt hat.

Die Wassermenge im Stausee nach $24$ Stunden wird beschrieben durch $\displaystyle\int_{0}^{24}f(x)\;\mathrm dx$

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keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$

Das Integral hat den Wert $79,68,$ nach $24$ Stunden sind also $79860\,\text{m}^3$ Wasser im Stausee.

Nimmt man nun an, dass der Stausee ein Quader mit einer Länge von $1000\,\text{m}$ und einer Breite von $200\,\text{m}$ ist, so ist die Wasserhöhe gegeben durch $\dfrac{79680\,\text{m}^3}{1000\,\text{m} \cdot 200\,\text{m}}= 0,4\,\text{m}.$

Der Anstieg der Wassermenge innerhalb der $24$ Stunden beträgt also $0,4\,\text{m}.$

Gesucht ist die Lösung der Gleichung $\displaystyle\int_{0}^{t}f(x)\;\mathrm dx = \displaystyle\int_{t}^{t+3}f(x)\;\mathrm dx.$

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keyboard $\to$ Math1 $\to$ $\{^{\Box}_{\Box}$

Die Gleichung ist an der Stelle $t_0 \approx 4,1$ erfüllt.
Der gesuchte Zeitpunkt ist also nach ungefähr $4,1\,\text{h}.$

Da der Abfluss sechs Stunden nach Beobachtungsbeginn geöffnet wird, muss die gesamte Zuflussmenge von $24$ Stunden in den verbleibenden $18$ Stunden abfließen.
Die gesamte Zuflussmenge innerhalb von $24$ Stunden ist gegeben durch $79860\,\text{m}^3$ (siehe f)).
Die Abflussrate innerhalb von $18$ Stunden ist dann $\dfrac{79860\,\text{m}^3}{18\,\text{h}}=4400 ~ \dfrac{\,\text{m}^3}{\,\text{h}}.$

Grafik eines mathematischen Funktionsverlaufs mit Achsenbeschriftung und markierten Bereichen A1 und A2.

Die Gerade $g=2$ gibt die Abflussrate an, die Funktion $f$ beschreibt die Zuflussrate. Der Graph von $f$ verläuft ungefähr im Intervall $[14,3; 21,7]$ unterhalb des Graphen von $g.$ In diesem Zeitraum nimmt die Wassermenge im Stausee ab. Ansonten nimmt die Wassermenge innerhalb des Beobachtungszeitraums immer zu.
Der Flächeninhalt der Fläche $A1$ , die der Graph von $f$ mit dem Graphen von $g$ einschließt, gibt an, wieviel Wasser im Intervall $[14,3; 21,7]$ abfließt. Der Flächeninhalt der Fläche $A2$ gibt an, wieviel Wasser anschließend wieder bis zum Beobachtungsende zufließt.
Offenbar ist der Flächeninhalt der Fläche $A1$ größer als der von $A2.$ Das bedeutet, dass ab dem Zeitpunkt $x_0 \approx 14,3$ mehr Wasser abfließt, als zufließt.
Die Wassermenge im Stausee ist also nach ungefähr $14,3$ Stunden maximal.

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