Analytische Geometrie

Aufgabe 3A

Abbildung 1 zeigt die Pyramide $A B C D S$ mit $A(0 \mid 0 \mid 0),$ $B(2 \mid 0 \mid 0),$ $C(2 \mid 2 \mid 0),$ $D(0 \mid 4 \mid 0)$ und $S(0 \mid 0 \mid 3,5).$

Abbildung 1

Begründe, dass die Grundfläche der Pyramide ein Trapez ist.

Berechne das Volumen der Pyramide.

(5 BE)

Zeige, dass das Dreieck $C D S$ im Punkt $C$ rechtwinklig ist.

(2 BE)

In Abbildung 2 ist ein Teil eines Netzes der Pyramide $A B C D S$ dargestellt.

Abbildung 2

Ergänze die Abbildung 2 so, dass ein vollständiges Netz der Pyramide $ABCDS$ dargestellt ist.

(4 BE)

Untersuche, ob der Punkt $P(4 \mid -8 \mid 7)$ in der Ebene liegt, in der die Seitenfläche $C D S$ liegt.

(4 BE)

Betrachtet werden die Würfel, von denen drei Seitenflächen in den drei Koordinatenebenen liegen.

Abbildung 3 zeigt einen dieser Würfel.

Abbildung 3

Unter diesen Würfeln gibt es einen, bei dem ein Eckpunkt auf der Kante $\overline{CS}$ der Pyramide liegt.

Berechne die Kantenlänge dieses Würfels und begründe, dass kein Punkt dieses Würfels außerhalb der Pyramide liegt.

(5 BE)

Aufgabe 3B

Gegeben sind das gerade Prisma $A B C D E F$ mit den Eckpunkten $C(0 \mid 0 \mid 0),$ $D(6 \mid 0 \mid 5),$ $E(0 \mid 8 \mid 5)$ und $F(0 \mid 0 \mid 5)$ sowie der Punkt $M(3 \mid 4 \mid 5)$ (vgl. Abbildung 1).

Abbildung 1

Berechne den Inhalt der Oberfläche des Prismas.

(4 BE)

Begründe, dass die Punkte $D, E$ und $F$ auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ liegen.

(3 BE)

Berechne den Winkel, den die Strecke $\overline{A M}$ mit der $x$ -Achse einschließt.

(3 BE)

Durch $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 5\end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{l}3 \\ 4 \\ 0\end{array}\right)+\mu\left(\begin{array}{c}7,5 \\ 0 \\ -5\end{array}\right)$ mit $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ ist die Ebene $H$ gegeben. Die Punkte $M, F$ und $S(7,5\mid 0\mid 0)$ liegen in der Ebene $H$ (vgl. Abbildung 2).

Abbildung 2

Im Folgenden sind zwei Schritte zum Lösen einer Aufgabe angegeben, die im Zusammenhang mit den betrachteten geometrischen Objekten steht:

$\text{I}\quad \pmatrix{6\\0\\1}=\pmatrix{0\\0\\5}+\lambda\cdot \pmatrix{3\\4\\0}+\mu\cdot \pmatrix{7,5\\0\\-5}$

$\text{II}\quad \pmatrix{6\\0\\1}=\pmatrix{6\\0\\0}+r\cdot \pmatrix{0\\0\\5}$ mit $r\in \mathbb R$

Gib eine passende Aufgabenstellung an.

(3 BE)

Anstelle des Punkts $S$ werden nun Punkte $S_t(t\mid 0\mid 0)$ mit $t \geq 0$ auf der $x$ -Achse betrachtet.

Für jeden Wert von $t$ schneidet die Ebene durch die Punkte $M, F$ und $S_t$ das Prisma $A B C D E F$ in einem Vieleck.

Gib die Anzahl der Ecken des Vielecks in Abhängigkeit von $t$ an.

(4 BE)

Bestimme die beiden Werte von $t$ , für die das Dreieck $M F S_t$ rechtwinklig ist.

(3 BE)

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Trapezform der Grundfläche begründen

Die beiden Punktpaare $A$ und $D$ bzw. $B$ und $C$ haben gleiche $x$ -Koordinaten, womit die beiden Seiten $\overline{AD}$ und $\overline{BC}$ der Grundfläche parallel zueinander sind. Somit ist diese ein Trapez.

Volumen der Pyramide berechnen

Da die Grundfläche in der $xy$ -Ebene liegt, ist die Höhe $h$ der Pyramide durch die $z$ -Koordinate von $S$ gegeben und beträgt somit $h=3,5\;\text{LE}.$ Die Länge der Seiten $\overline{AB}$ bzw. $\overline{AD}$ lassen sich aus den Koordinaten direkt als $2\;\text{LE}$ bzw. $4\;\text{LE}$ ablesen. Für die Länge von $\overline{BC}$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \left\vert\overrightarrow{BC}\right\vert&=&\left\vert\pmatrix{2-2\\2-0\\0-0}\right\vert \\[5pt] &=&\sqrt{0^2+2^2+0^2} \\[5pt] &=&2\;[\text{LE}] \end{array}$

Für das Volumen $V$ der Pyramide folgt somit:

$\begin{array}[t]{rll} V&=& \dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h \\[5pt] &=&\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{(4+2)\cdot2}{2}\cdot3,5 \\[5pt] &=& 7\;[\text{VE}] \end{array}$

Rechenweg anzeigen

$\overrightarrow{CS}\circ\overrightarrow{CD} = 0$

$\overrightarrow{CS}=\pmatrix{0-2\\0-2\\3,5-0}=\pmatrix{-2\\-2\\3,5}$

$\overrightarrow{CD}=\pmatrix{0-2\\4-2\\0-0}=\pmatrix{-2\\2\\0}$

Eine Parametergleichung der Ebene, in der die Seitenfläche $C D S$ liegt, lautet:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{O C}+\lambda \cdot \overrightarrow{C S}+\mu \cdot \overrightarrow{C D} \\[5pt] &=& \pmatrix{2\\2\\0}+\lambda\cdot \pmatrix{-2\\-2\\3,5}+\mu \cdot \pmatrix{-2\\2\\0} \end{array}$

Um zu prüfen, ob der Punkt $P$ in der Ebene liegt, werden die Koordinaten mit der Ebenengleichung gleichgesetzt:

$\pmatrix{4\\-8\\7}=\pmatrix{2\\2\\0}+\lambda\cdot \pmatrix{-2\\-2\\3,5}+\mu \cdot \pmatrix{-2\\2\\0}$

Aus der dritten Zeile folgt direkt $\lambda=2.$ Aus der ersten Zeile folgt weiter:

$\begin{array}[t]{rll} 4&=& 2+2\cdot (-2)-2\mu &\quad \scriptsize \mid\;+2 \\[5pt] 6&=& -2\mu &\quad \scriptsize \mid\; :(-2) \\[5pt] -3&=& \mu \end{array}$

Einsetzen in die zweite Zeile liefert:

$\begin{array}[t]{rll} -8&=& 2+2\cdot (-2)+(-3)\cdot 2 \\[5pt] -8&=& -8 \end{array}$

Die Aussage ist wahr, damit liegt der Punkt $P$ in der Ebene.

Kantenlänge des Würfels berechnen

Der Eckpunkt, welcher für einen bestimmten Würfel auf der Kante $\overline{CS}$ liegt, besitzt die allgemeinen Koordinaten $(k\mid k\mid k).$ Gleichsetzen mit der Gleichung der Geraden durch die Punkte $C$ und $S$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{k\\k\\k}&=&\overrightarrow{OC}+s\cdot\overrightarrow{CS} \\[5pt] &=&\pmatrix{2\\2\\0}+s\cdot\pmatrix{-2\\-2\\3,5} \end{array}$

Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&k&=& 2 -2s \\ \text{II}\quad&k&=& 2 -2s \\ \text{III}\quad&k&=& 3,5s \\ \end{array}$

Addition von $1,75\cdot\text{II}$ zu Gleichung $\text{III}$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 2,75k&=&2\cdot1,75 &\quad \scriptsize \mid\;:2,75 \\[5pt] k&=&\dfrac{14}{11} \end{array}$

Der Eckpunkt besitzt somit die Koordinaten $\left(\frac{14}{11}\mid \frac{14}{11}\mid \frac{14}{11}\right),$ womit die Kantenlänge des Würfels $\frac{14}{11}\;\text{LE}$ beträgt.

Lage der Punkte des Würfels begründen

Die Abbildung zeigt, dass es reicht zu überprüfen, ob der Eckpunkt mit den Koordinaten $\left(\frac{14}{11}\mid 0\mid \frac{14}{11}\right)$ außerhalb der Pyramide liegt oder nicht. Gleichsetzen mit der Gleichung der Geraden durch die Punkte $B$ und $S$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{\frac{14}{11}\\0\\\frac{14}{11}}&=&\overrightarrow{OB}+t\cdot\overrightarrow{BS} \\[5pt] &=&\pmatrix{2\\0\\0}+s\cdot\pmatrix{-2\\0\\3,5} \end{array}$

Es ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&\dfrac{14}{11}&=& 2-2t \\ \text{II}\quad&\dfrac{14}{11}&=&3,5t \\ \end{array}$

Aus Gleichung $\text{II}$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{14}{11}&=&3,5t &\quad \scriptsize \mid\;:3,5 \\[5pt] \dfrac{4}{11}&=&t \end{array}$

Einsetzen in Gleichung $\text{I}$ als Probe liefert:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{14}{11}&=&2-2\cdot\dfrac{4}{11} \\[5pt] \dfrac{14}{11}&=&\dfrac{22}{11}-\dfrac{8}{11} \\[5pt] \dfrac{14}{11}&=&\dfrac{14}{11} \end{array}$

Somit ist $t=\frac{4}{11}$ eine Lösung des Gleichungsystems, das heißt der Punkt mit den Koordinaten $\left(\frac{14}{11}\mid 0\mid \frac{14}{11}\right)$ liegt auf der Kante $\overline{BS}$ der Pyramide. Damit liegt kein Punkt des Würfels außerhalb der Pyramide.

Lösung 3B

Die Oberfläche des Prismas besteht aus zwei Dreiecken und drei Rechtecken.

1. Schritt: Flächeninhalt der Dreiecke berechnen

Da sich der Punkt $F$ jeweils nur in einer Koordinate von den Punkten $D$ und $E$ unterscheidet, ergeben sich die Längen der Seiten, die den rechten Winkel einschließen, direkt als $6\;\text{LE}$ und $8\;\text{LE}.$ Somit folgt für den Flächeninhalt beider Dreiecke zusammen:

$\begin{array}[t]{rll} A_D&=&2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot6\cdot8 \\[5pt] &=&48\;[\text{FE}] \end{array}$

2. Schritt: Flächeninhalt der Rechtecke berechnen

Anhand der Koordinaten der Punkte $C$ und $F$ lässt sich ablesen, dass das Prisma eine Höhe von $5\;\text{LE}$ besitzt. Die fehlenden Seitenlängen der drei Rechtecke sind jeweils durch die Länge einer der Seiten des Dreiecks $DFE$ gegeben. Somit folgt mit dem Satz des Pythagoras für die Summe der Flächeninhalte aller Rechtecke:

$\begin{array}[t]{rll} A_R&=&5\cdot\left(6+8+\sqrt{6^2+8^2}\right) \\[5pt] &=&120\;[\text{FE}] \end{array}$

3. Schritt: Gesamten Oberflächeninhalt berechnen

Für den Inhalt der Oberfläche des Prismas folgt somit insgesamt:

$\begin{array}[t]{rll} A_O&=&A_D+A_R \\[5pt] &=&48+120 \\[5pt] &=&168\;[\text{FE}] \end{array}$

Für die Abstände der Punkte $D, E$ und $F$ zu $M$ gilt:

Rechenweg anzeigen

$\left\vert\overrightarrow{MD}\right\vert = 5$

Rechenweg anzeigen

$\left\vert\overrightarrow{ME}\right\vert = 5$

Rechenweg anzeigen

$\left\vert\overrightarrow{MF}\right\vert = 5$

Da alle Abstände gleich sind, liegen die Punkte $D, E$ und $F$ auf einem Kreis mit Mittelpunkt $M.$

Aus der Abbildung lässt sich $A(6\mid 0\mid 0)$ erschließen. Damit folgt:

$\overrightarrow{MA}=\pmatrix{6-3\\0-4\\0-5}=\pmatrix{3\\-4\\-5}$

Für den gesuchten Winkel gilt dann:

Rechenweg anzeigen

$\alpha \approx 65^{\circ}$

„Untersuche, ob der Punkt $(6\mid 0\mid 1)$ sowohl in der Ebene $H$ als auch auf der Geraden durch $A$ und $D$ liegt.“

Für $0 \leq t \lt 6$ besitzt das Vieleck vier Ecken, für $t \geq 6$ besitzt es drei Ecken.

Für $t=0$ liegt der rechte Winkel im Punkt $F$ . Andernfalls ist der gesuchte Wert von $t$ der, für den $\overrightarrow{MF}$ orthogonal zu $\overrightarrow{MS_t}$ ist. Für die beiden Vektoren ergibt sich:

$\overrightarrow{MF} = \pmatrix{-3\\-4\\0}$

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{MS_t}&=&\pmatrix{t-3\\0-4\\0-5} \\[5pt] &=&\pmatrix{t-3\\-4\\-5} \end{array}$

Somit folgt für den gesuchten Wert von $t:$

Rechenweg anzeigen

$t=\dfrac{25}{3}$

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