Pflichtteil

Aufgabe P1

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x)=x\cdot \mathrm{e}^{x}, x\in \mathbb{R}.$

Gib die Nullstelle von $f$ an.

(1 BE)

Weise nach, dass die Funktion $F$ mit $F(x)=(x-1)\cdot \mathrm{e}^{x}$ eine Stammfunktion von $f$ ist.

(2 BE)

Berechne den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von $f$ , der $x$ -Achse und den Geraden zu $x=0$ und $x=1$ eingeschlossen wird.

(2 BE)

Aufgabe P2

Betrachtet werden die Funktionen $f_{a}$ mit $f_{a}(x)=2x^{3}-6x+a, x\in \mathbb{R}, a\in \mathbb{R}.$
Es gilt $\(f_{a}$
Jeder Graph von $f_{a}$ hat einen Wendepunkt und zwei Extrempunkte.

Zeige, dass der Wendepunkt immer auf der $y$ -Achse liegt.

(2 BE)

Bestimme alle Werte für den Parameter $a$ , sodass ein Extrempunkt auf der $x$ -Achse liegt.

(3 BE)

Aufgabe P3

Überprüfungen in einer Kleinstadt haben gezeigt, dass ein Viertel der Radfahrenden keinen Helm trägt.

Gib einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden kann, dass unter $75$ zufällig ausgewählten Radfahrenden genau $20$ keinen Helm tragen.

(2 BE)

Untersuche, wie viele Radfahrende man mindestens überprüfen muss, damit die Wahrscheinlichkeit, nur Radfahrende mit Helm anzutreffen, kleiner als $\displaystyle \frac{1}{2}$ ist.

(3 BE)

Aufgabe P4

Ein Lichtstrahl verläuft vom Punkt $L(-3\mid -1 \mid 3)$ ausgehend in Richtung $\overrightarrow{e}=\pmatrix{1\\0\\-1}$ .
Das Licht fällt auf einen Spiegel, der in der $xy$ -Ebene liegt, und wird an diesem reflektiert.

Weise nach, dass das Licht im Punkt $\mathrm{A}(0|-1\mid 0)$ auf die $xy$ -Ebene trifft.

(2 BE)

Begründe, dass der reflektierte Lichtstrahl die Richtung $\overrightarrow{r}=\pmatrix{1\\0\\1}$ hat.

(2 BE)

Überprüfe, ob das Licht durch den Punkt $\mathrm{P}(7|-1\mid 7)$ verläuft.

(1 BE)

Lösung P1

Nullstelle von $f$ bestimmen:

$f(x)=0$ , daraus folgt $x\cdot \mathrm{e}^{x}=0$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt: $x=0$ oder $\mathrm{e}^{x}=0$
$\mathrm{e}^{x}=0$ besitzt keine Lösung

Daraus folgt, dass $x=0$ die Nullstelle von $f$ ist.

Behauptung: $F(x) = (x-1)\cdot \mathrm{e}^{x}$ ist eine Stammfunktion von $f$

Ableiten der Funktion $F$ mittels Produktregel:

$\(\begin{array}[t]{rll} F$

Damit ist bewiesen, dass $F(x)$ eine Stammfunktion von $f$ darstellt.

Integral berechnen:

$\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\;\mathrm dx = 1$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche beträgt $1\,\text{FE}.$

Lösung P2

Wendepunkt von $f_a$ bestimmen:

$\(f_a$
$\(f_a$
$\(f_a$

Notwendiges Kriterium für Wendepunkte:

$\(f_a$ , daraus folgt

$\begin{array}[t]{rll} 12x&=&0&\quad \scriptsize \mid\; :12 \\[5pt] x&=&0 \end{array}$

Hinreichendes Kriterium für einen Wendepunkt:

$\(f$
$\(f_a$ , daraus folgt, dass $x=0$ eine Wendestelle ist.

Der Graph der Funktion $f_a$ besitzt unabhängig vom Parameter $a$ bei $x=0$ einen Wendepunkt.
Daraus folgt, dass der Wendepunkt immer auf der y-Achse liegt.

Werte für Parameter $a$ bestimmen, sodass ein Extrempunkt auf der x-Achse liegt:

Extremwerte von $f_a$ :

Notwendiges Kriterium für Extrempunkte:

$\(f_a$ , daraus folgt

$\begin{array}[t]{rll} 6x^2 - 6&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;+6 \\[5pt] 6x^2&=&6 &\quad \scriptsize \mid\;:6 \\[5pt] x^2 &=&1&\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] x &=&1 &\text{oder } \, \, \, \, \, x=&-1 \end{array}$

Extremstellen in $f_a$ einsetzen:

Für $x=1$ folgt: $\,$ $\begin{array}[t]{rll} f_a(1)&=&2\cdot 1^{3}-6\cdot 1+a & \\[5pt] &=&-4+a \end{array}$

Für $x=-1$ folgt: $\,$ $\begin{array}[t]{rll} f_a(-1)&=&2\cdot (-1)^{3}-6\cdot (-1)+a & \\[5pt] &=&4+a \end{array}$

Zu lösen ist $f_a(1)=0$ und $f_a(-1)=0$ , sodass ein Extrempunkt auf der x-Achse $(f(x)=0)$ liegt:

Für $f_a(1)=0$ folgt: $\,$ $\begin{array}[t]{rll} -4+a&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; +4 \\[5pt] a&=&4& \quad \end{array}$

Für $f_a(-1)=0$ folgt: $\,$ $\begin{array}[t]{rll} 4+a&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; -4 \\[5pt] a&=&-4& \quad \end{array}$

Für die Werte $a=4$ und $a=-4$ liegt ein Extrempunkt auf der x-Achse.

Lösung P3

$X$ beschreibt die Anzahl der Radfahrenden ohne Helm und ist binomialverteilt mit $B_{75; 0,25}$ .

Der gesuchte Term folgt mit:

$P(X=20)=\pmatrix{75\\20}\cdot 0,25^{20}\cdot 0,75^{55}$

$X$ beschreibt die Anzahl der Radfahrenden ohne Helm und ist binomialverteilt mit $B_{n; 0,25}$ .

$\begin{array}[t]{rll} P(X=0)&\lt& \dfrac{1}{2} &\quad \\[5pt] \pmatrix{n\\0}\cdot 0,25^{0}\cdot 0,75^{n}&\lt& \dfrac{1}{2} &\quad \\[5pt] 1 \cdot 0,75^n&\lt& \dfrac{1}{2} &\quad \\[5pt] \left(\dfrac{3}{4}\right)^n&\lt&\dfrac{1}{2}&\quad \\[5pt] \end{array}$

Systematisches Probieren liefert:

Für $n=1$ gilt: $\left(\dfrac{3}{4}\right)^1=\dfrac{3}{4} \gt \dfrac{1}{2}$

Für $n=2$ gilt: $\left(\dfrac{3}{4}\right)^2=\dfrac{9}{16} \gt \dfrac{1}{2}$

Für $n=3$ gilt: $\left(\dfrac{3}{4}\right)^3=\dfrac{27}{64} \lt \dfrac{1}{2}$

Daraus folgt, dass mindestens drei Radfahrende überprüft werden müssen, damit die Wahrscheinlichkeit, nur Radfahrende mit Helm anzutreffen, kleiner als $\displaystyle \frac{1}{2}$ ist.

Lösung P4

Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden $g$ mit der Ebene $E$ berechnen:

Parametergleichung der Geraden $g$ aufstellen mit Punkt $L$ als Stützvektor und $\overrightarrow{e}$ als Richtungsvektor:

Koordinatengleichung der Ebene $E$ (xy-Ebene) aufstellen:

$E: \quad$ $\begin{array}[t]{rll} z&=&0 &\quad \\[5pt] \end{array}$

$g$ in $E$ einsetzen: $\,$ $\begin{array}[t]{rll} 3-t&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-3 \, \, \mid\;\cdot(-1) \\[5pt] t&=&3 \end{array}$

$t=3$ in die Gerade $g$ einsetzen, um die Koordinaten des Schnittpunktes zu berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{-3\\-1\\3} +3\cdot \pmatrix{1\\0\\-1}&=&\pmatrix{0\\-1\\0} &\quad \\[5pt] &=&\overrightarrow{OA} \end{array}$

Eine Punktprobe ergibt, dass $A$ für $t=3$ auf $g$ liegt.
Damit ist gezeigt, dass das Licht im Punkt $A(0\mid-1\mid0)$ auf die xy-Ebene trifft.

Richtung des reflektierten Lichtstrahls bestimmen:

Die Spiegelung eines Punktes an der xy-Ebene erfolgt durch Änderung des Vorzeichens der z-Koordinate. Beim Richtungsvektor muss entsprechend auch das Vorzeichen der z-Komponente geändert werden.
Daraus folgt, dass der reflektierte Lichtstrahl die Richtung $\overrightarrow{r}=\pmatrix{1\\0\\1}$ hat.

Die Gerade $h$ mit dem Punkt $A(0\mid-1\mid0)$ als Stützvektor und $\overrightarrow{r}$ als Richtungsvektor beschreibt den reflektierten Lichtstrahl.

$h: \quad \overrightarrow{x} = \pmatrix{0\\-1\\0} +s\cdot \pmatrix{1\\0\\1} \, \,$ , $s\in\mathbb{R}$

Punktprobe mit Punkt $\mathrm{P}(7|-1\mid 7)$ auf den Geraden $g$ und $h$ durchführen:

Punktprobe auf der Geraden $g$ :

$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{-3\\-1\\3}+t\pmatrix{1\\0\\-1}&=&\pmatrix{7\\-1\\7} &\\[5pt] \end{array}$

Aus der ersten Zeile folgt:

$\begin{array}[t]{rll} -3+t&=&7 &\quad \scriptsize \mid\; +3\\[5pt] t&=&10 \end{array}$

Aus der zweiten Zeile folgt:

$\begin{array}[t]{rll} -1+0\cdot t&=&-1 & \\[5pt] -1&=&-1 \end{array}$

Aus der dritten Zeile folgt:

$\begin{array}[t]{rll} 3-t&=&7 &\quad \scriptsize \mid\; -3 \text{ und} \cdot (-1)\\[5pt] t&=&-4 \end{array}$

Die Werte für den Parameter $t$ stimmen nicht überein.
Damit ist gezeigt, dass der Punkt $P$ nicht auf der Geraden $g$ liegt.

Punktprobe auf der Geraden $h$ :

$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{0\\-1\\0}+s\pmatrix{1\\0\\1}&=&\pmatrix{7\\-1\\7} &\\[5pt] \end{array}$

Aus der ersten Zeile folgt:

$\begin{array}[t]{rll} s&=&7 &\quad \\[5pt] \end{array}$

Aus der zweiten Zeile folgt:

$\begin{array}[t]{rll} -1+0\cdot s&=&-1 & \\[5pt] -1&=&-1 \end{array}$

Aus der dritten Zeile folgt:

$\begin{array}[t]{rll} s&=&7 &\quad \\[5pt] \end{array}$

Die Werte für den Parameter $s$ stimmen überein.
Aus der Punktprobe ergibt sich, dass der Punkt $P(7|-1|7)$ für $s=7$ auf der Geraden $h$ liegt.
Daraus folgt, dass das Licht durch den Punkt $P$ verläuft.