Aufgabe 1A
Gegeben ist die in 
definierte Funktion 
mit 
.
Für die erste Ableitungsfunktion von gilt:
Abbildung 1
a)
Skizziere den Graphen von 
in Abbildung 1.
Beschreibe, wie der Graph von aus dem Graphen von erzeugt werden kann.
(4 BE)
b)
Zeige, dass 
mit 
eine Tangente an den Graphen von an der Stelle 0 ist.
(3 BE)
c)
Gib die geometrische Bedeutung der Gleichung 
an.
Gib den Wert von 
an.
Gegeben ist die in
(3 BE)
d)
Berechne den Abstand der beiden Extrempunkte des Graphen von 
(6 BE)
e)
Der Graph von 
schließt mit der 
-Achse eine Fläche ein.
Die Gerade
mit 
teilt die Fläche in zwei gleich große Teilflächen.
Die Abbildung 2 veranschaulicht die Situation.
Bestimme den Wert für 
Die Gerade
Abbildung 2
(6 BE)
Ein Bewässerungskanal wird durch Öffnen einer Schleuse in Betrieb genommen.
Die in definierte Funktion 
mit 
beschreibt für 
die momentane Durchflussrate des Wassers an einer Messstelle.
Dabei ist die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Sekunden und 
die momentane Durchflussrate in Kubikmetern pro Sekunde 
Abbildung 3 zeigt den Graphen von .
Abbildung 3
f)
Bestimme die momentane Durchflussrate für denjenigen Zeitpunkt, zu dem sie am stärksten abnimmt.
(5 BE)
g)
Betrachtet wird der Zeitraum der ersten zehn Sekunden nach Beobachtungsbeginn.
Es gilt: Für den betrachteten Zeitraum beträgt die mittlere Durchflussrate etwa
Beschreibe die graphische Bedeutung der obigen Aussage und veranschauliche geeignete Flächen in der Abbildung 3.
Es gilt: Für den betrachteten Zeitraum beträgt die mittlere Durchflussrate etwa
(5 BE)
h)
Die Tangente an den Graphen von im Punkt 
wird mit 
bezeichnet.
Interpretiere die folgende Aussage im Sachzusammenhang:
Für alle Werte von mit 
gilt 
(3 BE)
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?
a)
Graphen skizzieren
Beschreibung
Der Graph von kann aus dem Graphen von durch Spiegelung an der -Achse erzeugt werden.
b)
Damit eine Tangente von an der Stelle 0 ist, müssen sowohl die Funktionswerte als auch die Steigungen der beiden Funktionen für 
übereinstimmen.
Es gilt:
Die Ableitungsfunktion von ergibt sich mit 
Für die Steigung an der Stelle 0 gilt also:
ist somit eine Tangente an den Graphen von an der Stelle 0.
c)
Bedeutung angeben
Die Fläche, die die Graphen von und und die Gerade mit der Gleichung 
einschließen, hat den Inhalt 0,1.
Wert von angeben
![\(\begin{array}[t]{rll}
\displaystyle\int_{0}^{b}\left(\mathrm e^{-x}+x-1\right)\;\mathrm dx&=& 0,1 &\quad \scriptsize \mid\; GTR \\[5pt]
b&\approx& 0,9
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/8d45cfaa3de76ffd4494ed6a25012a14fad193bc66e2ad41bf94fb987476f847?color=5a5a5a)
d)
1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden
![\(\begin{array}[t]{rll}
h](https://mathjax.schullv.de/f4f15ff0b9891fd2ee103299bcec9388d98bb1717f2c9770bb9130bcf6759b30?color=5a5a5a)
Mit dem Satz vom Nullprodukt folgen 
und 
Da in der Aufgabenstellung gegeben ist, dass der Graph von genau zwei Extrempunkte besitzt, kann auf das Anwenden der hinreichenden Bedingung für Extremstellen verzichtet werden.
2. Schritt: 
-Koordinaten berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
h(0)&=& (0^2-0-1)\cdot \mathrm e^{-0} & \\[5pt]
&=& -1
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/e9016c3427e39bb33e327bc84562df905a427d8628b69e5927f108e5fcf5e935?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
h(3)&=& (3^2-3-1)\cdot \mathrm e^{-3} & \\[5pt]
&\approx& 0,25
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/4be439f682db585f1d92162207c506f4e5d8349802a929fc0d8971c9c0842ec5?color=5a5a5a)
Die Koordinaten der beiden Extrempunkte sind somit gegeben durch 
und 
3. Schritt: Abstand berechnen
Der Abstand der beiden Extrempunkte von ist somit gegeben durch ca. 
e)
1. Schritt: Nullstellen von 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
h(x)&=& 0& \\[5pt]
(x^2-x-1)\cdot \mathrm e^{-x}&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; :\mathrm e^{-x} \gt 0 \\[5pt]
x^2-x-1&=& 0& \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/200d09d470e53523534bcd713e5948f96756f457d3a491605eb0818538cfaa43?color=5a5a5a)
Der GTR liefert 
und 
2. Schritt: Nullstelle von 
berechnen
In Abhängigkeit von 
ergibt sich:
![\(\begin{array}[t]{rll}
g(x)&=& 0& \\[5pt]
k\cdot x-1&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; +1 \\[5pt]
k\cdot x&=& 1&\quad \scriptsize \mid\; :k \\[5pt]
x&=& \dfrac{1}{k}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/51505588cd64b7ae325db0f53644b1992ba504e1ea87dd78c9098d5adf658b2c?color=5a5a5a)
3. Schritt: Wert für 
berechnen
Der Flächeninhalt des Dreiecks, das mit den Koordinatenachsen einschließt, folgt mit:
![\(A=0,5 \cdot \dfrac{1}{k} \;\left[\text{FE}\right]\)](https://mathjax.schullv.de/12c4033d0743c0b78d0f58b6e23a1124a2ba59df225536d5c001c6680cf3f45b?color=5a5a5a)
Es soll also gelten:
Mit dem solve-Befehl des GTR folgt 
f)
Der gesuchte Zeitpunkt entspricht dem Tiefpunkt des Graphen von 
Mit dem GTR kann die Ableitungsfunktion 
bestimmt und graphisch dargestellt werden.
Aus dem Graphen von folgt die Minimalstelle mit 
Die momentane Durchflussrate ergibt sich nun mit:
Damit beträgt die momentane Durchflussrate zu demjenigen Zeitpunkt, an dem sie am stärksten abnimmt, etwa 
g)
Das Flächenstück, das der Graph von mit der -Achse und der Gerade mit der Gleichung 
einschließt, hat etwa den gleichen Inhalt wie das Flächenstück, das die Gerade mit der Gleichung 
mit der -Achse und den Geraden mit den Gleichungen und begrenzt.
h)
Für den angegebenen Zeitraum beschreibt die Tangente die zeitliche Entwicklung der momentanen Durchflussrate mit einer relativen Abweichung von weniger als 