Aufgabe 3B

Gegeben ist ein Würfel $ABCDEFGH$ mit $D(0 \mid 0\mid 0) ,$ $B(4\mid 4\mid 0)$ und $H(0 \mid 0\mid 4).$ In dem Würfel wird die dreiseitige Pyramide $ACFH$ betrachtet. Die Ebene $K$ mit $x + y - z = 4$ wird durch die Punkte $A,$ $C$ und $F$ festgelegt.

Abb. 1

Gib die Koordinaten aller Eckpunkte der dreiseitigen Pyramide an.
Berechne die Länge der Kante $HF.$
Begründe, dass alle Kanten der Pyramide die gleiche Länge haben.
Bestimme den Winkel, den die Seitenfläche $ACH$ der Pyramide und die Ebene $K$ miteinander einschließen.

(10 BE)

Bestimme eine Gleichung in Koordinatenform einer zu $K$ parallelen Ebene, die den Punkt $B$ enthält.

Die Gerade $g$ ist durch die Punkte $B$ und $H$ festgelegt. $P$ ist ein beliebiger Punkt auf der Geraden $g.$
Berechne den Abstand der Ebene $K$ zum Punkt $P.$

(7 BE)

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[1]

$\blacktriangleright$ Koordinaten der Eckpunkte angeben

Verwendet werden die Würfeleigenschaften von $ABCDEFGH$ und die gegebenen Koordinaten von $D,$ $B$ und $H.$

$A(4\mid 0\mid 0),$ $C(0\mid 4\mid 0),$ $F(4\mid 4\mid 4)$ und $H(0\mid 0\mid 4).$

$\blacktriangleright$ Kantenlänge berechnen

$\left|\overrightarrow{HF} \right| \approx 5,66$

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Die Kante $HF$ ist ca. $5,66$ Längeneinheiten lang.

$\blacktriangleright$ Gleiche Länge begründen

Alle Kanten der Pyramide sind Diagonalen der quadratischen Seitenflächen des Würfels und müssen daher gleich lang sein.

$\blacktriangleright$ Winkel bestimmen

Ein möglicher Normalenvektor der Ebene, in der $ACH$ liegt, lässt sich mithilfe des Kreuzprodukts berechnen:

$\overrightarrow{n}_2 = 16\cdot \pmatrix{1\\-1\\1}$

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Du kannst den gekürzten Vektor verwenden. Mit der Formel für den Schnittwinkel $\alpha$ zweier Ebenen folgt dann:

$\alpha\approx 70,5^{\circ}$

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Die Seitenfläche $ACH$ und die Ebene $K$ schließen einen Winkel von ca. $70,5^{\circ}$ ein.

$\blacktriangleright$ Ebenengleichung bestimmen

Aus der angegebenen Gleichung von $K$ kann der Normalenvektor $\overrightarrow{n} = \pmatrix{1\\1\\-1}$ abgelesen werden. Da die gesuchte Ebene parallel zu $K$ verlaufen soll, kann dieser Normalenvektor verwendet werden. Mithilfe einer Punktprobe mit $B$ ergibt sich dann:

$d = 8$

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Eine Gleichung der Ebene, die parallel zu $K$ ist und in der $B$ liegt, lautet:

$x+y-z =8$

$\blacktriangleright$ Abstand berechnen

$g$ kann durch folgende Gleichung beschrieben werden:

$g:\quad \overrightarrow{x} = ...$

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Ihr Richtungsvektor und der Normalenvektor von $K$ sind linear abhängig. Die Gerade verläuft also orthogonal zu $K.$

Der Abstand der Ebene $K$ zum Punkt $P$ entspricht also dem Abstand von $P$ zu dem Punkt $Q,$ in dem $g$ die Ebene $K$ durchstößt.
Setzt du die Koordinaten von $g$ in die Ebenengleichung von $K$ ein, so erhältst du:

$t= \frac{2}{3}$

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Einsetzen in die Geradengleichung liefert damit den Ortsvektor des Durchstoßpunkts $Q:$

$\overrightarrow{OQ} = \pmatrix{\frac{8}{3}\\\frac{8}{3}\\\frac{4}{3}}$

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Da $P$ auf der Geraden $g$ liegt hat sein Ortsvektor die Form $\overrightarrow{OP}=\pmatrix{4t\\ 4t\\ 4-4t}.$

Der Abstand von $K$ und $P$ ergibt sich über den Vektorbetrag des Verbindungsvektors $\overrightarrow{QP}:$

$\left|\overrightarrow{QP} \right| = \sqrt{3\cdot\left( 4t-\frac{8}{3}\right)^2}$

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Der Abstand des Punkts $P(4t\mid 4t\mid 4-4t)$ zur Ebene $K$ beträgt also $\sqrt{3\cdot\left( 4t-\frac{8}{3}\right)^2} .$